Алгебра. Конспект. Тема: "Уравнение касательной". 11 класс

Раз касательная — это прямая линия, а нам нужно составить уравнение касательной, то, что, как вы думаете, нам нужно вспомнить?

Вспомнить общий вид уравнения прямой. (у= кх+b)

Как еще называют число к? (угловой коэффициент или тангенс угла между этой прямой и положительным направлением оси Ох) к = tg α

В чем заключается геометрический смысл производной?

Тангенс угла наклона между касательной и положительным направлением оси оХ

То есть я могу записать tg α = yˈ(x₀).

Давайте проиллюстрируем это на чертеже.

Пусть дана функция y = f (x) и точка М, принадлежащая графику этой функции. Давайте определим её координаты следующим образом: х= x₀, у= f (x₀), т.е. М (x₀, f (x₀)) и пусть существует производная f '(x₀), т.е. в данной точке производная определена. Проведем через точку М касательную.

Уравнение касательной – это уравнение прямой, поэтому оно имеет вид: y = kx + b. Следовательно, задача состоит в том, чтобы отыскать k и b. Обратите внимание на доску, из того, что там записано, можно ли найти к? (да, k = f '(x₀).)

Как теперь найти b? Искомая прямая походит через точку М x₀ (; f (x₀)), подставим эти координаты в уравнение прямой: f(x₀) = k x₀ +b , отсюда b = f(x₀) – k x₀,

т. к. к = tg α= yˈ(x), то b = f(x₀) – f '(x₀) x₀

Подставим значение b и к в уравнение y = kx + b.

y = f '(x₀)x + f(x₀) – f '(x₀) x₀, вынося за скобку общий множитель, получаем:

y = f(x₀) + f '(x₀) · (x- x₀).

Нами получено уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке х = x₀.

Уравнение касательной к графику функции f в точке М(x₀, f(x₀)) имеет вид:

y = f '(х₀)(x - x₀) + f(x₀)

Чтобы уверенно решать задачи на касательную, нужно четко понимать смысл каждого элемента в данном уравнении. Давайте ещё раз остановимся на этом:

1. (x₀, f (x₀ )) – координаты точки касания

2. f '(x₀) = tg α = к - тангенс угла наклона или угловой коэффициент

3. (х,у) – координаты любой точки касательной

И так мы вывели уравнение касательной, проанализировали смысл каждого элемента в данном уравнении. Зная эту формулу, не нужно каждый раз заново проводить рассуждения по отысканию уравнения касательной. Надо просто найти входящие в неё значения f (х₀) и f'(х₀) и подставить их.

Давайте попробуем теперь вывести алгоритм составления уравнения касательной к графику функции y = f (x).

Предлагаю составить алгоритм самим учащимся.

Алгоритм нахождения уравнения касательной в точке (записать в тетради)

1.Найти производную функции
2.Найти значение функции в точке касания
3.Найти значение производной в точке касания 
4. Подставить найденные значения в общее уравнение касательной.

(Раздаю учащимся напечатанный заранее алгоритм как памятку для последующей работы.)

5. Первичное закрепление изученного материала

Есть три основных типа задач на составление уравнения касательной.

1. Дана абсцисса точки касания х_0.

2. Дан угловой коэффициент наклона касательной, то есть значение производной функции в точке х₀.

3. Даны координаты точки, через которую проведена касательная, но которая не является точкой касания.

Рассмотрим каждый тип задач.

Пример 1. Составить уравнение касательной к графику функции f(x) = х² - 3х + 5 в точке с абсциссой х₀ = -1.

Решение:

Составим уравнение касательной (по алгоритму).

1. (х₀₎ = -1;

2. f(х₀) = f(-1) = 1 + 3 + 5 = 9;

3. f '(х₀) = 2х – 3,
   f '(х₀) = f '(-1) = -2 – 3 = -5;

4. y = 9 – 5 · (x + 1), y = 4 – 5x.

Ответ: y = 4 – 5x.

Пример 2. Дана функция f(x)=+3-2x-2. Напишите уравнение касательной к графику функции y=f(x), параллельной прямой y=-2x+1.

Решение. Производная данной функции существует для любого х из R. Найдем ее:

(f(x))' = (+3 - 2x - 2) = 3 + 6x - 2.

Поскольку касательная параллельна y = -2x + 1, получим уравнение:

3 + 6x - 2 = -2;

x + 2x = 0;

x ∙ (x + 2) = 0;

= 0; = -2.

Подставим и в уравнение функции и найдем и  .

= (1 + 3 - 2 - 2) = 0;

= (-8 + 12 + 4 - 2) = 6.

Подставляем найденные координаты в уравнение касательной и вычислив, получим:

y = -2x; y = -2x +10.     

Ответ: y = -2x; y = -2x +10.     

Пример 3. Напишите уравнения всех касательных к графику функции y = – x² – 4x + 2, проходящих через точку M(– 3; 6).

Решение. Точка M(– 3; 6) не принадлежит графику функции, так как f(– 3) ≠ 6

х₀ – абсцисса точки касания. f(х₀) = – х₀² – 4 х₀ + 2.
Производная данной функции существует для любого х из R. Найдем ее:

f '(x) = – 2x – 4, f '(х₀) = – 2 х₀ – 4.
4. y = – у=х₀ ² – 4 х₀ + 2 – 2(х₀ + 2)( х₀ – a) – уравнение касательной.

Касательная проходит через точку M(– 3; 6), следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнению касательной.

6 = – х₀² – 4 х₀ + 2 – 2(х₀ + 2)(– 3 – х₀ ),
х₀² + 6 х₀ + 8 = 0; х_0 1 = – 4, х₀₂ = – 2. Это значит, что через точку М можно провести две касательные к графику функции.

Если х₀ = – 4, то уравнение касательной имеет вид y = 4x + 18.

Если х₀ = – 2, то уравнение касательной имеет вид y = 6.

Ответ: y = 4x + 18; y = 6

6. Физкультминутка. Упражнение “Роняем руки” расслабляет мышцы всего корпуса. Дети поднимают руки в стороны и слегка наклоняются вперёд. По команде учителя снимают напряжение в спине, шее и плечах. Корпус, голова и руки падают вниз, колени слегка подгибаются. Затем дети выпрямляются, последовательно разгибаясь в тазобедренном, поясничном и плечевом поясе, и принимают исходное положение. Упражнение повторить несколько раз.

7. Самостоятельная работа с самопроверкой на уроке.

Напишите уравнение касательной к графику функции у=f(x) в точке с абсциссой а.

Вариант 1 Вариант 2

f(x) = х²+ х+1, а=1 f(x)= х-3х², а=2

Ответы: 1 вариант: у=3х; 2 вариант: у= -11х+12

8. Подведение итогов урока.

- что называется касательной к графику функции в точке?
- в чём заключается геометрический смысл производной?
- сформулируйте алгоритм нахождения уравнения касательной в точке.

9. Домашнее задание. П.5.2; № 5.21; №5.35; Подготовка к ЕГЭ В-8 № 3 - 10

10. Рефлексия деятельности на уроке.

Что нового узнали на уроке?

Что было наиболее сложным для понимания?