Конспект урока по геометрии " Углы между касательной к окружности и хордой, проведенной в точку касания" 8 класс

^{Конспект урока по геометрии}

8 класс

Тема: «Углы между касательной к окружности и хордой, проведённой в точку касания»

Цель : создать условия для введения понятия ещё одного вида углов, связанных с понятием окружности – углов между касательной к окружности и хордой, проведённой в точку касания; рассмотреть связь градусной меры углов между касательной и хордой с градусными мерами уже ранее изученных углов; отработать навык решения задач с использованием вновь сформулированных свойств;

Планируемые результаты:

Предметные умения: Владеют базовым понятийным аппаратом по основным разделам содержания.

Универсальные учебные действия:

Познавательные: умеют устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение, делать умозаключения и выводы; умеют создавать, применять и преобразовывать знаково-символические средства, модели и схемы для решения задач.

Регулятивные: умеют самостоятельно ставить цели, выбирать и создавать алгоритмы для решения учебных математических задач.

Коммуникативные: умеют организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками, работать в паре.

Личностные: проявляют способность к эмоциональному восприятию математических объектов, задач, рассуждений, решений.

I этап. Актуализация опорных знаний учащихся

1. Устная работа (по рисунку 1)

Устная работа проводится для того чтобы сориентировать учащихся на самостоятельную работу, которая последует вслед за этим. Чертёж, который использовался при опросе, будет являться подсказкой, поэтому в сильном классе его имеет место убрать, а в слабом – наоборот, оставить.

B

O

Рис. 1

C

A

У. С какими углами, связанными с окружностью, вы уже знакомы? Дайте определение и назовите их на чертеже

Д. 1) Центральный угол (

2) Вписанный в окружность (

У. Как связаны градусные меры этих углов?

Д.Градусная мера вписанного угла равна половины градусной меры ему соответствующего центрального угла (

У. Как связаны их градусные меры с дугой, на которую они опираются?

Д. ‿ АС, ‿АС.

У. Какие следствия из теоремы о вписанном в окружность угле вами уже изучены?

Д. Вписанный в окружность угол, опирающийся на диаметр, прямой.

Вписанные в окружность углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

2. Самостоятельная работа (по материалу, разобранному в устной работе)

Самостоятельная работа направлена на проверку знаний теоретического материала. Первое задание очень простое, но только для тех учащихся, которые понимают связь данных понятий, а не зазубривают формулировки. Данная работа даст возможность проанализировать восприятия классом теоретического материала. Второе задание направлено на проверку самостоятельной работы учащихся дома, так как данные следствия были разобраны на уроке только в устной форме, а письменное доказательство было предложено в качестве домашнего задания. Оценку «3» в данной работе можно поставить за выполнение первого задания и запись верной формулировки следствия во втором.

Вариант1.

I.Вместо многоточия вставьте верный вариант ответа:

в 2 раза больше; в 2 раза меньше; равно.

1. Вписанный в окружность угол всегда …………….. соответствующего центрального угла.

2. Центральный угол всегда ……………. соответствующей дуге.

3. Вписанный в окружность угол всегда …………….. соответствующей дуге.

4. Центральный угол всегда …………….. соответствующего вписанного угла.

5. Дуга окружности всегда ……………… соответствующего вписанного угла.

6. Градусная мера дуги всегда …………….. соответствующему центральному углу.

II. Сформулируйте и докажите свойство вписанного в окружность угла, опирающегося на диаметр.

Вариант 2.

I.Вместо многоточия вставьте верный вариант ответа:

в 2 раза больше; в 2 раза меньше; равно.

1. Градусная мера дуги всегда …………….. соответствующему центральному углу.

1. Центральный угол всегда ……………. соответствующей дуге.

2. Дуга окружности всегда ……………… соответствующего вписанного угла.

3. Центральный угол всегда …………….. соответствующего вписанного угла.

4. Вписанный в окружность угол всегда …………….. соответствующей дуге.

5. Вписанный в окружность угол всегда …………….. соответствующего центрального угла.

II. Сформулируйте и докажите свойство вписанного в окружность угла, опирающегося на диаметр.

Ответы:

II этап. Изучение нового материала

Объяснение нового материала начинается не с доказательства, а с устной задачи, которая подводит учащихся к самостоятельной формулировке данного свойства, а также облегчает доказательства, так как оно повторяет этапы решения задачи.

1. Устная работа по рисунку на доске (рис.2)

О

30°

B

A

C

Рис.2

У. Назовите на чертеже центральный угол.

Д.

У. Что называется хордой?

Д. Отрезок, соединяющий две точки окружности; в нашем случае АВ.

У. Назовите касательную к окружности. Каким свойством она обладает?

Д. Прямая ВС. Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания, значит, °.

Учитель обозначает этот угол на рисунке.

У. Покажите углы между касательной и хордой, проведенной в точку касания. Выберите и обозначьте наименьший.

Д. ° (90° - 30°)

У. Назовите дугу, заключенную между касательной и хордой.

Д. ‿ АВ

У. Какому углу она равна?

Д. ‿АВ=

Эту формулировку учащиеся записывают под чертежом.

У. Вычислите градусную меру этого угла.

Д. АО = ОВ (радиусы), следовательно, треугольник АОВ - равнобедренный с основание АВ, следовательно, °, следовательно ° - 2*30° = 120°

У. Сравните градусную меру угла между касательной и хордой и градусную меру дуги, заключенной между касательной и хордой.

Д. Угол между касательной и хордой, проведенной в точку касания, равен половине дуги, заключенной между ними.

У. Ребята, мы сейчас сформулировали свойство угла, образованного касательной к окружности и хордой, проведенной к точке касания. Запишем это свойство в тетрадь.

Учащиеся записывают.

У. Почему нельзя сказать, что это свойство мы уже доказали?

Д. Числовой пример не является доказательством, так как мы не можем перебрать все числа.

2. Письменное доказательство теоремы

Учитель доказывает теоремы у доски, дети записывают доказательство в тетрадь.

Доказательство теоремы опирается на уже решенную задачу; учащиеся поясняют уже те моменты, которые разбирались.

O

N

A

В

M

Рис.3

Дано: Окружность (O;r), MN - касательная, АВ - хорда, АВ ∩ MN={A}(рис3.).

Доказать: ‿ ВА.

Доказательство:

1. Дополнительное построение: ВО=АО (радиусы)

1. °, так как MN - касательная, ОА -радиус,°

2. Рассмотрим треугольник ВОА: ОВ=ОА, значит, треугольник равнобедренный с основанием АВ, поэтому

° - ° - 2*° - ОАВ)

1. ‿ ВА=° - ‿ВА=2*

и ‿ ВА.

III Закрепление изученного материала

При закреплении нового материала используются задачи не из учебника, поэтому учащимся раздаются распечатки, содержащие задания. Задание №1 и 2 выполняются устно, №3,4 (дополнительно) - письменно.

№1 (рис.4)

B

С

?

О

А

Рис.4

Решение:

‿ ВА ( свойство угла между касательной и хордой).

‿ ВА=° (развернутый угол).

°=90°

№2 (рис.5)

В

Е

?

О

50°

С

А

Рис.5

№3. (рис.6)

E

ADB- ?

D

В

30°

A

80°

М

Рис.6

После этого можно сформулировать и записать как свойство:

Угол между касательно и хордой, проведенной в точку касания, равен вписанному углу, опирающемуся на дугу, заключенную между касательной и хордой.

№4 (рис.7)

Дано: треугольник АВС вписан в окружность,

ВМ - касательная к окружности.

В

Вычислить:

М

5хх

О

6х

4х

С

A

Рис.7

Решение:

Рассмотрим треугольник АВС: °.

Пусть х- коэффициент пропорциональности:

4х+5х+6х=180,

15х=180,

х=12.

°=48°, ° (свойство угла между касательной и хордой и вписанного угла, опирающегося на дугу, заключенную между касательной и хордой).

°+48°=60°+48°=108°.

IV. Итог урока.Рефлексия

N

В

A

O

M

C

К

У. Назовите все получившееся вписанные углы.

Д.

У. Назовите все углы между касательной и хордами.

Д. NAB, NBA, KBC, KCB, MCA, MAC.

У. Какие из них будут равны и почему?

Д. NAB=NBA, KBC=KCB, MCA=MAC.У каждой пары этих углов между касательной и хордой заключена одна и та же дуга, поэтому они численно равны её половине, то есть равны между собой.

У. Какой из углов треугольника равен каждой из этих трёх пар и почему?

Д. NAB=NBA=C; KBC=KCB=A; MCA=MAC=B. Так как угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на дугу, заключенную между касательной и хордой.

У. Что можно сказать про вид треугольников ANB; BKC; CMA?

Д. Они равнобедренные, так ка в каждом из этих треугольников есть по два равных угла.

Домашнее задание