Конспект урока по теме " Бином Ньютона"

Тема урока: Бином Ньютона.

Цели урока:

Образовательные:
– научить учащихся возводить двучлен в натуральную степень;
– находить биноминальные коэффициенты, используя треугольник Паскаля;

Развивающие:
– развивать логическое мышление, такие мыслительные операции, как синтез и анализ, обобщение и сравнение;
– развивать умение выдвигать гипотезы при решении учебной задачи и понимать необходимость их проверки;
– развивать интерес к предмету.

Воспитательные:
– создание условий для формирования информационной культуры учащихся.

Методы: проблемный, объяснительно – иллюстративный, частично-поисковый.

Ход урока

1. Организационный момент.

Сообщение темы, целей урока, практической значимости рассматриваемой темы.

2. Актуализация опорных знаний и постановка проблемы.

Бином Ньютона применяется в математике и её приложениях в различных областях науки и техники. Вот несколько примеров его применения:

Алгебра и комбинаторика. Бином Ньютона позволяет возводить в натуральную степень сумму двух слагаемых. Это находит применение в комбинаторике, где помогает решать задачи на подсчёт количества размещений, сочетаний и перестановок.

Теория вероятностей. Бином Ньютона позволяет вычислять вероятности появления определённого количества успехов в последовательности независимых испытаний. Это находит применение в статистике, теории игр, страховании и других областях.

Физика. Бином Ньютона применяется при решении задач на движение тела под действием силы тяжести или других сил. Он также используется для вычисления производных и интегралов, которые встречаются в уравнениях движения.

Химия. Бином Ньютона применяется для описания химических реакций, которые подчиняются закону действующих масс. Он также используется для вычисления концентраций веществ в растворах.

Информатика. Бином Ньютона используется в алгоритмах для решения задач на комбинаторику и теорию вероятностей. Он также применяется в алгоритмах сжатия данных и кодирования информации.

Криптография. Бином Ньютона используется для создания и анализа алгоритмов шифрования. Он также применяется для решения задач на криптоанализ и аутентификацию данных.

Финансы. Бином Ньютона применяется в моделях оценки финансовых активов и инструментов. Он также используется для решения задач на управление рисками и оптимизацию портфеля инвестиций.

Биология. Бином Ньютона применяется для описания процессов размножения и наследования признаков в популяциях. Он также используется для анализа генетических данных и моделирования эволюции.

Медицина. Бином Ньютона применяется для анализа медицинских данных и моделирования заболеваний. Он также используется для вычисления вероятностей возникновения различных исходов лечения.

Искусство и культура. Бином Ньютона может быть использован в качестве инструмента для создания новых идей и концепций в искусстве, литературе и музыке. Он позволяет исследовать различные комбинации элементов и находить неожиданные решения.

Это лишь некоторые примеры применения бинома Ньютона. Он находит применение во многих других областях науки и техники.

3. Объяснение нового материала.

1) Повторим формулы сокращенного умножения, которые мы с вами знаем.

У доски учащиеся записывают формулы квадрата суммы и разности, формулы куба суммы и куба разности двух выражений.

(а + в)² = а²+ 2ав + в²
(а – в)² = а² – 2ав + в²
(а + в)³= а³ + 3а²в + 3ав² + в³ 
(а – в)³= а³ – 3а²в + 3ав² – в³

2) Попробуйте записать формулу для 4-ой степени

(а+в)⁴=(а+в)³(а+в)=(а³+3а²в+3ав²+в³)(а+в)= а⁴ + 3а³в + 3а²в² + ав³ + а³в + 3а²в² + 3ав³ + в⁴ =

= а⁴ + 4а³в + 6а²в² + 4ав³ + в⁴ .

и для 5-ой степени:

(а + в)⁵= (а + в)⁴(а + в) = (а⁴ + 4а³в + 6а²в² + 4ав³ + в⁴)(а + в) =

а⁵ + 4а⁴в + 6а³в² + 4а²в³ + в⁴а + а⁴в + 4а³в² + 6а²в³ + 4ав⁴ + в⁵ = а⁵ + 5а⁴в + 10а³в² + 10а²в³ + 5ав⁴ + в⁵

Внимательно рассмотрим полученные формулы: на экране таблица “Смотри!”

n = 0 (а +в)⁰ = 1

n = 1 (а +в )¹ = 1·а+1·в

n = 2 (а + в)² = 1· а²+ 2·ав +1· в²

n = 3 ( а + в)³ = 1· а³ + 3·а²в + 3·ав²+1· в³

n = 4 ( а + в)⁴ = 1·а⁴ + 4·а³в + 6·а²в²+4·а в³ +1·в⁴

n = 5 (а + в)⁵ = 1·а⁵+ 5·а⁴в+ 10·а³в²+ 10·а²в³+ 5·ав⁴+ 1·в⁵

3) Заметим следующее (обсуждаем вместе с учащимися увиденные закономерности):

1. число членов получаемого многочлена на единицу больше показателя степени бинома;

2. показатель степени первого слагаемого убывает от n до 0, показатель степени второго слагаемого возрастает от 0 до n;

3. степени всех одночленов равны степени двучлена в условии;

4. каждый одночлен является произведением первого и второго выражения в различных степенях и некоторого числа; числа– биноминальные коэффициенты;

5. биноминальные коэффициенты, равноотстоящие от начала и конца разложения, равны.

Слово “бином” означает всего-навсего двучлен, т.е. сумму двух слагаемых. Происходит оно от латинских корней: два и слово.

Попробуем, используя полученные выводы, записать бином для шестой степени.

4) У доски ученик записывает формулу.

Коэффициенты разложения степени бинома легко найти по следующей схеме, которая называется “треугольник Паскаля”, по имени французского математика Блез Паскаля (1623–1662)

Каждый крайний элемент равен 1, а каждый не крайний элемент равен сумме двух своих верхних соседей.

Блез Паскаль умер в 39 лет, но, несмотря на столь короткую жизнь, он вошел в историю как выдающийся математик, физик, философ и писатель. Его именем благодарными потомками названы единица давления(паскаль) и получивший чрезвычайно широкое распространение язык программирования. Но, наверное, самой известной математической работой Блеза Паскаля является “Трактат об арифметическом треугольнике”, образованном биноминальными коэффициентами, который имеет применение в теории вероятностей, комбинаторики, математическом анализе, теории чисел и обладает удивительными и занимательными свойствами. Кстати, одну из первых теорем в проективной геометрии Паскаль доказал в возрасте 16 лет.

Именно И.Ньютон в 1664–1665 гг. вывел формулу, выражающую степень двучлена для произвольных дробных и отрицательных показателей.

Бином Ньютона представляет собой формулу, которая позволяет возводить двучлен в любую степень. Эта формула была разработана британским математиком Исааком Ньютоном.

Вот некоторые интересные факты о биноме Ньютона:

Бином Ньютона позволяет быстро возводить двучлен в любую степень.

Формула используется в различных областях науки и техники.

Хотя эта формула была известна ещё в Древней Индии, её автором является Исаак Ньютон.

Бином Ньютона служит для доказательства других формул и теорем.

Формула также применяется для подсчёта количества комбинаций и перестановок.

Существует треугольник Паскаля, который иллюстрирует построение бинома Ньютона.

Формула используется в физике, химии, экономике и других науках.

Бином Ньютона помогает решать задачи, связанные с расчётом вероятностей.

Формула применяется для вычисления вероятностей в теории вероятностей и математической статистике.

Бином Ньютона является основой для других формул.

5) Найти разложение бинома (у каждого на парте треугольник Паскаля).

1. У доски вместе с учителем

№ 1. ( х +у)⁵ = х⁵ + 5х⁴у + 10х³у² + 10х²у ³+ 5ху⁴ + у⁵

№ 2. (1 + 2а)⁴ = 1⁴ + 4·1³·2а + 6·1²·(2а)² + 4· 1¹·(2а)³ + (2а)⁴ =

1 + 8а + 24а² + 32а³ + 16а⁴

№3 (х – у)⁶ = (х + (-у))⁶ = х⁶ + 6х⁵(-у) + 15х⁴(-у)² + 20х³(-у)³ +

15х²(-у)⁴ + 6х(-у)⁵ + у⁶= х⁶– 6х⁵у +15х⁴у²– 20х³у³ + 15х²у⁴ – 6ху⁵+ у⁶.

2. Биноминальные коэффициенты можно вычислять по формуле.

Записывается формула бинома Ньютона. Формула для нахождения коэффициентов.

В более общем виде формула коэффициентов в биноме записывается так:



где k – порядковый номер слагаемого в многочлене.
Напомним, что факториал – произведение натуральных чисел от 1 до n, то есть 1·2·З...·n – обозначается n! Например: 4! = 1·2·3·4 = 24.

4. Работа с учебником (с. 332-333, задача №3), № 1092-1095 нечетные.

5. Самостоятельная работа по карточкам:

1. ( 1 + 3а)⁴ 
2. (2а – в)⁵
3. (3в + 1)⁴ 
4. (х – 2у)⁵

6. Итог урока. Оценки за урок.

7. Домашнее задание: § 64, № 1092, 1093 четные, свойства биноминальных коэффициентов