Конспект урока по теме: Четыре замечательных точки в треугольнике" (базовый уровень) 8 класс.

Конспект урока по теме: « Четыре замечательные точки треугольника» (базовый уровень) 8 класс.

Цели урока:

• рассмотреть  теорему  о  свойстве  биссектрисы  угла  и  ее следствие.

• развивать логическое мышление, пространственное воображение, математическую речь и чувство ответственности за свои знания.

• воспитывать аккуратность, настойчивость, культуру и дисциплину труда.

Задачи:

- Рассмотреть основные теоремы, связанные с замечательными точками в треугольнике;

- Рассмотреть пересечение линий в треугольнике, обозначение и свойства с использованием «оригами»

- Обобщить изученный материал при ответах на вопросы теста.

Тип урока: урок применения знаний и умений.

Оборудование: доска, мел, учебник, чертежные принадлежности.

ХОД УРОКА

I. Проверка домашнего задания.

1. Решить устно:

1) Докажите, что ОАС = ОВС.

2) Прямая m пересекает отрезок АВ в его середине. Докажите, что концы отрезка АВ равноудалены от прямой m.

II. Повторение теоретического материала:

- Что такое медиана треугольника?

Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

- Сколько медиан в треугольнике?

Любой треугольник имеет три медианы.

- Что еще можно сказать о точке пересечения медиан?

Точка пересечения медиан делит их в отношении 2:1 считая от вершины, и ее называют центром масс.

- Что такое биссектриса?

- Биссектрисой называется отрезок биссектрисы любого угла треугольника от вершины до пересечения с противоположной стороной.

- Сколько биссектрис в треугольнике?

Любой треугольник имеет три биссектрисы. И эта точка является центром вписанной окружности.

- Что такое высота треугольника?

Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из любой вершины треугольника на противоположную сторону или на ее продолжение.

- Сколько высот имеет треугольник?

Любой треугольник имеет три высоты. И эта точка называется ортоцентр.

Есть в треугольнике еще серединные перпендикуляры, их тоже три. Серединным перпендикуляром называется: Прямая, проходящая через середину отрезка и перпендикулярно к нему. В треугольнике три серединных перпендикуляра. И эта точка является центром описанной окружности.

III. Практическая работа.

Раздать по рядам фигурки треугольников из бумаги и попросить согнуть по линии медиан - первому ряду; по линиям биссектрис – второму ряду; по линиям высот – третьему ряду.

Делаем выводы. Что же произошло с медианами, биссектрисами, высотами?. Они пересеклись в одной точке. Эти точки и называют « Замечательными точками треугольника». Заметим, что точка пересечения биссектрис, является центром вписанной окружности

IV. Изучение нового материала

1) Доказательство теоремы.

2) Доказательство следствия из теоремы.

Изложить лучше самому учителю в виде небольшой лекции.

III. Закрепление изученного материала.

Тест

Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

1. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны, называется ...

2.Перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или её продолжение, называется ...

3.В треугольнике АВС отрезок ВD делит угол АВС на два равных угла. Как называется отрезок ВD?

4.В треугольнике АВС отрезок AD является медианой. Чему равна длина стороны ВС, если длина отрезка BD равна 3 см?

5.Чем является точка пересечения серединных перпендикуляров в треугольнике?

6.Может ли точка пересечения высот лежать вне треугольника?

7.Сколько высот имеет любой треугольник?

8.Чем является точка пересечения биссектрис?

Решение примеров:

№ 674.

Решение

1)  АОМ =  ВОМ (по гипотенузе и острому углу), тогда АО = ОВ.

2)  АОВ – равнобедренный, поэтому биссектриса ОD является высотой, то есть DО   АВ.

3) Так как D  ОМ, то АВ  ОМ.

№ 675.

Решение

1) Так как отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности, то точки О1 и О2лежат на биссектрисе угла (следствие из теоремы п. 69), и, значит, точки О, О1 и О2 лежат на одной прямой.

2) О1А   m и О2А   m (свойство касательной), следовательно, точки А, О1 и О2 лежат на одной прямой. Таким образом, точки А, О, О1, О2  лежат  на  одной  прямой.  Тогда  точки О1 и О2 лежат на прямой ОА.

№ 676 (а).

Решение

1)  АОВ =  АОС (по гипотенузе и катету), тогда  ОАВ =  ОАС =  BAC.

2)  АОВ,  В = 90°

sin  ОАВ =  , ВО = ОА · sin ОАВ = ОА · sin , ОА =  ; ОА =   = 10 (см).

 IV. Итоги урока.

Что вы видите на чертеже?

OK = ON = OM.

V.Рефлексия.

- Что повторили на уроке?

- Чем занимались на уроке?

- Что выучили на уроке?

- Что понравилось?

VI. Домашнее задание:

Ответить на вопросы 15, 16, с. 187;

Решить №№ 676 (б), 778 (а).

Контрольные вопросы, которые можно предложить для закрепления или для повторения на следующем уроке.

• Дайте определение медиане треугольника.

• Сформулируйте теорему о медианах треугольника.

• Дайте определение биссектрисе треугольника.

• Сформулируйте свойство биссектрисы неразвернутого угла и обратное утверждение.

• Сформулируйте теорему о биссектрисах треугольника.

• Дайте определение серединному перпендикуляру к отрезку.

• Сформулируйте свойство серединного перпендикуляра к отрезку и обратное утверждение.

• Сформулируйте теорему о серединных перпендикулярах к сторонам треугольника.

• Дайте определение высоте треугольника.

• Сформулируйте теорему о высотах треугольника