Конспект урока по теме: "Умножение разности двух выражений на их сумму" (Алгебра, 7 класс)

7 класс АЛГЕБРА Урок № 70

Тема: Умножение разности двух выражений на их сумму

Цель: ознакомить с формулой для разности квадратов и её применением

ХОД УРОКА

I. Сообщение темы и цели урока

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешённых заданий).

2. Контроль усвоения материала (самостоятельная работа).

III. Изучение нового материала

- Приведём ещё одну формулу сокращённого умножения

(a – b)(a + b) = a² – b² , (1)

которая позволяет быстро умножать разность и сумму одних и тех же чисел a и b.
–Выведем эту формулу алгебраическим способом.
Множим разность чисел a – b на их сумму a + b. Получаем:
(a – b)(a + b) = a² + ab – ba – b² = a² – b².

Пример 1.

– Перемножим числа 47 и 53, записав их в виде разности и суммы двух чисел: 47 = 50 – 3 и 53 = 50 + 3. Используя формулу (1), получаем 47  53 = (50 – 3)(50 + 3) = 50² – 3² = 2500 – 9 = 2491.

Пример 2.

– Сравним числа А = 141  144  148  151 и В = 146⁴. Получаем 141 = 146 – 5, 144 = 146 – 2, 148 = 146 + 2, 151 = 146 + 5. Тогда число А имеет следующий вид:
А = (146 – 5)(146 – 2)(146 + 2)(146 + 5).

– Изменив порядок умножения сомножителей, перемножив сначала два крайних числа, а затем два средних. Получаем А = (146 – 5)(146 + 5)  (146 – 2)(146 + 2).

– Используя формулу (1), имеем А = (146² – 5²)(146² – 2²). Очевидно, что в таком произведении каждый множитель меньше числа 146², т.е. 146² – 5² 146² и
146² – 2² 146². Поэтому произведение меньше 146²  146² = 146^{2 + 2} = 146⁴ = В. Таким образом, число А меньше числа В, т.е. А В.

Пример 3

– Перемножим выражения 4а – 5b и 4а + 5b. Используя формулу (1) и правила действий со степенями, получаем (4а – 5b)(4а + 5b) = (4а)² – (5b)² = 16а² – 25b².

Пример 4

– Представим в виде многочлена выражение (3a³ – 2b²)(3a³ + 2b²).

– Используя формулу (1), получаем (3a³ – 2b²)(3a³ + 2b²) = (3a³)² – (2b²)² = 9a⁶ – 4b⁴.

Пример 5

– Перемножим выражения –6a – 5b и 6a – 5b.
– В первом выражении –6a – 5b вынесем за скобки число (–1) и получим
(–6a – 5b)(6a – 5b) = (–1) (6a + 5b)(6a – 5b) = –((6a)² – (5b)²) = –(36a² – 25b²)= 25b²–36a². – Заметим, что преобразование можно выполнить и сразу:
(–6a – 5b)(6a – 5b) =(–5b – 6a) (– 5b + 6a) = (–5b)² – (6а)² = 25b² – 36а².

Пример 6

– Упростим выражение (6a – 7b)(6a + 7b) – (3a + 4b)(12a – 17b) – 3ab.
– Раскроем скобки, а для первого произведения используем формулу (1). Получаем
(6a – 7b)(6a + 7b) – (3a + 4b)(12a – 17b) – 3ab = (6а)² – (7b)² – (36a² – 51ab + 48ab – 68b²) – 3ab = 36a² – 49b² – (36a² – 3ab – 68b²) – 3ab = 36a² – 49b² – 36a² + 3ab + 68b² – 3ab = 19b².

IV. Решение упражнений

№854; 857(I); 858; 859 (II).

V. Анонс домашнего задания

• Прочитать пункт 34

• Решить № 855; 857 (II); 859(I).

VI. Подведение итогов урока