Конспект урока по теме «Уравнение плоскости»

Конспект урока по теме «Уравнение плоскости»

(Геометрия, 11 класс)

Цели:

1. ввести понятие уравнение плоскости;

2. показать, как составлять уравнение плоскости по точке и вектору нормали, по трем точкам, как находить расстояние от точки до плоскости.

Тип урока: изучение нового материала.

Методы: объяснительно-иллюстративный, репродуктивный, беседа.

План урока:

1. Организационный этап

2. Подготовительный этап

3. Объяснение нового материала

4. Закрепление нового материала

5. Подведение итогов

6. Постановка домашнего задания

Ход урока

1. Организационный этап

Учитель сообщает учащимся тему урока.

- Здравствуйте, откройте, пожалуйста, тетради и запишите тему нашего урока «Уравнение плоскости».

II. Подготовительный этап

- Сегодня мы поговорим о плоскостях. Ранее в планиметрии выводили уравнение прямой на плоскости. Кто помнит, как выглядит уравнение?

( )

- Для чего используется это уравнение?

(Для вычисления угла между прямыми, нахождение расстояния от точки до прямой и т. д.)

- Все верно! Сейчас мы с Вами выведем аналогичное уравнение только для плоскости.

III. Объяснение нового материала

Пусть нам дана прямоугольная система координат Oxyz и дана некоторая поверхность (плоскость) F. (рис. 1)

Рис. 1

Определение. Уравнение с тремя неизвестными x, y, z называется уравнением поверхности F, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки поверхности F и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащий на этой поверхности.

- Выведем теперь с Вами уравнение плоскости α, проходящей через точку и перпендикулярной вектору нормали . (рис. 2)

Рис. 2

- Зададим произвольную точку пространства, которая отлична от . Эта точка лежит в нашей плоскости тогда и только тогда, когда векторы и перпендикулярны. А это означает, что их скалярное произведение равно нулю. (рис. 3)

M (x, y, z)

Найдем координаты :

Найдем скалярное произведение .

– уравнение плоскости

Существует еще один способ записи уравнения плоскости. Перепишем наше уравнение плоскости.

.

Домножим все на (-1) и раскроем скобки.

Получим: .

обозначим через d.

В итоге получим: .

– уравнение плоскости

- Уравнение плоскости используется при нахождении расстояния о точки до прямой, давайте запишем с Вами формулу.

, где , плоскостьα задана уравнением ax+by+cz+d=0.

IV. Закрепление нового материала

Дано:

ABCDA1B1C1D1 – куб

Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку B и перпендикулярна вектору .

Решение:

1. Найдем координаты интересующих нас вершин: A(0, 0, 0), B(0, 1, 0), C1(1, 1, 1).

2. Найдем координаты вектора : .

3. Подставляем координаты вектора в уравнение плоскости:

1x+1y+1z+d=0.

1. Мы знаем, что плоскость проходит через точку B(0, 1, 0). Подставляем эти координаты в найденное уравнение плоскости, чтобы найти d.

d = -1.

1. Составим уравнение плоскости: x+y+z-1=0.

Ответ: x+y+z-1=0

№2. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку M (-5,1, 1) и имеет вектор нормали .

Решение:

1. -4x+2y-z+d=0

2. 

d = -21

1. -4x+2y-z-21=0.

№3. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку M (5, -1, 4) и имеет вектор нормали .

Решение:

1. 2x+3z+d=0

2. 

d = -22

1. 2x+3z-22=0.

№4. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку M (4, -2, 3) и имеет вектор нормали .

Решение:

Используем формулу .

1. Подставим координаты вектора нормали:

1. Подставим координаты точки:

1. Раскроем скобки:

1. Составим уравнение плоскости:

.

№5. Составить уравнение плоскости ABC, если известны координаты этих точек A (1, 0, 0), B (0, 1, 2), C (1, 1, 1).

Решение:

Будем искать уравнение плоскости в виде .

Подставим координаты точек A, B, C в уравнение:

Имеем: -dx+dy-dz+d=0 (домножаем все на (-d))

x-y+z-1=0 – уравнение плоскости.

№6. Найти расстояние от точки N (10, 20, -30) до плоскости

α: 8x+6z+15=0.

Решение:

Подставляем все в формулу.

1. Подведение итогов

- Ребята, скажите, пожалуйста, с чем мы сегодня познакомились на уроке?

(Уравнение плоскости)

- Верно! Назовите мне две формулы уравнения плоскости.

( , )

- Верно! С какой формулой мы еще сегодня познакомились?

(Формула нахождения расстояния от точки до прямой,

)

1. Постановка домашнего задания

Домашнее задание: прочесть конспект в тетради, выучить три формулы.

№1. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку M (-3, 1, 0) и имеет вектор нормали .

№2. Составить уравнение плоскости ABC, если известны координаты этих точек A (2, 0, 0), B (-1, 3, 0), C (2, 4, 1).