Конспект урока по теме: "Взаимное расположение прямых в пространстве. Скрещивающиеся прямые."

1

ФИО учителя

Муратова Валентина Васильевна

2

Место работы

ГОКУ АО «Общеобразовательная школа при учреждениях исполнения наказания» УКП при ФКУ ИК-8 г. Благовещенска.

3

Должность

Учитель математики.

4

Предмет

Математика (геометрия)

5

Класс

10

6

Тема урока

Взаимное расположение прямых в пространстве. Скрещивающиеся прямые.

7

Базовый учебник

Геометрия. Учебник для учащихся 10– 11кл под редакцией Л.С.Атанасяна,В.Ф.Бутузова,С.Б.Кадомцева и др. «Просвещение», Москва, 2019 год

Этапы урока

Деятельность учителя

Деятельность учеников

I. Организационный момент.

Создание благоприятного психологического настроя на работу: учитель приветствует учащихся , учащиеся приветствуют учителя; учитель проверяет готовность учащихся к уроку, учащиеся проверяют свою готовность к уроку. Организация внимания.

Слушают учителя, проверяют свою готовность к уроку.

II. Повторение пройденного материала. Актуализация опорных знаний, необходимых для усвоения нового материала.

На данном этапе проводится работа, которая помогает обучающимся прогнозировать тему урока и сформулировать цель.

Вступительное слово учителя.

-Запишем число, классная работа.

-Сейчас мы с вами должны: вспомнить аксиомы стереометрии, а так же закрепить имеющиеся знания о расположении прямых в пространстве. Для этого вам предстоит собрать предложения, относящиеся к аксиоматике и определениям стереометрии. Проставьте в тетрадях числа от 1 до 5 и, напротив числа, напишите то слово из предложенных, которое необходимо вставить. Будьте внимательны, нужно соблюдать чёткий порядок при заполнении предложений. Слайд №2. На нём записаны предложения с пропусками. Задание №1 «Собери выражение» 1) Единственную плоскость можно задать через три точки, при этом они … на одной прямой.

2) Если … точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит плоскости.

3) Две различные плоскости могут иметь только одну общую … .

4) Прямые являются … в пространстве, если они не пересекаются и … в одной плоскости. (параллельными, лежат)

5).Если прямые лежат в одной плоскости, то они либо …, либо ….

(Одна, пересекаются. две, три, лежат, не лежат, точку, прямую, параллельными).

Слушают учителя. Записывают в тетрадь число и классная работа.

Заполняют пропуски. Один ученик у доски, остальные в тетрадях. Выполняют взаимопроверку.

III. Постановка темы и целей урока.

А сейчас вспомним о том как могут распологаться прямые на плоскости и в пространстве. Слайд 3 и 4

На слайде третий вариант расположения прямых. Обсуждаем этот случай. Вопрос: эти прямые могут лежать в одной плоскости? Такие прямые называются скрещивающимися. Таким образом тема нашего урока «Скрещивающиеся прямые»

Какие цели ребята вы ставите перед собой на нашем уроке?

Ребята отвечают: пересекаются, параллельные, в обоих случаях лежат в одной плоскости. На вопрос о о скрещивающихся прямых- ответ: не могут лежать в одной плоскости. Формулируют тему урока «Скрещивающиеся прямые» и записывают в тетрадь. Учащиеся самостоятельно формулируют цели урока.

- Узнать всё о скрещивающихся прямых

- Научиться решать задачи практического содержания.

IV. Изучение нового материала. Лекция с элементами беседы и иллюстрациями.

Р ассмотрим треугольную призму АВСА₁В₁С_1. Что вы можете сказать о прямых АВ и А₁В₁; ВВ₁ и СС_1; А₁В₁ и В₁С₁; АА₁ и ВС.

Скрещивающиеся прямые вокруг нас.

Ученики отвечают на поставленные вопросы: АВ и А₁В₁ (лежат в одной плоскости, параллельные прямые по определению параллельности прямых);

ВВ₁ и СС₁ (лежат в одной плоскости, параллельные прямые по определению параллельности прямых);

А₁В₁ и В₁С₁ (лежат в одной плоскости, пересекающиеся прямые по следствию из аксиом);

АА₁ и ВС(не лежат в одной плоскости и не пересекаются).

- Заметим, что последний вид расположения прямых задает их расположение каким-то новым способом. Такие прямые называются скрещивающиеся.

- Попробуйте дать определение скрещивающихся прямых.

- Сделайте рисунок и запишите определение в тетрадь 

Делают рисунок, записывают в тетрадь определение скрещивающихся прямых и как они обозначаются.

V.Восприятие и осознание нового материала.

И так - подумайте и сделайте выводы о том, как в пространстве могут располагаться две прямые.

(Если две прямые лежат в одной плоскости, то они либо параллельны, либо пересекаются, а если прямые не лежат в одной плоскости, то они скрещивающиеся).

Составление схемы расположения прямых (слайд №7).

Докажем теорему, которая выражает признак скрещивающихся прямых.

 Вернёмся к призме (слайд №8,9).

- АА₁ и ВС – скрещивающиеся рёбра.

- В каких плоскостях лежит прямая АА₁?

- Как расположена прямая ВС по отношению к этим плоскостям?

(Она пересекает эти плоскости в точках, не лежащих на прямой АА₁). Мы получили признак скрещивающихся прямых:

«Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся».

Доказательство теоремы. 1. Рассмотрим прямую АВ, лежащую в плоскости ꭤ , и прямую СD, пересекающую эту плоскость в точке С, не лежащей на прямой АВ.

2. Предположим, что прямые АВ и СD лежат в некоторой плоскости ( β),

тогда плоскость β будет проходить через прямую АВ и точку С, и поэтому, совпадает с плоскостью ꭤ.

3. Тогда СD лежит в плоскости , что противоречит условию, СD пересекает плоскость.

4. Значит, наше предположение о том, что прямые АВ и СD лежат в одной плоскости, неверно. Значит, АВ и СD не лежат в одной плоскости, т.е. скрещиваются.

Теорема доказана.

Обучающиеся слушают лекцию учителя, добавляют информацию к ранее изученным сведениям.

Учащиеся отвечают на поставленные вопросы

Выполняют чертёж для теоремы о признаке скрещивающихся прямых и записывают в тетрадь формулировку теоремы.

Планируют свою деятельность при решении поставленной задачи.

Слушают доказательство теоремы, делают записи в тетрадях.

VI.Первичная проверка понимания темы

Установление правильности и осознанности изучения темы. Выявление первичного осмысления изучаемого материала, обеспечение закрепления в памяти учащихся знаний, которые им необходимы для работы по новому материалу).

- Итак, сколько возможных случаев взаимного расположения прямых в пространстве можно выделить?

Пример 1. Используя рисунок, укажите прямую, скрещивающуюся с прямой АВ и принадлежащую плоскости АСС₁.

Решение. Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

Прямая АВ лежит в плоскости АВВ₁. Эту плоскость пересекает прямая А₁С₁, следовательно, прямые АВ и А₁С₁ скрещиваются.

Ответ: АВ и А₁С₁

Работа с учебником: 1 вариант №34(а, в, д), 2 вариант №34 (б, г, е)

Учащиеся решают поставленную задачу.

( Перечисляют все случаи расположения прямых в пространстве, и 3 человека выходят к доске выполняю рисунки с оформлением записи под рисунком).

Изучают чертёж призмы, решают задачу.

Два человека работают у доски. Остальные в тетрадях выполняют задание из учебника и затем проверяют друг у друга.

VII. Подведение итогов урока. Рефлексия

Ребята, мы сегодня рассмотрели все случаи расположения прямых в пространстве. Подведём итог нашего урока следующим образом. Закончите предложения:

1. Какие прямые называются параллельными? 2.Какие прямые называют пересекающимися?

3. Какие прямые называются скрещивающимися?

4. Сформулируйте признак скрещивающихся прямых.

5. Каковы случаи взаимного расположения прямых в пространстве?

Оцените степень вашего усвоения материала:

• усвоил полностью, могу применять;

• усвоил полностью, но затрудняюсь применять;

• усвоил частично;

• не усвоил, нужна консультация.

Учащиеся отвечают на вопросы учителя и заполняют листочки рефлексии. Сдают тетради.