Конспект урока "Степенная функция"

Тема: Степенная функция, её свойства и график

1. Изучение нового материала

Вы знакомы с функциями  и т. д. Все эти функции являются частными случаями степенной функции, т.е. функции  , где n - заданное действительное число.

С войства и график степенной функции существенно зависит от свойств степени с действительным показателем, и в частности от того, при каких значениях x и р имеет смысл степень  . Перейдем к подобному рассмотрению различных случаев в зависимости от показателя степени р.

1. Показатель  - четное натуральное число.

В этом случае степенная функция  , где n - натуральное число, обладает следующими свойствами:

• область определения - все действительные числа, т. е. ;

• множество значений - неотрицательные числа, т. е. ;

• функция обращается в нуль при ; на множествах принимает положительные значения;

• функция  -  четная, так как 

• функция не является периодической;

• функция ограничена снизу и не является ограниченной сверху, причём ;

• точка является точкой минимума, в ней функция принимает своё наименьшее значение ;

• функция является убывающей на промежутке   и возрастающей на промежутке ;

• функция выпуклая вниз на области определения.

График функции   имеет такой же вид, как например график функции  .

1. Показатель  - нечетное натуральное число. В этом случае степенная функция   , где п - натуральное число, обладает следующими свойствами:

• область определения - множество R;

• множество значений - множество R;

• функция обращается в нуль при ; на множествах она принимает отрицательные значения, а на множестве - положительные значения;

• функция  - нечетная, так как ;

• функция не является периодической;

• функция не является ограниченной ни сверху, ни снизу, причём ;

• функция не имеет точек экстремума;

• функция является возрастающей на всей действительной оси.

• функция выпуклая вверх на промежутке и выпуклая вниз на промежутке .

Г рафик функции   имеет такой же вид, как, например, график функции  .

1. Показатель  , где n - натуральное число.

В этом случае степенная функция обладает следующим и свойствами:

• область определения - множество R, кроме ;

• множество значений - положительные числа ;

• функция в нуль не обращается; на промежутках принимает положительные значения;

• функция   - четная, так как  ;

• функция не является периодической;

• функция ограничена снизу и не является ограниченной сверху, причём ; прямая является вертикальной асимптотой, горизонтальной асимптотой;

• функция не имеет точек экстремума;

• функция является возрастающей на промежутке и убывающей на промежутке ;

• функция выпуклая вниз на промежутках .

График функции   имеет такой же вид, как, например, график функции  .

1. П оказатель  , где n - натуральное число. В этом случае степенная функция   обладает следующими свойствами:

• область определения - множество R, кроме ;

• множество значений - множество R, кроме ;

• функция в нуль не обращается; на множествах она принимает отрицательные значения, а на множестве - положительные значения;

• функция  - нечетная, так как ;

• функция не является периодической;

• функция не является ограниченной ни сверху, ни снизу, причём ; прямая является вертикальной асимптотой, горизонтальной асимптотой;

• функция не имеет точек экстремума;

• функция является убывающей на промежутках   и  ;

• функция выпукла вверх на промежутке и выпукла вниз – на .

Г рафик функции   имеет такой же вид, как, например, график функции  .

1. Показатель р – положительное дробное число,

• область определения: ;

• множество значения: ;

• функция обращается в нуль при ; на промежутке принимает положительные значения;

• функция не является ни чётной, ни нечётной;

• функция не является периодической;

• функция ограничена снизу и не является ограниченной сверху, причём ;

• функция принимает наименьшее значение при ;

• функция возрастает на промежутке  ;

• функция на всей области определения при выпуклая вниз, а при - выпуклая вверх.

1. Показатель р – отрицательное дробное число,

• область определения: ;

• множество значения: ;

• функция на промежутке принимает положительные значения;

• ф ункция не является ни чётной, ни нечётной;

• функция не является периодической;

• функция ограничена снизу и не является ограниченной сверху, причём ; прямая является вертикальной асимптотой, горизонтальной асимптотой;

• функция не имеет точек экстремума;

• функция убывает на всей области определения;

• функция на всей области определения выпуклая вниз.

1. Закрепление нового материала

1. Вычислите значение функции в точках 4; ; 0; 0,01.

2. Установите соответствие между графиками, изображёнными на рисунке и степенными функциями:

3. Построить график функции:

а) ;

4. В одной и той же системе координат построить графики функций:

а) ;