Конспект урока " Уравнения. Моделирование задач"

Обобщающий урок в 7 классе

Тема урока: Уравнения. Моделирование задач.

Цель урока:

• Обобщить изученный по данной теме материал.

• Развивать творческую и мыслительную деятельность учащихся.

• Прививать интерес к математике, к её истории.

Оборудование: Портреты Суворова, Пушкина, Пифагора, Ньютона.

Ход урока.

1. Организационный момент. Постановка цели.

2. Обобщение изученного.

а) Диктант с шифром.

В ходе решения уравнений получается слово «Диофант»

б) Анализ уравнений, входящих в диктант. Связать с теорией.

Вопросы

1. Какие уравнения были в диктанте?

2. Что такое уравнение?

3. Что значит решить уравнение?

4. Что называется корнем уравнения?

5. Как называются уравнения имеющие одинаковые корни?

6. Какие уравнения называются линейными?

7. Свойства уравнений.

в) Решить уравнения:

1. Ответ: Х=44.

2. Ответ: Х=2.

3. |Х-3|+7=1 Ответ: Ø.

4. 5-|4+Х|=2 Ответ:-1;-7.

1. Из истории уравнения.

Учитель: Кто и когда придумал первое уравнение – сказать невозможно.

1 ученик: Большой вклад в развитие учения об уравнениях внёс древнегреческий математик Диофант. Он первый для обозначения неизвестных стал применять буквы. Из его работ самой важной является «Арифметика», из 13 книг которой 6 сохранились до наших дней. В сохранившихся книгах содержится 189 задач с решениями. Все задачи решаются с помощью уравнений. Недаром один неизвестный поэт сказал о нём:

«Посредством уравнений, теорем

Он уйму всяких разрешил проблем,

И засуху предсказывал и ливни

Поистине его познания дивны»

История сохранила мало сведений о жизни Диофанта. До сих пор не выяснены ни год рождения, ни дата смерти. Всё что известно о Диофанте, взято из записи на его гробнице – надписи, составленной в форме математической задачи.

Учитель: Задача о Диофанте

Путник! Здесь прах погребён Диофанта,

И числа поведать могут, о чудо, сколь долг был век его жизни.

Часть шестую его представляло счастливое детство.

Двенадцатая часть протекла ещё жизни –

Пухом покрылся тогда подбородок.

Седьмую в бездетном браке провёл Диофант.

Прошло пятилетье.

Он был осчастливлен рожденьем прекрасного первенца сына,

Коему рок половину лишь жизни счастливой и светлой

Дал на земле по сравненью с отцом.

И в печали глубокой старец земного удела конец воспринял,

Пережив ещё года четыре с тех пор, как сына лишился.

Скажи, сколько лет жизни достигнув,

Смерть воспринял Диофант?

2 ученик: По- настоящему метод уравнений сформировался в руках арабских учёных.

Первым написал книгу на арабском языке о решении уравнений Мухаммед ибн

ал-Хорезми. Название у неё был очень странное – “Краткая книга об

исчислении ал-джабры и ал-мукабалы”. В этом названии впервые прозвучало

известное нам слово “алгебра”.

Что же обозначают слова «ал-джабра» и «ал-мукабала»? Ответ на этот вопрос один персидский математик изложил в следующих стихах:

3 ученик Ал-джабра

При решении уравненья

Если в части одной,

Безразлично какой,

Встретится член отрицательный,

Мы к обеим частям,

С этим членом сличив,

Равный член придадим,

Только с знаком другим, –

И найдём результат нам желательный.

Таким образом, название «ал-джабра» носила операция переноса отрицательных членов из одной части уравнения в другую, но уж с положительным знаком. По-русски это слово означает «восполнение». Поэтому с Испании, которая долгое время была под арабским владычеством, слово «алгебрист» – медицинское слово означало совсем не математика, а … костоправа. И когда Дон-Кихот был ранен в одном из поединком, его верный оруженосец Санчо Панса привёл из соседнего городка именно алгебриста.

4 ученик

Ал-макабала

Дальше смотрим в уравненье,

Можно ль сделать приведенье,

Если члены в нём подобны,

Сопоставить их удобно,

Вычтя равный член из них,

К одному приводим их.

А слово «ал-мукабала» означало приведение подобных членов. В отличие от слова «ал- джабра», которое в форме «алгебра» стало одним из самых употребительных в математике, про «ал-мукабалу» помнят только историки науки.

Учитель:

Задачи сводящиеся к простейшим уравнениям, люди решали на основе здравого смысла с того времени, как они стали людьми. А учебные задачи, которые мы решаем при помощи уравнений, были хорошо известны в Древнем Вавилоне, Древнем Египте, Древнем Китае, Древней Индии и Древней Греции. Давайте решим несколько таких старинных задач.

1. Древнегреческая задача – задача Пифагора.

– Скажи мне знаменитый Пифагор, сколько учеников посещает твою школу?

– Вот сколько – ответил Пифагор – половина изучает математику, четверть – природу, седьмая часть проводит время в размышлении, и, кроме того есть ещё три женщины.

Ответ: 28 учеников.

1. Старинная русская задача – задача Суворова.

Эту задачу предложил решить маленькому Пушкину великий полководец А.В.Суворов, гостивший в доме Ганнибала(деда Пушкина).

Летели гуси, а навстречу гусь: «Здравствуйте 100 гусей». Ему ответили «Нас не сто. Вот если бы мы, да ещё столько, да ещё полстолька и четвёртая часть нас, вот тогда бы вместе с тобой нас было бы 100».

Ответ: 36 гусей.

1. Древнеегипетская задача

Пастуха, ведущего 70 быков спросили «Какую часть быков своего стада ты ведёшь?» Он ответил: «Я веду две трети от трети скота». Сколько было быков у пастуха?

Ответ: 315быков.

1. Старинная китайская задача

Сколько в клетке фазанов и кроликов, если всего у них 35 голов и 94 ноги.

Ответ:12 кроликов, 23 фазана.

1. Уравнение как математическая модель.

С помощью уравнений мы решаем не только математические задачи о числах, фигурах и т.д., но и многие прикладные задачи, условия которых содержат не математические понятия.

Решая прикладную задачу с помощью уравнения, мы как конструкторы сначала создаём математическую модель задачи (уравнение), затем решаем соответствующую математическую задачу и обязательно анализируем ответ. Решение задач на составление уравнений можно изобразить в виде схемы.

Переход от задачи к модели называется моделированием.

Самостоятельная работа.

Составить математическую модель задач (с последующей взаимопроверкой).

1. Частное двух чисел равно 5, а их сумма 36. Найти меньшее число.(6х+х=36)

Ответ: 6.

1. С начала суток прошло того времени, которое осталось до конца суток. Который сейчас час? ( х+х=24)

Ответ: 9ч.

1. Отец старше сына в семь раз, а сын моложе отца на 30 лет. Сколько лет сыну?(7х-х=30)

Ответ: 5 лет.

1. Сумма трёх последовательных чисел равна -18. Какие эти числа? (х+х+1+х+2= -18)

Ответ: -7;-6;-5.

1. Чтобы сделать замазку для дерева берут известь, ржавую муку и лак в отношении 3:2:2. Сколько нужно взять каждого материала для изготовления 8,4кг замазки?(3х+2х+2х=8,4)

Ответ: 3,6 кг; 2,4 кг; 2,4 кг.

1. Одно число больше другого на 3. Найти эти числа, если 40% меньшего равны 70% большего. (0,4х=0,7(х+3)).

Ответ: -7; -4.

1. Итог урока.

Заключительное слово учителя об алгебре, как науке об уравнениях.

Ученик:

С чего начинается алгебра?

С умения всё обобщать!

Зачем выраженья похожие

Снова и снова считать?

Пускай себе числа меняются,

Мы проще поступим, хитрей,

Мы числа заменим на букву

И будем присваивать ей
Любые значения разные.

Готов в общем виде ответ!

«Пока, – говорим математике, –

Нам алгебра шлёт свой привет!»

Как символ, как знак, как начало!

Как дерзкий в решении ход!

Как путь, по которому будет

В ученьях победный исход.

Тебя ожидает удача!

Учебник бери с собой!

Пускай покорится задача!

Смелее в научный бой!

7. Домашнее задание (№ из учебника)

Подготовиться к контрольной работе