УМК: Учебник («Алгебра» Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков и др. / Под ред. Теляковского С.А.)
4. Применение понятия к решению задач;
| Этапы формирования понятия формулы сокращенного выражения |
| 1.Подготовительный этап Цель: актуализировать опорные знания умножения многочленов; возведение числа во вторую степень Метод: репродуктивный Прием: фронтальный опрос, практическая работа |
| Деятельность учителя | Деятельность ученика | Развитие познавательных УУД |
| Учитель: Здравствуйте ребята, очень рада Вас всех видеть. Эпиграф нашего урока: «У математиков существует свой язык- это формулы» /С.В. Ковалевская. Изучение новой темы, будет продолжение ранее рассмотренной темы – умножение многочленов. Прочитайте выражение: (а + 5)2; 2)а 2+ 52; х2 – 2ху + у2; 4) х2 – 2х + 1
Выполните действие: (0, 01х)2; (0, 02у)2; (0, 5х)2.
Представьте в виде многочлена и выполните проверку: (а + 1)2; 4) (а - 5)2; (2х + 1)2; 5) (0,1у -0,5)2; (0,1х -3)(0,1х + 3) После выполнения задания учитель дает ответы на доске | Приветствуют учителя. Прочитывают выражения вслух: квадрат суммы а и 5; а в квадрате «плюс» пять в квадрате; икс в квадрате «минус» удвоенное произведение икса и игрека «плюс» игрек в квадрате.
Выполняют действие: (0, 01х)2 = 0, 0001х2; (0, 02у)2 = 0, 0004х2; (0, 5х)2= 0,25х2.
Представляют в виде многочлена: (а + 1)2 = (а + 1)(а + 1); (а - 5)2 = (а – 5)(а + 5); (2х + 1)2 = (2х + 1)(2х + 1); (0,1у -0,5)2 = (0,1у -0,5) (0,1у +0,5); 0,1х -3)(0,1х + 3) = (0,1х - 3)2
Сверяют ответы | анализ эмоционального состояния; анализ опорных знаний и умений; смысловое чтение; умение структурировать знания; умение осознанного и произвольного построения речевых высказываний в устной форме
умение структурировать знания; построение логической цепи рассуждений
осознанное и произвольное построение речевого высказывания в письменной форме; выбор наиболее эффективных способов решения задач;
контроль и оценка процесса и результатов деятельности |
| 2. Мотивационный этап Цель: возбудить интерес учащихся к изучению нового понятия «формулы сокращенного умножения» Метод: объяснительно – иллюстративный Прием: практическая работа, фронтальный опрос |
| Построим квадрат со стороной а, его площадь S1 = a2. Продолжим стороны квадрата на отрезок b, получим квадрат со стороной a + b, площадь которого S = (a + b)2. Вместе с тем, площадь квадрата со стороной a + b (S) состоит из площади квадрата со стороной b(S4) и двух прямоугольников с площадями ab (S2S3). Тогда чему будет равна площадь квадрата? А если найти площадь квадрата со стороной a + b Что получилось?
| Строят квадрат со стороной а. Продолжают стороны квадрата на отрезок b.
Строят квадрат со стороной a + b
Находят площадь квадрата, через площади S = S1 + S2 + S3 + S4 Находят площадь через сторонуквадрата (a + b) (a + b)2 = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2 | выделение необходимой информации; умение строить логические цепи рассуждений; умение структурировать знания; умение выбирать эффективные способы решения задач; умение осознанного и произвольного построения речевого высказывания в устной и письменной форме; умение выбирать наиболее эффективный способ решения задачи; умение составление целого из частей |
| Ориентировочный этап - введения определения Метод: частично – поисковый, репродуктивный Прием: беседа, работа в тетрадях,, самостоятельная работа, объяснение |
| При изучении темы «Умножения многочлена на многочлен» необходимо постоянно следить за правильностью умножения многочлена на многочлен, приводить подобные слагаемые. Задание 1. Перемножьте пары двучленов, приведенных в 1 столбце, а ответ запишите в 3 столбец, в упрощённом виде: | 1 | 2 | 3 | | (m + n)(m + n) | (m + n)2 |
| | (x – y)(x – y) | (x – y)2 |
| | (n –k)(n – k) | (n – k)2 |
| | (c + d)(c + d) | (c + d)2 |
| А нельзя ли хотя бы в каких- то случаях упростить данное действие?
Задание 2. Выполните умножение. | (a + 3)(a +3) | (a +3)2 |
| | (a - 3)(a - 3) | (a - 3)2 |
| | (3 – a)(3 – a) | (3 - a)2 |
| | (2 – x)(2 –x) | (2 –x)2 |
| | (x – 2)(x – 2) | (x – 2)2 |
|
Заметили вы некую закономерность? Есть ли какой либо другой более удобный способ выполнить умножение двучленов?
При перемножении многочленов и приведение их к стандартному виду, а также при решении многих других задач очень полезными оказываются формулы сокращенного выражения. Выделим существенные признаки формулы сокращенного выражения.
Давайте разберемся с принципом чтения формул сокращенного умножения. Рассмотрим формулу квадрата суммы вида (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. Рассмотрите левую часть выражения (a + b)2, которое представляет собой квадрат суммы двух выражений a и b, как оно будет читаться? Дальше стоит знак равно, он и произносится как равно. Теперь рассмотрим правую часть формулы, a2 + 2ab + b2. Сколько в правой части выражения слагаемых? а2 и b2 квадраты каких выражений. Как читается 2ab? И так, что выяснили про формулу квадрата суммы? Теперь рассмотрите самостоятельно формулу квадрата разности, левую и правую часть, проговорите вслух.
|
Выполняют задание 1. | 1 | 2 | 3 | | (m + n)(m + n) | (m + n)2 | m2 + 2 mn +n2 | | (x – y)(x – y) | (x – y)2 | x2 - 2 xy +y2 | | (n –k)(n – k) | (n – k)2 | n2 - 2 nk +n2 | | (c + d)(c + d) | (c + d)2 | c2 + 2 cd +d2 |
Пользуясь правилами умножения многочлена на многочлен выявляют, что в некоторых случаях умножения многочлена на многочлен данные действия упрощаются.
Выполняютзадание2. | (a + 3)(a +3) | (a +3)2 | a2 + 6a +32 | | (a - 3)(a - 3) | (a - 3)2 | a2 - 6a +32 | | (3 – a)(3 – a) | (3 - a)2 | 32 - 6a +a2 | | (2 – x)(2 –x) | (2 –x)2 | 22 - 4x +22 | | (x – 2)(x – 2) | (x – 2)2 | x2 - х +22 | Заметили закономерность, при выполнении заданий, что при перемножении многочленов и приведение его к стандартному виду есть более удобный способ выполнить умножение двучлена.
Выслушивают учителя.
Рассматривают левую часть формулы квадрата суммы вида (a + b)2. Проговаривая вслух: «квадрат суммы двух выражений». Рассматривают правую часть, делают вывод, что в правой части формулы расположены, сумма трех слагаемых a2, 2 ab, b2. a2и b2 – это квадраты первого и второго выражений. 2 ab читается как удвоенное произведение двух выражений. Проговаривают вслух: квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения, плюс удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения. Формулу квадрата разности рассматривают самостоятельно, фиксирую в тетрадях определение: квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения, минус удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения.
| выделение необходимой информации; умение строить логические цепи рассуждений; структурирование знаний выбор наиболее эффективного способа решения задач;
умение выполнять учебно- познавательные действия в материализованной и умственной форме;
умение строить логические цепи рассуждений; выбор наиболее эффективного способа решения задач; умение выполнять учебно- познавательные действия в материализованной и умственной форме;
умение структурировать знания; умение выбирать эффективные способы решения задач; умение осознанного и произвольного построения речевого высказывания в устной и письменной форме; умение извлекать нужную информацию; самостоятельное создание алгоритмов деятельности при решении проблем поискового характера умение представлять информацию в развернутом виде; умение обобщать факты |
| - формирования действия распознавания Метод: частично –поисковый Прием: самостоятельная работа, беседа, объяснение |
| На столе у вас есть карточки. Найдите ошибки в формулах сравнивая с эталоном, объясните, где допущены ошибки? | Формула - эталон | | | (а - в)2 = а2 - 2ав + в2
(а + в)2= а2 + 2ав + в2 | (а - в)2= а - 2ав + в (а - в)2 = а2 - 2ав + в (а +в)2= 2а2 +2ав + в2 (а - в)2= а2 -2ав - в2 (а +в)2= а2 - 2ав + в2 |
| Находят ошибки | Формула - эталон | | | (а - b)2 = а2 - 2аb + b2
(а + b)2= а2 + 2аb + b2 | (а - b)2= а - 2аb + b, Ошибка: (а,b) – не в квадрате;
(а - b)2 = а2 - 2аb + b Ошибка:(b) – не в квадрате;
(а +b)2= 2а +2аb + b2 Ошибка: удвоенное произведение первого выражения;
(а - в)2= а2 -2аb - b2 Нет ошибки;
(а +в)2= а2 + аb + b2 Ошибка: отсутствует удвоенное произведение первого и второго выражения |
| выделение необходимой информации; умение строить логические цепи рассуждений; умение структурировать знания; умение выбирать эффективные способы решения задач; умение осознанного и произвольного построения речевого высказывания в устной и письменной форме; умение выбирать наиболее эффективный способ решения задачи; умение находить ошибки в представленном решении.
|
Первоначальное применение понятия Цель: отработка навыков по использованию понятия «формулы сокращенного выражения» при решении задач Метод: репродуктивный Прием: решение практических задач, беседа, объяснение |
| Учитель вызывает учащихся к доске, контролируя работу и отвечающих, и выполняющих задания в тетрадях. № 871 Выполнить возведение в квадрат | а) (х2-5)2 | в) (2a + b4)2 | | б) (7 – у3)2 | г) (- 3p + q3)2 |
| Выполняют № 871 у доски, при возведении в квадрат, обосновывая ответ. а)(х2 -5)2 = х4 - 10х2 + 25 (х2)2 = х4 и 52 = 25 квадраты первого и второго выражений, 2 5 х2 = 10х2 удвоенное произведение двух выражений; б) (7 – у3)2 = 49 – 14у3 + у6 (7)2 = 49 и (у3)2 = у6 квадраты первого и второго выражений, 27у3 удвоенное произведение двух выражений; в) (2a + b4)2 = 4а2 + 4ab4 +b8 (2a)2 = 4a2 и (b4)2 = b8 квадраты первого и второго выражений, 2 (2аb4) удвоенное произведение двух выражений; г) (- 3p + q3)2 = 9p2 – 6pq3 + q6 (-3p)2 = 9p2 и (q3)2 = q6 квадраты первого и второго выражений, 2((- 3pq3) удвоенное произведение двух выражений. | анализ; постановка и формулирование проблемы, самостоятельное создание алгоритмов деятельности; осознанное и произвольное построение речевого высказывания в устной и письменной форме; рефлексия способов и условий действий;
выполнять учебно-познавательные действия в материализованной и умственной форме;
усвоение общего способа действий |
Расширение класса решаемых задач. Цель: воспроизведение и закрепление знаний и навыков, полученных на уроке. Метод: частично – поисковый, репродуктивный. Прием: работа с учебником, практическая работа |
| Чтобы возвести большое число не надо пользоваться калькулятором, а используя формулу квадрата суммы и квадрата разности можно вычислить быстро большие числа. Например, в № 869 надо вычислить, используя формулу квадрата суммы или квадрата разности | а) 612 | в) 9992 | д) 9,92 | | б) 1992 | г) 7022 | е) 10,22 |
Вы сегодня изучили две формулы, которые вам, для выполнения следующего задания. Найдите значения выражения: а) 42 + 4ab + b2 при a + 2b = - 3; б) b2 – 6ab + 9a2 при 3a – b = - 2 | № 869 вычисляют, используя формулу квадрата суммы и квадрата разности: а) 612 = (60 + 1)2 = 602 + 2601 + 12 = 3600 + 120 + 1 = 3721; б) 1992 = (200 – 1)2 = 2002 - 22001 + 12 = 40000 -400 + 1 = 39601 в) 9992 = (1000 – 1)2 = 10002 – 210001 + 12 = 1000000 – 2000 + 1 = 998001; г) 7022 = (700 + 2)2 = 7002 + 27002 + 22 = 490000 + 2800 + 4 = 492804 д) 9,92 = (10 – 0,1)2 = 102 - 210 0,1 + 0,12 = 100 – 2 + 0,01 = 98,01; е) 10,22 = (10 + 0,2)2 = 102 + 210 0,2 + 0,22 = 100 + 4 + 0,04 = 104,04.
Находят значение выражения, обосновывая ответ: а) 42 + 4ab + b2 , если вспомнить формулу то квадрат первого выражения = 42, квадрат второго выражения равен b2? А удвоенное произведение равно 4ab? Следовательно, данное выражение можно представить в виде умножения многочленов (4 + b)(4 + b). При a + 2b = -3 получим (-3)(-3) = 9 ответ: 9 б) b2 – 6ab + 9a2 при 3a – b = - 2 если вспомнить формулу то квадрат первого выражения = b2, квадрат второго выражения равен 9a2. А удвоенное произведение равно 6ab? Следовательно, данное выражение можно представить в виде умножения многочленов (b – 3a)(b – 3a). при 3a – b = - 2получим (-2)(-2) = 4 ответ: 4
| Выполнять учебно познавательные действия в материализованной и письменной форме; Самостоятельное выделение и формирования познавательной цели; Структурирование знаний; Выбор наиболее эффективного использования решения задач в зависимости от конкретных условий; Рефлексия способов и условий действий, контроль и оценка процесса и результатов действия; Преобразование модели с целью выявления общих законов; Анализ объектов; Использовать знаково – символичные средства для решения учебной задачи
Структурирование знаний; Выбор наиболее эффективного использования решения задач в зависимости от конкретных условий; Рефлексия способов и условий действий, контроль и оценка процесса и результатов действия; Преобразование модели с целью выявления общих законов; Анализ объектов; Использовать знаково – символичные средства для решения учебной задачи |
| Д\ з стр. 148 вопрос 1,2 Проведите доказательство, Выполнить в рабочих тетрадях № 893т(в, д), № 894 (в), 895 применяя формулы квадрата суммы и квадрата разности | Записывают задания на дом, задают вопросы по выполнению домашней работы | Рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности; Представлять информацию в развернутом виде. |
1 005
49 405 
