Конспект занятия на тему "Показательные неравенства"

Предмет

Математика

Курс

1 курс

Тип занятия

Занятие открытия нового знания.

Тема

Показательные неравенства

Цель

Основные термины, понятия

Показательная функция, основание, возрастание, убывание, теорема о корне

Формы проведения занятия

Фронтальная работа, работа в парах, индивидуальная самостоятельная работа.

Учитель

Котков Алексей Васильевич

Образовательная организация

ГАПОУ ПО ККЭТ

Планируемые результаты

Предметные УУД: владение базовым понятийным аппаратом, владение символьным языком математики, владение навыками выполнения устных, письменных и инструментальных вы­числений, владение навыками упрощения числовых и буквенных выражений.

Владение методами доказательств, алгоритмами решения задач; умение формулировать определения, применять их, проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач. Умение оперировать понятиями: рациональные, иррациональные, показательные, степенные, тригонометрические уравнения и неравенства, их системы. Умение оперировать понятием показательная функция.

Метапредметные результаты: освоение способов деятельности и навыков самоорганизации.

• Способность самостоятельно планировать альтернативные пути достижения целей, осознанно выбирать наиболее эффективные способы решения учебных и познавательных задач. 

• Умение осуществлять контроль по образцу и вносить необходимые коррективы. 

• Способность адекватно оценивать правильность или ошибочность выполнения учебной задачи, её объективную трудность и собственные возможности её решения. 

• Умение устанавливать причинно-следственные связи, строить логические рассуждения, умозаключения и выводы.

Личностные результаты:

Готовность и способность к образованию, в том числе самообразованию, на протяжении всей жизни; сознательное отношение к непрерывному образованию как условию успешной профессиональной и общественной деятельности.

Формируемые компетенции:

ОК 01 Выбирать способы решения задач профессиональной деятельности применительно к различным контекстам.

ОК 02 Использовать современные средства поиска, анализа и интерпретации информации, и информационные технологии для выполнения задач профессиональной деятельности.

ОК 03 Планировать и реализовывать собственное профессиональное и личностное развитие, предпринимательскую деятельность в профессиональной сфере, использовать знания по финансовой грамотности в различных жизненных ситуациях.

ОК 04 Эффективно взаимодействовать и работать в коллективе и команде.

ОК 05 Осуществлять устную и письменную коммуникацию на государственном языке Российской Федерации с учетом особенностей социального и культурного контекста.

ОК 06 Проявлять гражданско-патриотическую позицию, демонстрировать осознанное поведение на основе традиционных общечеловеческих ценностей, в том числе с учетом гармонизации межнациональных и межрелигиозных отношений, применять стандарты антикоррупционного поведения.

ОК 07 Содействовать сохранению окружающей среды, ресурсосбережению, применять знания об изменении климата, принципы бережливого производства, эффективно действовать в чрезвычайных ситуациях.

Информационное обеспечение:

1. Богомолов Н.В. Математика: учебник для учреждений начального и среднего проф. образования. – 5 изд, М.: издательство «Юрайт», 2020

2. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике в 2х частях: учебное пособие для среднего проф. образования. – 11 изд, М.: издательство «Юрайт», 2021

3. http://school-collection.edu.ru/

4. https://mathematics.ru/

5. http://fcior.edu.ru/

Технические средства обучения: интерактивная доска, презентация

№ п/п

Этапы занятия

Дидактические задачи (цель этапа)

Организационный этап.

Приветствие, проверка подготовленности, организация внимания.

Мотивация к учебной деятельности

Создать благоприятный психологический настрой на работу

Актуализация знаний и фиксирование индивидуального затруднения в пробном действии

Актуализация опорных знаний и способов действий

Первичное усвоение новых знаний.

Обеспечение мотивации учения обучающимися, принятия ими целей занятия

Первичная проверка понимания. Построение проекта выхода из затруднения

Включение учащихся в целенаправленную деятельность

Реализация построенного проекта

Организация самостоятельной работы учащихся с источниками информации по поиску нового знания. Поиск новых знаний.

Первичное закрепление

Выявление качества и уровня усвоения знаний и способов действий, а также выявление недостатков в знаниях и способах действий, установление причин выявленных недостатков.

Включение в систему знаний и повторение

Дать качественную оценку работы группы и отдельных обучающихся

Информация о домашнем задании

Дать четкий инструктаж по его выполнению.

Рефлексия учебной деятельности на занятии

Инициировать рефлексию детей по их собственной деятельности и взаимодействия с учителем и другими детьми в классе.

Обеспечение понимания детьми цели, содержания и способов выполнения домашнего задания

1. Организационный этап.

Цель: приветствие, проверка подготовленности, организация внимания.

Продолжительность: 2 мин.

1. Этап мотивации (самоопределения) к учебной деятельности.

Цель: создать благоприятный психологический настрой на работу, выработка на личностно значимом уровне внутренней готовности к учебной деятельности.

Продолжительность: 3 мин.

Деятельность учителя

Задания для учащихся, выполнение которых приведёт к достижению запланированных результатов

Деятельность обучающихся

Приветствует и мотивирует учащихся на работу словами Александра Ллойда.

Цитата: «Настоящие знания мы получаем, когда ищем ответ на вопрос, а не когда узнаем сам ответ».

Слушают слова учителя и настраиваются на работу на занятит.

3) Этап актуализации и фиксирование индивидуального затруднения в пробном действии

Цель: подготовка мышления учащихся и осознание ими потребности к выявлению причин затруднений при решении заданий нового типа.

Продолжительность: 12 минут.

Организует проверку домашнего задания

Ответы:

№ 2.10 (1) х =1; № 2.10 (3) х =2; № 2.10 (5) х =4.

№ 2.12 (1) х = ±1; № 2.12 (3) х =1

№ 2.20 х = 0

№ 2.21 верные неравенства 1 и 3.

№ 2.22 (1) хϵ( - ∞;+∞); № 2.22 (2) нет решений; № 2.22 (3) хϵ( - ∞;

0) U(0; +∞)

«Цепочкой» проверяют решения заданий домашней работы с выявлением проблем неправильных решений и их устранением. Заполняют карточку самоконтроля о качестве выполнения домашней

работы.

Проводит анализ выполненной

Вопросы для фронтальной работы:

Отвечая на вопросы учителя,

домашней работы с актуализацией знаний для дальнейшего их применения при добывания новых знаний

• С какой математической моделью Вы столкнулись при решении заданий № 2.10, 2.12 ? (Показательные уравнения).

• Какое уравнение называется показательным? (Показательными называются уравнения, содержащие переменную в показателе степени).

• ^{Сформулируйте} теорему, которой мы пользовались при решении показательных уравнений. (При а0 и а≠ 1 равенство 𝑎^х1 = 𝑎^{х2 выполняется тогда и только тогда, когда х}1^{= х}2^).

• Если а 0 и а≠ 1, то, какому уравнению будет равносильно уравнению 𝑎^𝑓(𝑥) = 𝑎^𝑔(𝑥)?

(𝑓⁽𝑥⁾ = 𝑔⁽𝑥⁾).

• Назовите методы решения показательных уравнений.

  1. метод приведения к одному основанию;

  2. метод введения новой переменной;

  3. метод вынесения общего множителя за скобки;

  4. метод почленного деления;

• Какой метод решения показательных уравнений был использован в № 2.10? (Метод вынесения общего множителя за скобки); в № 2.12? (Метод введения новой переменной или замены переменной).

• Укажите способы решения данных показательных уравнений, записав в тетрадь ответ четырёхзначным числом:

1) 3 2^x  5 6^х  2 3^2x  0 ; 2) 10^x  0,001_; 3) 9^х – 3^х + 45 = 0; 4) 3

_{х+1 – 3}х-2 _=26.

актуализируют знания о показательных уравнениях, теореме и следствии из теоремы, которыми пользовались при решении показательных уравнений, методах решения показательных уравнений.

Приведение к Замена Вынесение Почленное одному переменной общего деление на

основанию ( введение новой множителя показательну переменной) за скобки ю функцию

Записывают ответ в тетрадь на задание о методах решения показательных уравнений

Ответ: 2341

- А какой математической моделью представлены задания в № 2.21,

2.22? (Показательными неравенствами).

- А встречались ли мы с ними ранее? (Нет)

Через анализ № 2.21, 2.22 выходят на тему занятия.

1. Этап первичного усвоение новых знаний.

Цель: Обеспечение мотивации учения детьми, принятия ими целей занятия, знаний.

Продолжительность: 5 мин.

Знакомит обучающихся с:

• Прикладной направленностью. На языке неравенств формулируют задачи во многих приложениях математики. К ним относят задачи с экономическим, геометрическим, физическим содержанием. 3

• Развитием навыков. Изучение показательных неравенств способствует развитию умения работать самостоятельно, принимать решения и делать выводы, а также навыков самоконтроля и самооценки.

• Стимулированием интереса к математике. При изучении показательных неравенств можно использовать примеры из жизни, где встречаются показательные функции (уравнения органического роста, радиоактивный распад и т. д.). 2

• Осознание значимости материала. Обучающиеся могут понять социальную, практическую и личную значимость учебного материала по изучаемой теме.

Слушают и анализируют.

5) Этап первичной проверки понимания и построение проекта выхода из создавшейся ситуации

Цель: подготовка мышления учащихся и осознание ими потребности к освоению новых знаний на основе уже имеющихся.

Продолжительность: 3 минуты.

Организует фронтальную беседу о теме, целях и плане занятия.

Записывает тему занятия на доске.

• Значит, как мы можем обозначить тему нашего занятия? (Показательные неравенства и способы их решения). Запишем число и тему занятия.

• Какие цели можем поставить на сегодняшнем занятии? (Например, сформулировать определение показательного неравенства или ввести понятие «показательного неравенства», научится их решать, определить методы решения показательных неравенств и т. д.)

Формулируют и записывают тему занятия в тетрадь и цель, которую ставят на данный занятие.

Двое учащихся зачитывают свои цели, остальные – дополняют и корректируют их.

Объясняют важность научиться решать показательные неравенства

для дальнейшего успешного обучения.

6) Этап реализации построенного проекта

Цель: осознание учащимися этапов реализации выхода их затруднения путём анализа, сравнения, обобщения имеющихся знаний.

Продолжительность: 20 минут.

Организует работу по открытию новых знаний.

Фиксирует знания по теме

«Показательные уравнения» с помощью опорных карточек.

• Прочитайте ещё раз определение показательного уравнения сформулируйте, и запишите в тетрадях определение показательного неравенства. («Показательными называются неравенства, содержащие переменную в показателе степени», или «Неравенство, содержащее неизвестную в показателе степени, называется показательным неравенством»).

• Решите простейшие показательные уравнения:

а) 9^х = 81

б)

в)

• Какие ответы получили?

????

А теперь замените в этих уравнениях знак «равно» на знак, например,

«больше», и попробуйте записать решение полученных неравенств. а) а) 9^х 81 (Ответ: х 2);

б) (Ответ: х

в) (Ответ: х

• Кто готов записать решение этих неравенств на доске? (Вызывают обучающегося).

(При получении разных ответов, предложить выполнить проверку).

• В чём существенное различие этих неравенств? (В значении основания).

• Как можно переформулировать теорему предыдущего параграфа, для применения её при решении показательных неравенств? (При а1

^{неравенство 𝑎х1 𝑎х2 выполняется тогда и только тогда, когда х}1 ^х2^;

Работают с опорными карточками и дают определение показательного неравенства.

Решают в тетрадях предложенные простейшие показательные уравнения.

Проверяют ответы.

Самостоятельно пробуют решить полученные простейшие показательные неравенства.

Двое учащихся записывают решения на доске, остальные сверяют свои решения и анализируют представленные решения, выясняют различия в решении показательных уравнений и показательных неравенств.

Формулируют теорему, которая

^{при 0} а 1 неравенство 𝑎^х1 𝑎^х2 выполняется тогда и только тогда, ^{когда х}12^).

• Из чего следует справедливость данного утверждения? (Из того, что при а1 показательная функция у = 𝑎^х является возрастающей, а при 0

а 1 – убывающей).

• Сформулируйте следствие из данной теоремы. (Если 𝑎 1, то неравенство 𝑎^f(x) 𝑎^g(x)равносильно неравенству f⁽x⁾ 𝑔⁽x⁾. Если 0

𝑎 , то показательное неравенство 𝑎^f(x) 𝑎^g(x) равносильно неравенству f⁽x^{) (}x⁾).

• Схематично это можно оформить следующим образом:

• 

применяется для решения показательных неравенств, основываясь на опорную карточку по решению показательных уравнений.

Формулируют следствие из данной теоремы.

Записывают схему решения простейших показательных неравенств в тетрадь.

- А теперь откройте учебники и сверьте полученные формулировки, с данными в учебнике.

Рассмотрим методы решения показательных неравенств.

Преобразование оснований. Если неравенство имеет вид, когда основания отличаются, их преобразуют так, чтобы они были степенями одного и того же числа, а затем решают простейшее неравенство.

Замена переменной. Если все переменные имеют общий множитель, его обозначают новой переменной — в итоге получается квадратное уравнение. Нужно лишь найти дискриминант и произвести обратную замену.

Решение рациональных показательных неравенств. Нужно перенести всё в левую часть, чтобы в правой остался лишь ноль, и привести к общему знаменателю. Далее решают уравнение, отмечают все корни на оси и применяют метод интервалов. 3

Решение однородных показательных неравенств. Практически все неравенства с однородными показательными функциями решаются по одному принципу: стараются упростить выражение, разделив его на одночлен, а затем при необходимости делают замену переменных.

Один студент читает данные в учебнике формулировки

теоремы и следствия из теоремы о решении показательных неравенств, остальные оценивают правильность

их формулирования на предыдущем этапе.

7) Этап первичного закрепления с проговариванием во внешней речи

Цель: осознание учащимися места и причины собственных затруднений в выполнении изученных способов решения базовых показательных неравенств.

Продолжительность: 25 минут.

Вызывает учащегося для

Решение на доске и в тетради № 3.2 (3, 6, 9) с комментированием.

Вызываются студенты для решения и задания у доски с фиксацией шагов алгоритма.

Анализируют свои решения и определяют место ошибок; выявляют и фиксируют способы действий (алгоритмы, формулы, правила), в которых допущены ошибки.

Обучающиеся задают вопросы по решению заданий; другие учащиеся объясняют способы решения этих заданий.

Исправляют свои ошибки с

помощью эталона на доске..

решения на доске № 3.2 (3, 6, 9)

3.4 (1,6)

3.6(1,3,5)

8) Этап включения в систему знаний и повторения.

Цель: закрепление изученных способов решения и применение знаний в новых ситуациях.

Продолжительность: 15 минут.

Проверяет результаты работы обучающихся в парах.

Решаем № 3.6 (2), 3.4 (2). Обсудите в парах, какие ранее полученные знания надо применить при решении этого номера.

Обучающиеся в парах обсуждают решение № 3.6 (2), 3.4 (2) объясняют

решение задания друг другу, записывают решение в тетрадь.

9) Информация о домашнем задании

Продолжительность: 2 минуты.

• Проработать §3из учебника. Прочитать конспект. Ответить на контрольные вопросы в конце параграфа, решить неравенства № 3.3; № 3.7

Записывают домашнее задание.

• 10) Этап рефлексии деятельности на занятии.

• Цель: осознание учащимися метода преодоления затруднений и самооценка ими результатов своей деятельности на занятии; подведение итогов занятия.

• Продолжительность: 3 минуты.

Предлагает обучающимся проанализировать результаты работы на занятии; заполнить таблицу рефлексии; записать домашнее задание

Какое неравенство называется показательным?

• Каким методом при решении показательных неравенств мы пользовались на занятии? (Приведение к одному основанию).

• Достигли целей, которые поставили перед собой? (Частично, т. к. рассмотрели не все методы решения показательных неравенств).

Заполните таблицу рефлексии.

Отвечают на поставленные вопросы.

Анализируют свои успехи и деятельность на занятии.

Заполняют таблицу рефлексии, оценивают свою деятельность отметкой.

№ п/п

Элементы проверки

Максимальное количество баллов

Полученное количество баллов

1

Проверка домашнего

задания

10 баллов

2

Участие во фронтальной

работе

1 балл за правильно

данный ответ

3

Тему занятия определил(а)

1 балл

4

Поставил(а) цели

1 балл за каждую цель

5

Указал(а) способы решения показательных уравнений, записав ответ четырёхзначным

числом:

1 балл за правильно данный ответ

6

Самостоятельно решил задание с двумя уравнениями и

неравенствами

4 балла

7

Работал(а) у доски

1 балл за правильно

решённое задание

8

Самостоятельная работа

с проверкой по эталону

3 балла

9

Итого

Отметка за занятие

10-14 баллов «3»; 15-18 баллов «4»; больше 19 баллов «5»