Конспект открытого урока по предмету «Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия». на тему урока: «Решение логарифмических уравнений».

КОНСПЕКТ ОТКРЫТОГО УРОКА (45 мин.)

по предмету «Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия».

Тема урока: «Решение логарифмических уравнений».

Колотий Елена Александровна – преподаватель математики

группа 192ТП, первый год обучения

профессия – Технология продукции в общественном питании

место проведения: кабинет № 13.

Дата проведения: 19.10.2015г.

План:

1. Объяснение нового материала(19 мин)

   1. Определение логарифмического уравнения;

   2. Способы решения логарифмических уравнений;

1. Объяснение нового материала

«Изобретение логарифмов, сократив работу астронома, продлило ему жизнь».

(французский математик, астроном

П.С. Лаплас)

а. Определение логарифмического уравнения

Попробуйте сформулировать определение логарифмического уравнения. (Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма).

Рассмотрим простейшее логарифмическое уравнение: log _аx = b

(где а0, a ≠ 1). Так как логарифмическая функция возрастает (или убывает) на множестве положительных чисел и принимает все действительные значения, то по теореме о корне следует, что для любого b данное уравнение имеет, и притом только одно, решение, причем положительное.

Вспомните определение логарифма. (Логарифм числа х по основанию а – это показатель степени, в которую надо возвести основание а, чтобы получить число х). Из определения логарифма сразу следует, что а^b является таким решением.

1. Способы решения логарифмических уравнений;

1. По определению логарифма.

Так решаются простейшие уравнения вида .

Решить уравнение:

Как вы предлагаете его решать? (По определению логарифма).

Решение. , Отсюда 2х – 4 = 4; х = 4.

Ответ: 4.

В этом задании 2х – 4 0, так как 0, поэтому посторонних корней появиться не может, и проверку нет необходимости делать. Условие 2х – 4 0 в этом задании выписывать не надо.

1. Потенцирование (переход от логарифма данного выражения к самому этому выражению).

Рассмотрим пример:

Какую особенность вы заметили? (Основания одинаковы и логарифмы двух выражений равны). Что можно сделать? (Потенцировать).

При этом надо учитывать, что любое решение содержится среди всех х, для которых логарифмируемые выражение положительны.

Решение 1. ОДЗ:

Потенцируем исходное уравнение , получим уравнение 2x + 3 = х + 1.

Решаем его: х = -2. Это решение не подходит ОДЗ, значит, данное уравнение корней не имеет.

Можно решить это уравнение иначе – переходом к равносильной системе:

(Система содержит избыточное условие – одно из неравенств можно не рассматривать).

Решение 2. Уравнение  равносильно системе:

Эта система решений не имеет.

Есть еще один вариант решения – переход к следствию из данного уравнения. При неравносильных преобразованиях найденное решение необходимо проверить подстановкой в исходное уравнение.

Решение 3. .

Сделаем проверку: неверно, так как не имеет смысла.

Ответ: корней нет.

Вопрос классу: Какое из этих трех решений вам больше всего понравилось? (Обсуждение способов).

Вы имеете право решать любым способом.

3. Введение новой переменной.

Рассмотрим пример .

Что вы заметили? (Это квадратное уравнение относительно log3x).

Ваши предложения? (Ввести новую переменную)

Решение. ОДЗ: х 0.

Пусть , тогда уравнение примет вид:. Дискриминант D 0. Корни по теореме Виета:.

Вернемся к замене: или .

Решив простейшие логарифмические уравнения, получим:

; . Ответ: 27;