Конспект урока математики «Основные правила комбинаторики. Диаграмма Эйлера – Венна»

Урок математики в 6 классе.

Тема урока «Основные правила комбинаторики.

Диаграмма Эйлера – Венна»

Тип урока: урок «открытия» нового знания.

Форма проведения: индивидуальное выполнение учебных заданий; фронтальная проверка, коррекция и формулировка выводов, составляющих новый материал.

Оборудование: компьютеры, мультимедиа-проектор, учебник, дидактические материалы для самостоятельной работы учащихся.

Технологии: здоровьесбережения;

развития исследовательских навыков;

проблемного обучения;

индивидуально- личностного обучения.

Цели:

• Образовательная – ознакомить учащихся с методами решения комбинаторных задач; научить применять методы полного перебора всех возможных вариантов и умножения.

• Развивающая – развивать логическое мышление, интерес к изучению математики. грамотную математическую речь.

• Воспитательная – воспитывать внимание и аккуратность в оформлении заданий.

Планируемые результаты:

- обучающие: систематизировать знания и умения учащихся, связанные с решением задач по комбинаторики. Формирование математических знаний, умений и навыков;

- развивающие: развитие умения анализировать и делать выводы, развитие логического мышления, “гибкости ума”, умения к обобщению и систематизации, развитие навыков исследовательской работы;

- воспитательные: воспитание познавательного интереса к предмету посредством применения новейших информационных технологий обучения, способствовать повышению интереса к математике, стимулировать ответственное отношение к учебной работе, развивать такие черты характера как аккуратность, усидчивость, коллективизм

Ход урока:

1. Организационный момент.

2. Актуализация знаний:

а) вычислите устно б) работа в группах (на компьютерах)

(используется слайд): распределите предметы на 3 группы

(по любым признакам)

3. Постановка цели деятельности:

- Какие свойства вы применяли при решении устных упражнений? (Переместительное и сочетательное свойства.)

- По какому признаку вы распределили предметы? (Варианты: объемные; содержащие круг, прямой угол; четырехугольники и т.д.)

- Как связаны эти два упражнения с темой урока? (В обоих случаях задание можно было выполнить разными способами. Возможны комбинации.)

Рассказ учителя.

С задачами, в которых приходилось выбирать те или иные предметы, располагать их в определенном порядке и отыскивать среди разных расположений наилучшее, люди столкнулись еще в доисторическую эпоху, выбирая наилучшее положение охотников во время охоты, воинов – во время битвы, инструментов – во время работы. По мере усложнения производственных и общественных отношений все шире приходилось пользоваться общими понятиями о порядке, иерархии, группировании.

Поскольку в таких задачах роль идет о тех или иных комбинациях объектов, их называют комбинаторными задачами. Область математики, в которой изучаются комбинаторные задачи, называется комбинаторикой. Иными словами, комбинаторика – область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

Комбинаторные навыки оказались полезными и в часы досуга. Нельзя точно сказать, когда наряду с состязаниями в беге, метании диска, прыжках, появились игры (нарды, шашки, шахматы, карты и т.д.). В каждой из этих игр приходилось рассматривать различные сочетания фигур, и выигрывал тот, кто их лучше изучил, знал выигрышные комбинации и умел избегать проигрышных. О таких занятиях английский поэт Уордсворт писал:

Не нужно нам владеть клинком,

Не ищем славы громкой.

Тот побеждает, кто знаком

С искусством мыслить, тонким.

А когда же комбинаторика сформировалась в отдельную область математики, и какие ученые сыграли в этом главные роли?

Комбинаторика возникла в XVI веке, но долгое время лежала вне основного русла развития математики. Но не только азартные игры давали пищу для комбинаторных размышлений математиков. Еще с давних пор дипломаты, стремясь к тайне переписки, изобретали сложные шифры, а секретные службы других государств пытались эти цифры разгадать. Стали применять шифры, основанные на комбинаторных принципах, например, на различных перестановках букв, заменах букв с использованием ключевых слов и т.д.

Одним из первых занялся подсчетом числа различных комбинаций при игре в кости итальянский математик Николо Тарталья (около 1500 – 1557). Дальнейшее развитие комбинаторики связано с именами Якоба Бернулли (1654 – 1705), Готфрида Вильгельма Лейбница (1646 – 1716), Леонарда Эйлера (1707 – 1783).

- Давайте вспомним, какие правила комбинаторики мы используем при решении некоторых задач.

Устно:

1) На тарелке лежат 8 яблок и 6 груш. Сколькими способами можно выбрать один плод? (8+6=14 способами)

- Какое правило комбинаторики вы использовали?

Правило суммы.

2) В магазине «Ткани» имеются ткани четырех расцветок и шесть видов отделки к ним. Сколькими способами можно купить ткань и отделку для платья?

Решение. Сначала выберем ткань, это можно сделать четырьмя способами. В комплект к ней (к каждому из четырех способов) можно подобрать шестью способами отделку, т. е. можно подобрать четыре раза по шесть комплектов: 4•6 = 24. Всего существует 24 способа.

Ответ: 24 способа.

При решении такого вида задач применяется правило произведения.

- Решить задачу (учащиеся решают арифметическим методом).

1) 10 – 1 = 9 (уч.) – занимаются спортом и в компьютерном кружке.

2) 9 – 6 = 3 (уч.) – занимаются только в компьютерном кружке.

3) 5 – 3 = 2 (уч.) – занимаются и спортом, и в компьютерном кружке.

- Оказывается такие задачи можно решать графическим способом.

«Диаграмма Эйлера – Венна»

Леонард Эйлер (1707 – 1783) – выдающийся математик, физик, механик 18 века. Круг занятий ученого охватывал все разделы современной ему математики. О значении трудов Эйлера можно говорить бесконечно.

Джон Венн (1834 – 1923) – английский логик и математик, преподаватель логики и морали в Кембридже, пропагандист символической логики (он же впервые применил этот термин).

- Появляется алгоритм графического решения задач с помощью диаграмм Эйлера – Венна (используются слайды).

4. Закрепление.

а) №133 – решим задачу с помощью диаграммы Эйлера – Венна;

ученик у доски, проговаривает решение задачи.

А-35 Г-27

10

17

5

Ж-22

3

б) Самостоятельная работа: на карточке предлагаются разные по сложности задачи (на выбор).

Задача 1 (I уровень)

Из города А ведут 5 дорог в город В, а из города В в город С – 3 дороги. Сколько путей, проходящих через В, ведут из А в С?

Решение: 5·3=15 (дорог).

Задача 2 (II уровень)

Несколько стран в качестве символа своего государства решили использовать флаг в виде четырех горизонтальных полос, одинаковых по ширине, но разных по цвету: белый, синий, красный, зеленый. У каждой страны свой, отличный от других, флаг. Сколько всего стран могут использовать такую символику?

Решение: Цвет верхней полосы можно выбрать одним из 4 способов. Цвет второй полосы – одним из 3 оставшихся. Цвет третьей – одним из 2 оставшихся, а цвет четвертой полосы – 1 способом (без выбора). По правилу произведения всего есть 4×3×2×1=24 разных способа расположения полос, т.е. 24 страны могут использовать такую символику.

Задача 3 (II уровень)

Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, используя в записи числа каждую из них не более одного раза?

Решение:

первая

цифра 1 3 5 7

вторая 3 5 7 1 5 7 1 3 7 1 3 5

цифра

третья

цифра 5 7 3 7 3 5 5 7 1 7 1 5 3 7 1 7 1 3 3 5 1 5 1 3

В результате получается, что можно составить 4·3·2=24 числа.

Такое изображение называется деревом возможных вариантов.

Задача 4^٭ (III уровень)

В отделе научно-исследовательского института работает несколько человек, причем каждый из них знает хотя бы один иностранный язык, 6 человек знают английский язык, 6 – немецкий, 7 – французский, 4 знают английский и немецкий, 3 – немецкий и французский, 2 – французский и английский, 1 человек знает все три языка. Сколько человек работает в отделе, сколько из них знает только английский язык?

в) Проверка решений самостоятельной работы, разбор ошибок.

г) Выставление оценок.

5. Рефлексия деятельности.

- Как называются задачи, которые мы решали?

- Назовите правила их решения.

-Оцените свою работу.

6. Домашнее задание.

1) Повторить правила комбинаторики.

2) №262.