Конспект урока "Пирамида"

                                                              Тема: Пирамида

Цель: 

• дать понятие пирамиды, ее элементов
• привитие знаний о многоугольниках
• развитие навыков любознательности
• воспитание интереса к предмету

                                                                         Ход урока

1.   Организационный момент

2.   Анализ контрольной работы

3.   Объяснение нового материала

      Пирамидой (например, SABCDE) называется многогранник, который состоит из плоского многоугольника (пятиугольник ABCDE) – основания пирамиды, точки (S), не лежащей в плоскости основания,– вершины пирамиды и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания.

Отрезки (SA, SB, SC, SD, SE), соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми ребрами.

           Поверхность пирамиды состоит из основания (пятиугольник ABCDE) и боковых граней. Каждая боковая грань – треугольник. Одной из его вершин является вершина пирамиды, а противолежащей стороной – сторона основания пирамиды:

ΔSAB, ΔSBC, ΔSCD, ΔSDE, ΔSEA – боковые грани.

           Боковой поверхностью пирамиды называется сумма площадей ее боковых граней.

           Высотой пирамиды (SО) называется перпендикуляр, проведённый из вершины пирамиды к плоскости основания.

Пирамида называется n-угольной, если ее основанием является n-угольник. Треугольная пирамида называется также тетраэдром.

     α – угол наклона бокового ребра SA пирамиды к плоскости её основания;

     β – угол наклона боковой  грани (SED) пирамиды к плоскости её основания.

                Основание высоты пирамиды является центром окружности, описанной около основания пирамиды, тогда и только тогда, когда выполняется одно из условий:

все боковые ребра равны;

боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы;

боковые ребра образуют равные углы с высотой пирамиды.

                Основание высоты пирамиды является центром окружности, вписанной в основание пирамиды, тогда и только тогда, когда выполняется одно из условий:

• боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом;
• высоты боковых граней равны;
• боковые грани образуют равные углы с высотой пирамиды.

             Объём пирамиды равен трети произведения площади основания на высоту пирамиды: 

V = 1/3·S_оснh.

Площадь полной поверхности любой пирамиды равна сумме площадей боковой поверхности и основания:   S_п = S_б + S_осн.

           Сечения пирамиды плоскостями, проходящими через ее вершину, представляют собой треугольники. В частности, треугольниками являются диагональные сечения. Это сечения плоскостями, проходящими через два несоседних боковых ребра пирамиды.

Пирамида (например, SABCD) называется правильной, если ее основанием является правильный многоугольник (ABCD – квадрат), а основание высоты совпадает с центром этого многоугольника (О – центр описанной и вписанной окружностей основания).

Осью правильной пирамиды называется прямая, содержащая ее высоту.

Боковые ребра правильной пирамиды равны.

Боковые грани правильной пирамиды – равные равнобедренные треугольники.

Высота боковой грани правильной пирамиды (SL), проведенная из ее вершины к стороне основания, называется апофемой.

        Боковая поверхность правильной пирамиды равна произведению полупериметра основания на апофему:   S_б = ½P_осн· SL.

4.   Решение задач  

1.      Основанием пирамиды является параллелограмм со сторонами 3 и 7 см, одна из его диагоналей – 6 см. Найдите боковые ребра пирамиды, если ее высота, проходящая через точку пересечения диагоналей основания, равна 4 см.

2.      Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды 10 м, высота – 12  м. Найдите площадь полной поверхности и объем пирамиды.

5.   Итог урока

6.   Домашнее задание