Конспект урока по алгебре и началам математического анализа

Урок № 99

Тема: Решение комбинаторных задач.

Предмет: алгебра и начала анализа

Тип урока: комбинированный

Продолжительность: 1 урок

Класс: 11

Цели урока:

• Развивать логическое мышление, память, внимание, умение сравнивать и обобщать.

• Развивать умения работать в группе, формировать чувство ответственности за принятое решение.

Задачи урока: Научиться различать виды комбинаторных задач для применения соответствующей формулы для решения.

Оборудование:ПК или ноутбук, проектор, экран.

Программное обеспечение: ОС Windows, MSPowerPoint, презентация к уроку.

Дидактический материал: карточки (приложение).

Ход урока.

1. Организационный момент, постановка целей и задач урока. Вступительное слово учителя

Доброе утро, ребята! Я рада всех вас видеть, давайте улыбнемся друг другу и пожелаем хорошего настроения и продуктивной работы!

Вы все знаете, что Александр Сергеевич Пушкин, как и многие великие деятели искусства, обращался к математике? Что стоит его изречение: «Вдохновение нужно в геометрии, как и в поэзии». 
Много замечательных произведений написаны А. С. Пушкиным, но мне у него очень нравится «Пиковая дама».

Учитель читает отрывок: (Приложение 1)

«Герман вздрогнул: в самом деле, вместо туза у него стояла пиковая дама. Он не верил своим глазам. Не понимая, как мог он  обдёрнуться. В эту минуту ему показалось, что пиковая дама прищурилась и усмехнулась…
Герман сошёл с ума. Он сидит в Обуховской больнице в 17-м нумере, не отвечает ни на какие вопросы и бормочет необыкновенно скоро: «Тройка, семёрка, туз! Тройка, семёрка, дама!..» [9]

Тройка, семёрка, туз! А какова вероятность выпадения выигрышной комбинации? Но чтобы ответить на вопрос «какова вероятность вытащить «Тройку, семёрку, туз» надо знать, а что такое вероятность события. Об этом мы уже вели разговор на уроках на предыдущих уроках. , где m – число благоприятных исходов, n – общее число исходов.
А как подсчитать эти исходы?
-Эти варианты складываются в разнообразные комбинации. Которые, в свою очередь, входят в  раздел математики КОМБИНАТОРИКА.

Что такое комбинаторика?

-Это раздел математики, который занят поисками ответов на вопросы: сколько комбинаций существует в том или ином случае, как из этих комбинаций выбрать лучшую.
Как вы думаете, какова тема нашего сегодняшнего урока?

Тема: «Решение комбинаторных задач»

Сегодня мы работаем на листах, которые лежат у вас на партах, записываем тему сегодняшнего урока.

Ещё Конфуций сказал: «Три пути ведут к знанию. Путь размышлений – самый благородный, путь подражания – самый лёгкий, путь опыта – самый горький».
Эти слова, я хочу взять эпиграфом к нашему уроку.

На современном этапе развития общества, когда в нашу жизнь стремительно вошли референдумы и социологические опросы, кредиты и страховые полисы, разнообразные банковские начисления и т.п., становится очевидным интерес изучения элементов теории вероятностей, которая предполагает предварительное знакомство с комбинаторикой.

Так же умение решать комбинаторные задачи поможет нам хорошо справиться с заданиями из ЕГЭ по математике базового и профильного уровней.

Какое задание изКИМ на теорию вероятности и комбинаторику?

- В задании №10 базового уровня и в задании №4 профильного уровня. Решая задачи по теории вероятностей, мы постоянно используем одну и ту же формулу, которая одновременно является классическим определением вероятности. И эта формула прекрасно работает до тех пор, пока задачи были легкими, а числа, стоящие в числителе и знаменателе — очевидными.

Однако последние пробные экзамены показали, что в настоящем ЕГЭ по математике могут встречаться значительно более сложные конструкции. Отыскание значений n и k становится проблематичным. В таком случае на помощь приходит комбинаторика. Ее законы работают там, где искомые значения не выводятся непосредственно из текста задачи.

Какие цели мы поставим перед собой на сегодняшнем уроке?

Цели: научиться различать виды комбинаторных задач для применения соответствующей формулы для решения;

Повторить основные формулы числа сочетаний, перестановок и размещений, повторить алгоритм решения комбинаторных задач.

1. Математический диктант совзаимопроверкой по слайдам.

Ребята давайте вспомним с какими классическими задачами комбинаторики мы с вами познакомились на предыдущих уроках. (задачи на перестановки, сочетания, размещения и для их решения применяются два фундаментальных правила. Какие? ( Правило суммы и произведения). Дома вы повторяли определения и формулы, которые мы изучили на предыдущих уроках.Необходимо будет на листах, которые лежат перед вами написать определения и формулы, которые помогут нам решать сегодняшние задачи.

Решение многих комбинаторных задач основывается на двух фундаментальных прави­лах, называемых правилом суммы и правилом произведения. Прежде всего, определимся в терминологии.

1. Правило суммы:если объект А можно выбрать n способами, а объект В - k спосо­бами, то объект "А или В" можно выбрать n+k способами.

2. Правило произведения: если объект А можно выбрать n способами, а объект В неза­висимо от него - k способами, то пару объектов "А и В" можно выбрать n·k способами.

3. Если из данного множества предметов мы будем выбирать некоторое подмножество, то его будем называть выборкой.

4. Определение:размещениями из n элементов по m (mn) называются упорядоченные m -эле­ментные выборки из данных n элементов.

Тогда получится преобразование формулы для вычисления числа размещений: .

1. Определение:перестановками из n элементов называются размещения из n элементов по n.

Получим формулу для вы­числения числа перестановок из n элементов:  .

1. Определение:Сочетаниями из n элементов по m (mn) называются неупорядоченные m-элементные выборки из данных n элементов

Получим соответствующие формулы для вычисле­ния числа сочетаний:

 и      

Обмениваемся листочками и проверяем правильность ответов по доске.

4 правильных ответа-«3», 5«4»,6 «5».

Ставим оценки на листах.

1. При решении комбинаторных задач важно понять, к какому типу относится задача.

Итак, мы вспомнили, какие комбинации встречаются: перестановки, размещения, сочетания. Как же различить их друг от друга и выбрать правильную формулу для решения?

На слайдах вы видите несколько задач. На листах тоже данные задачи. Я попрошу вас подумать минутку и сопоставить предложенную задачу с формулой, по которой мы будем ее решать (Работа в парах). После определения типа задачи мы можем использовать соответствующую формулу. 

1. Составляя расписание на понедельник в 11 классе, завуч может поставить 6 уроков: алгебра, физика, биология, русский язык, история, физкультура. Сколько существует вариантов расписания?

_{Решение. Имеем дело с} перестановками из 6 элементов

2) Сколькими способами можно расставить 5 различных книг на книжной полке?P!=5!=120

3) Имеется 12 красных и 15 желтых тюльпанов. Сколько различных вариантов составления букета из 3-х цветков?

1. Девочки нашего класса дежурят в столовой. Сколькими способами можно выбрать 2-х дежурных из 5 девочек?

Решение.

_{На первое место – можно поставить любую из пяти девочек, а на второе место – любую из 4. По правилу произведения имеем, 5·4=20, но при таком подсчёте, одна и та же пара подсчитана дважды (пара 12 и 21). Тогда ответ,}

или формула числа сочетаний.

1. Пример. На пяти карточках написаны числа 1, 2, 3, 4, 5. Сколько различных трехзначных чисел можно из них составить?

Решение: трехзначные числа представляют собой трехэлементные выборки из пяти цифр, при­чем, выборки упорядоченные, поскольку порядок цифр в числе существенен. Значит, этих чи­сел будет столько, сколько существует из пяти элементов по 3: чисел. По формуле числа размещений

1. В группе 5 девушек и 6 юношей. Для представительства этой группы на конференции выбирают 4 человека, которым присваивают номера для выступлений на данной конференции. Сколько различных вариантов составления такой группы можно построить?

По каждому типу задач у доски решает 1 ученик, а остальные решают вторую задачу того же типа, а потом проверяем.

Опрашиваю учащихся, проверяем правильность ответов.

1. Динамическая пауза. Играем в игру «Устами младенца»

Игра «Устами младенца».

Отвечает ученик, первый подавший сигнал. Если ответ неверный, право ответа переходит к другому ученику.

1. Это такая штука, в которой что-то не знаешь, а потом вдруг узнаешь

Не знаю, есть ли у него листья и стебли, но корни у него есть. Может один, а может больше. А у некоторых и корней нет.

Во втором классе они простые, в седьмом – линейные, в восьмом – квадратные, в десятом – тригонометрические

(уравнение)

2. Это такая кривая, уходящая в бесконечность

Если взять нитку или верёвку двумя руками так, чтобы она провисла, то, в общем-то, её получим (слайд 9б).

Эта красивая кривая – график квадратичной функции

(парабола)

3. Иногда она происходит в жизни человека, и даже несколько раз. Она может касаться работы, учёбы, места работы

Особенно её любят ученики, потому что у них они бывают каждый день, причём по нескольку раз

Звенит звонок и начинается она

(перемена)

1. Самостоятельная работа. В конце урока листы с работой сдаются учителю. (2 варианта).

Вариант. 1

1. Четыре друга купили билеты в кино: на 1-е и 2-е места в первом ряду и на 1-е и 2-е места во втором ряду. Сколькими способами друзья могут занять эти 4 места в кинотеатре?

Решение: Четыре друга могут занять 4 разных места Р₄=4!=1234=24 различными способами. Ответ: 24 способа.

1. Сколько существует способов выбрать троих ребят из 11 желающих дежурить по школе?

Решение: Количество сочетаний из 11 по 3 (порядок выбора не имеет значения) равно: . Ответ: 165 способов

1. Из 26 учащихся класса надо выбрать старосту и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?

Решение: Из 26 учащихся выбираем 2, причём порядок выбора имеет значение. Количество способов выбора равно . Ответ: 650 способ

Вариант 2.

1. Олеся, Оксана и Юля купили билеты на концерт симфонического оркестра на 1, 2 и 3-е места первого ряда. Сколько существует способов размещения девочек на эти места?

Решение: Количество различных способов равно числу перестановок из 3 элементов: Р₃ = 3! = 123 = 6 способов. Ответ: 6 способов.

1. Учащимся дали список из 10 книг, которые рекомендуется прочитать во время каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 6 книг?

Решение: Выбор 6 из 10 без учёта порядка: способов.

Ответ: 210 способов.

1. Сколькими способами могут быть распределены первая, вторая и третья премии между 13 участниками конкурса?

Решение: Выбираем трёх призёров из 13 участников конкурса с учётом порядка (кому какая премия): способов. Ответ: 1716 способов

Проверка самостоятельной работы (самопроверка). 2 задания «3», 3 задания»4», 4 задания «5».

6.Подведение итогов. Рефлексия. Подведение итогов урока. Рефлексия. Выберите каждый начало предложения и закончите его.

• Сегодня я узнал…

• Было интересно…

• Было трудно…

• Я выполнял задания…

• Я понял, что…

• Теперь я могу…

• Я почувствовал, что…

• Я приобрёл…

• Я научился…

• У меня получилось…

• Я смог…

• Я попробую…

• Меня удивило…

• Урок дал мне для жизни…

• Мне захотелось…

Заполним индивидуальные карточки. Карточки сдать учителю в конце урока.

7. Сообщение домашнего задания.

Стр.319 §52 повторить. Задания на карточках дифференцированно красные сложные задания, зеленые проще.

1. Историческая справка. (Гордеева Татьяна)

1. Решение задач (в оставшееся время).

1.Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью 0,5. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

Решение: Возможность вы­иг­рать первую и вто­рую партию не за­ви­сят друг от друга. Ве­ро­ят­ность произведения не­за­ви­си­мых событий равна про­из­ве­де­нию их вероятностей: 0,5 · 0,3 = 0,15.

Ответ: 0,15.

2.В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,3. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга).

Решение: Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Поэтому вероятность того, что все три продавца заняты равна 

Ответ: 0,027.

3.На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос по теме «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение: Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: 0,2 + 0,15 = 0,35.

Ответ: 0,35.

Приложение.

Зеленая карточка.

Пример. В ящике находятся 20 шаров: 5 белых, 6 черных, 7 синих и 2 красных. Сколькими спо­собами можно взять из ящика один цветной шар?

Решение: здесь предполагается, что цветной шар - это синий или красный, поэтому надо при­менять правило суммы. Цветной шар можно выбрать 7+2=9 способами.

Пример. Сколько может быть различных комбинаций выпавших граней при бросании двух иг­ральных костей (игральная кость - это кубик, на гранях которого нанесены числа 1,2,3,4,5,6)?
Решение: на первой кости может выпасть 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков, то есть всего будет 6 вариан­тов. Точно так же и на второй кости 6 вариантов. Получится всего 6 · 6 = 36 способов.

Красная карточка.

Пример.Вычислим например по этой формуле.

Решение.

Пример. Вычислить без калькулятора, применяя Бином Ньютона.

Решение: сначала возведем в четвертую степень двучлен:
.

Поэтому

Карточка для самооценки.

Вариант. 1

1. Здание школы имеет 5 запасных выходов. Сколькими способами можно войти и выйти из здания школы?

2. Четыре друга купили билеты в кино: на 1-е и 2-е места в первом ряду и на 1-е и 2-е места во втором ряду. Сколькими способами друзья могут занять эти 4 места в кинотеатре?

3. Сколько существует способов выбрать троих ребят из 11 желающих дежурить по школе?

4. Из 26 учащихся класса надо выбрать старосту и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?

Проверка самостоятельной работы (самопроверка). 1 задания «3», 2 задания «4», 4 задания «5».

Вариант 2.

1. У Светланы три юбки и 5 кофт, удачно сочетающихся по цвету. Сколько различных комбинаций из юбок и кофт имеется у Светланы?

2. Олеся, Оксана и Юля купили билеты на концерт симфонического оркестра на 1, 2 и 3-е места первого ряда. Сколько существует способов размещения девочек на эти места?

3. Учащимся дали список из 10 книг, которые рекомендуется прочитать во время каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 6 книг?

4. Сколькими способами могут быть распределены первая, вторая и третья премии между 13 участниками конкурса?

Проверка самостоятельной работы (самопроверка). 1 задания «3», 2 задания «4», 3 задания «5».