Конспект урока "Векторы в пространстве", 1 курс

ОГБПОУ Фурмановский технический колледж, преподаватель Цветкова Елена Ивановна

Разработка урока на тему:

Векторы в пространстве. Действия с векторами. Разложение вектора на составляющие.

Цель урока: 

• Ввести определения вектора в пространстве, равенства векторов. Рассмотреть правила действия над векторов, правило сложения нескольких векторов в пространстве.

• Воспитывать личностные качества обучающихся (умение слушать), доброжелательность по отношению к окружающим, внимательность, аккуратность, дисциплинированность.

• Развивать пространственное воображение и логическое мышление обучающихся, умение быстро ориентироваться в обстановке; развивать сообразительность, находчивость, тренировать память.

Ход урока

1. Орг. момент. Настрой на урок.

2. Мотивация урока.

Поразмышляйте над содержанием пословицы «Плохо, когда сила живет без ума, да нехорошо, когда и ум без силы». То есть, если есть сила, то надо знать, куда ее направить. От этого зависит, будет ли пружина сжиматься или растягиваться, полетит ли мяч в ворота противника или в собственные и многое другое. Вы уже, конечно, догадались, что сегодня речь пойдет о векторах, причем о векторах в пространстве. Геометрия – одна из самых интереснейших наук, которая изучает много важных и интересных тем. Одна из них – это “Векторы”. С понятием “Вектор” вы уже знакомы, но вы знакомы с векторами на плоскости, а сегодня мы пополним свои знания о векторах и рассмотрим “Векторы в пространстве”

3. Актуализация опорных знаний. Проверка д/з.

Решить № 8, стр. 68.

Блиц опрос

1. Что называется вектором на плоскости?

2. Приведите пример векторных величин.

3. Что такое абсолютная величина вектора; направление вектора?

4. Какие векторы называются равными?

5. Сформулируйте правила сложения двух векторов на плоскости.

6. Какой вектор называют разницей двух векторов?

4. Объяснение нового материала сопровождается презентацией:

Впервые понятие вектора появилось в работах немецкого математика 19 века Г. Грассмана и ирландского математика У. Гамильтона; затем его использовали в своих открытиях многие ученые. Современная символика для обозначения вектора была введена в 1853 году французским математиком О. Коши. Применение векторов играет важнейшую роль в современной математике, химии, биологии, экономике и в других науках.

Векторы на плоскости были изучены в 9 классе в разделе “Планиметрия”. Сегодня на уроке рассмотрим векторы в пространстве. Определение вектора в пространстве и связанные с ним понятия сходны с определением вектора на плоскости и связанными с ним понятиями.

Раз мы уже знакомы с векторами на плоскости, то нам будет не трудно говорить о векторах в пространстве. Результатом нашей работы станет опорный конспект.

Что такое вектор? Как построить вектор? Как обозначаются вектора?

Обратите внимание: что над буквенным обозначением вектора ставится стрелка или черта- в разной литературе по- разному. Так, например, в учебнике физики - стрелка, а в учебнике геометрии - черта.

Вектором называется направленный отрезок.

Вектор характеризуется следующими элементами:
1) начальной точкой (точкой приложения);
2 )направлением; 
3) длиной («модулем вектора»).

Если начало вектора — точка А, а его конец — точка В, то вектор обозначается  или .

От любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один, используя параллельный перенос.

Нулевой вектор — точка в пространстве. Начало и конец нулевого вектора совпадают, и он не имеет длины и направления. Обозначается: .

Абсолютной величиной (или модулем) вектора называется длина отрезка, изображающего вектор. Абсолютная величина вектора . Обозначается .

Два вектора называются равными, если они совмещаются параллельным переносом.

АВСD — параллелограмм, 

Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.
Если векторы  и  коллинеарны и их лучи сонаправлены, то векторы  и  называются сонаправленными.  Обозначаются .
Если векторы  и  коллинеарны, а их лучи не являются сонаправленными, то векторы  и  называются противоположно направленными. 
Обозначаются . Нулевой вектор условились считать сонаправленным с любым вектором. 

Свойство коллинеарных векторов

Если векторы  и  коллинеарны и , то существует число k такое, что . причем если k  0, то векторы  и  сонаправленные, если k 

Сложение векторов

Правило треугольника. Каковы бы ни были точки А, В, С, имеет место векторное равенство:

Правило параллелограмма. Если векторы  и  неколлинеарны, их можно отложить от одной точки, достроив затем параллелограмм. Диагональ параллелограмма есть сумма двух векторов  и .

Координаты вектора. Числа x, y и z называются координатами вектора  в данном базисе. В этом случае пишут:

Действия над векторами, заданными своими координатами

5. Первичное закрепление нового материала. Выполнение устных упражнений

1. Дан прямоугольный параллелепипед. Назовите сонаправленные векторы; противоположно направленные векторы.

   В1

   В₁

C₁

А₁

D₁

C

В

А

D

1. Запишите координаты вектора АО, если А(6;-2;4), О – начало координат?

   

2. Найти координаты вектора АВ, если А(3; 4; -1) и В( -2; 0; 4)

3. Дано: АВ= СD, где А ( 1;0;1),В ( -1; 1;2), С (0;2;-1). Найти: D( х ,у,z)

Коллективное решение задач:

1. В пространстве даны точки А, В, С, D. Найдите вектор с началом и концом в этих точках, который равен: а) ВС+СА+АD; б) АВ+ВD+BA-CD.

   

2. Найдите координаты конца вектора АВ(1;-3;7), если А(2;5;-1).

   

3. У какого из приведенных векторов самая большая длина:

а(7;-5;4), b(0;3;-9), c(-2;5;-8)?

Решить № 3, 5, 6, 7 стр.73

6. Зарядка для глаз.

1. Решение задач П-23,24. Устно 1-3,5,10,11. П-23, 1-3,

2. Работа в группах остальные номера.

3. Итоги урока. Рефлексия.

Фронтальная беседа

1. Что называют вектором?

2. Выполняется ли правило параллелограмма и правило треугольника в случае сложения векторов в пространстве?

3. Сформулируйте правило параллелепипеда для сложения векторов в пространстве?

4. Какие векторы называются равными?

5. Какие векторы называются сонаправленными в пространстве; противоположно направленными в пространстве?

Д/з: учить пп. 23, 24. Решить : 14,15. Сообщение «Применение векторов».

2