Конструирование биквадратного уравнения c заданными условиями.

Конструирование Биквадратного уравнения С заданными условиями.

Выполнила Алешина Татьяна Николаевна,

учитель МАОУ «Школа № 30 им. Л. Л. Антоновой»

Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

II. Достройте квадратное уравнение так, чтобы один из его корней были:

а) 1

6x 2 -4x…=0 -2

3x 2 …+3=0 -6x

… -7x-6=0 13x 2

б) -1

5x 2 -2x…=0 -7

… 2x-3=0 5x 2

5x 2 … +2=0 7x

III. Решите уравнения

а) x 2 +7x-18=0

-9; 2

б) x 2 -2x-15=0

5; -3

в) x 2 +14x+24=0

-12; -2

IV. Уравнение 3x 2 +10x+3=0

Имеет корень x= - . Найдите второй корень

X = - 3 (свойство 3)

V . Уравнение 2x 2 -5x+2=0 имеет корень x=2. Найдите второй корень.

X = (свойство 4)

VI. Вспомним, к ак решаются биквадратные уравнения.

(2x-1) 4 -5*(2x-1) 2 +4=0

(2x-1) 2 =t

t 2 -5t+4=0

t 1 =1; t 2 =4

(2x-1) 2 =1 или (2x-1) 2 =4

2x-1=±1 2x-1=±2

x 1 =1 x 3 =1,5

x 2 =0 x 4 =-0,5

Вывод: Решено биквадратное уравнение относительно (2x-1)

Ответ: -0,5; 0; 1; 1,5

А как количество корней и их рациональность зависит от значений новой переменной?

Задание 1. Составьте биквадратное уравнение относительно (4x+1), имеющие два рациональных корня

at 2 +bt+c=0, a≠0

t 1 0

1)По 5 свойству: если b=a 2 -1 и c = - a,

то t 1 = - a, t 2 =

4t 2 +15t-4=0 t 1 = - 4, t 2 =

4(4x+1) 4 +15(4x+1) 2 -4=0

Ответ: x 1 = - ; x 2 = -

0, получаем 1)t 2 -4t-5=0; (4x+1) 4 -4(4x+1) 2 -5=0 2)-7t 2 +8t+15=0; -7(4x+1) 4 +8(4x+1) 2 +15=0 " width="640"

2)По 6 свойству если b= - (a 2 -1), c = - a

то t 1 = a; t 2 = -

9t 2 -80t-9=0

t 1 = 9; t 2 = -

9(4x+1) 4 -80(4x+1) 2 -9=0

Ответ: x = 0,5, x 2 = - 1

3) По 2 свойству: если a+c=b, то t 1 = - 1, t 2 = - , тогда - 0, получаем

1)t 2 -4t-5=0; (4x+1) 4 -4(4x+1) 2 -5=0

2)-7t 2 +8t+15=0; -7(4x+1) 4 +8(4x+1) 2 +15=0

Задание 2. Составьте биквадратное уравнение относительно (3x+1), имеющее четыре иррациональных корня.

по 4 свойству: если b = - (a 2 +1), c=a, то t 1 = a, t 2 =

3t 2 -10t+3=0

t 1 = 3; t 2 = , получаем

3(3x+1) 4 -10(3x+1) 2 +3=0

Ответ:

x 1 = ; x 2 =

x 3 = ; x 4 =

0, значит c=0 По теореме, обратной теореме Виета, подбираем корни, такие что t 1 +t 2 = - ,  → t 2 = - 0 t 1 *t 2 = → c =0 1)t 2 -3t=0; (x-2) 4 -3(x-2) 2 =0 2)4t 2 -9t=0; 4(x-2) 4 -9(x-2) 2 =0 3)- t 2 +16t=0; - (x-2) 4 +16(x-2) 2 =0 " width="640"

Задание 3

Составьте биквадратное уравнение относительно (x-2), имеющее 3 различных корня.

at 2 +bt+c=0, a≠0

t 1 =0, t 2 0, значит c=0

По теореме, обратной теореме Виета, подбираем корни, такие что

t 1 +t 2 = - ,  → t 2 = - 0

t 1 *t 2 = → c =0

1)t 2 -3t=0; (x-2) 4 -3(x-2) 2 =0

2)4t 2 -9t=0; 4(x-2) 4 -9(x-2) 2 =0

3)- t 2 +16t=0; - (x-2) 4 +16(x-2) 2 =0

Н. Фадеев писал «…придумывание задач самими учащимися развивает у них сообразительность, воображение, способствует скорейшему уяснению ими хода решения задачи, развивает речь и приучает детей к краткой и логической формулировке своей мысли, вносит разнообразие и живость в урок, имеет большое психологическое значение для учителя в смысле распознавания индивидуальности учеников»