Контрольная работа по дисциплине « Теория вероятности и математическая статистика»

Контрольная работа по дисциплине

« Теория вероятности и математическая статистика»

Задачи с 1-10. Комбинаторные задачи

1. В карточке спортлото 36 клеток. Играющий должен отметить 6. Каково число всех возможных вариантов?

1. Сколько трехзначных чисел можно из множества цифр 1,2,3,4,5,6 а) без повторений; б) с повторениями?

1. Сколько различных «слов» можно составить, переставляя буквы слова «математика»?

2.

1. Сколькими способами можно выбрать четырех человек на 4 различные должности из 15 кандидатов на эти должности?

1. Сколькими способами можно переставить цифры числа 123456789 так, чтобы четные цифры остались на четных местах?

1. Аккорд – одновременное звучание двух и более нот. Сколько аккордов модно воспроизвести на семи нотах?

3.

1. В группе 28 студентов. Сколькими способами можно избрать 6 делегатов на профсоюзную конференцию?

1. Студенту необходимо сдать 4 экзамена на протяжении 8 дней. Сколькими способами это можно сделать?

1. Как известно, автомобильные номера содержат три буквы (используется 26) и три цифры. Сколько различных номеров существует? В нашем городе автомобильные номера начинаются с «К». Сколько таких номеров можно составить?

4.

1. Правление фирмы выбирает трех человек на различные должности из 10 кандидатов. Сколькими способами это можно сделать?

1. На конференции по математике должны выступить 4 студента А, Б, С, Д. Сколькими способами их можно разместить в списке докладчиков, если Б не может выступать до того момента пока не выступит А?

1. Сколькими способами можно расставить белые фигуры (2 коня, 2 слона, 2 ладьи, короля и ферзя) на первой линии шахматной доски?

5.

а. Сколькими способами можно выбрать 6 пирожных в кондитерской, где есть 4 разных сорта пирожных?

1. Специалист по информационным технологиям ежедневно «посещает» 6 определенных сайтов в Интернете. Если порядок просмотра этих сайтов случаен, то сколько существует способов его осуществления?

1. Сколькими способами можно расставить на 32 черных полях шахматной доски 12 белых и 12 черных шашек?

6.

1. Из 20 милиционеров необходимо составить наряд из 6 человек.. Сколькими способами это можно сделать?

1. В стройотряде 15 студентов. Сколькими способами можно их можно разбить на три бригады численностью 3, 7 и 5 человек? Решите эту же задачу при условии, что в каждой бригаде назначается старший.

1. На плоскости проведено n прямых, причем никакие две из них не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке. Сколько точек пересечения имеют эти прямые?

7.

1. Сколько прямых можно провести через 8 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой?

1. В скольких точках пересекаются диагонали выпуклого 10-тиугольника, если никакие три из них не пересекаются в одной точке?

1. Сколько можно изготовить трехцветных флажков, если использовать следующие цвета: белый, синий, красный, желтый, зеленый, черный?

8.

1. Сколько различных правильных дробей можно составить из чисел 1,2,3,5,7,11,13, берущихся попарно? (а любых, в том числе неправильных?)

1. Из скольких различных предметов можно составить 210 размещений по два элемента в каждом?

1. Группа из 28 студентов обменялась фотокарточками. Сколько было фотокарточек?

9.

1. В группе детского сада 10 детей. Сколькими способами их можно поставить в колонну парами?

1. Замок сейфа открывается, если набрана правильная комбинация из четырех цифр от 0 до 9. Кода Вы не знаете. Найти наибольшее число безуспешных попыток для а) код не содержит одинаковых цифр; б) код содержит одинаковые цифры.

1. Сколькими способами можно 5 шариков разбросать по 8 лункам, если каждая лунка может уместить все 5 шариков?

10.

1. Сколькими способами можно переставить буквы слова «хорошо» так, чтобы три буквы «о» не шли подряд?

1. Из отделения военнослужащих 12 человек формируется караул, состоящий из начальника караула, его заместителя и трех караульных. Сколькими способами возможно сформировать такой караул? Найдите три различных подхода к решению задачи.

1. В корзине 12 яблок, 10 груш и 20 слив. Сколькими способами могут разделить между собой эти фрукты двое ребят, так чтобы каждый из них получил не менее четырех фруктов каждого вида?

Задачи с 11 по 20. Задачи на непосредственное вычисление вероятностей

11.

На трех одинаковых карточках напечатаны буквы К,Н,Х. Карточки положены буквами вниз и перемешаны. После чего извлекаются по одной, переворачиваются и кладутся слева на право. Какова вероятность, что Вы прочтете название нашего учебного заведения?

12.

Куб, все грани которого окрашены распилен на 1000 кубиков одинакового размера, которые затем тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что наудачу извлеченный кубик будет иметь окрашенных граней а) одну, б) две, в) три.

13.

При стрельбе относительная частота попаданий оказалась равной 0.85. Найти число попаданий, если всего было произведено 120 выстрелов.

14.

Участники жеребьевки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до 100. Найти вероятность того, что номер первого наудачу извлеченного жетона не содержит цифры 5.

15.

Набирая номер телефона абонент забыл последние 2 цифры и, помня лишь то, что эти цифры различны набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

16.

• ящике из 10 деталей 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди взятых на удачу 6 деталей 4 стандартных.

17.

Восемь различных книг расставляются рядом на одной полке. Найти вероятность того, что две определенные книги окажутся поставленными рядом.

18.

• забеге участвуют 5 спортсменов: А, Б, В, Г, Д, каждый из которых имеет одинаковые шансы на успех. Какова вероятность того, что парвые три места займут соответственно бегуны А, Б, В?

19.

Автобус должен сделать 8 остановок. Найти вероятность того, что никакие два пассажира из пяти, едущих в автобусе, не выйдут на одной и той же остановке.

20.

Из 15 билетов выигрышными являются четыре. Какова вероятность того, что среди 6-ти билетов, взятых на удачу, будет два выигрышных?

Задачи с 21 по 30. Задачи на теоремы сложения и умножения вероятностей 21.

• магазин поступило 30 телевизоров, 5 среди которых имеют скрытые дефекты. Наудачу отбираются 2 телевизора для проверки. Какова вероятность того, что оба они не имеют дефектов?

22.

Вероятность безотказной работы двух независимо работающих сигнализаторов равна 0.6 и 0.7. Найти вероятность того, что сработают: а) оба сигнализатора, б) хотя бы один сигнализатор.

23.

Изделия проверяются на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно равна 0.8. Найти вероятность того, что из двух проверенных изделий только одно стандартно.

24.

Партия товара, состоящая из 15 ящиков, подлежит приемке, если при проверке наугад двух выбранных ящиков окажется, что содержащиеся в них изделия удовлетворяют стандарту. Найти вероятность приемки партии, содержащей в 5 ящиках нестандартные изделия.

25.

• группе специалистов 3 экономиста и 5 юристов. Для проведения проверки работы фирмы наудачу отбираются 4 специалиста. Какова вероятность того, что в эта группа состоит из двух юристов и двух экономистов?

26.

• партии деталей 12 стандартных изделий и 3 нестандартных. 5 деталей, выбранных наудачу, проверяют на соответствие стандарту. Найти вероятность того, что среди них не окажется нестандартных.

27.

• экзаменационном билете три вопроса, Вероятность ответа на первый вопрос - 0.9; на второй - 0.7; на третий - 0.5. Найти вероятность различных оценок.

28.

На складе телевизионного ателье из имеющихся 20 микросхем 6 изготовлены первым заводом, остальные - вторым. Найти вероятность того, что две наудачу взятых микросхемы изготовлены первым заводом.

29.

Студент знает 20 вопросов из 25-ти. Найти вероятность того, что студент знает предложенные ему экзаменатором три вопроса.

30.

• рабочем поселке 11 торговых точек, 8 из которых - ИЧП. Для проверки наудачу отбираются 5. Какова вероятность того, что в число проверяемых попадут только частные торговые предприятия?

Задачи с 31 по 40. Формула полной вероятности

31.

Два автомата производят детали, которые поступают на общий конвейер. Вероятность получения нестандартной детали на первом автомате равна 0.06, на втором - 0.02. Производительность первого автомата втрое больше, чем второго. а) Найти вероятность того, что наудачу взятая с конвейера деталь нестандартна. б) Взятая с конвейера деталь оказалась нестандартной. Найти вероятность того, что она изготовлена на первом автомате.

32.

Три хлебокомбината города производят продукцию, обеспечивающую город хлебобулочными продуктами в пропорции 2:3:5. Первый хлебокомбинат производит 30% продукции высшего качества, второй - 40%, третий - 60%. Найти вероятность того, что приобретенное хлебобулочное изделие оказалось высшего качества. Приобретенный продукт оказался высшего качества, найти вероятность того, что это изделие изготовлено на втором хлебокомбинате.

33.

Сообщение можно передать письмом, по телефону и по факсу с одинаковой вероятностью. Вероятность того, что сообщение дойдет до получателя в каждой из перечисленных возможностей соответственно равны 0.7, 0.6 и 0.9. 1) Какова вероятность получения сообщения? 2) Сообщение адресатом получено, какова вероятность, что оно передано по факсу?

34.

• группе 25 студентов: 4 отличника, 9 хорошистов, остальные - троечники. Вероятность получения оценки “отлично” на экзамене по математике для первых - 0.95, для вторых - 0.7, для троечников - 0.3. 1) Какова вероятность того, что наудачу взятый студент получил на экзамене пятерку? 2) Студент получил пятерку на экзамене. Найти вероятность, что он хорошист.

35.

Из 1000 экземпляров однотипного товара 300 принадлежат первой партии, 500 - второй и 200 - третьей. В первой партии 6%, во второй 5%, в третьей 4% бракованного товара. 1) Определить вероятность того, что наудачу выбранный экземпляр бракованный. 2) Наудачу выбранный экземпляр оказался стандартным, найти вероятность того, что он принадлежит третьей партии.

36.

• торговое предприятие поступают однотипные изделия с трех фирм-производителей: 30% с первой, 50% со второй, 20% с третьей. Среди изделий первой фирмы 80% первосортных, второй - 90%, третья фирма изготовляет 70% первосортных изделий. 1) Куплено одно изделие, Найти вероятность того, что оно первосортное. 2) Купленное изделие оказалось не первосортным, найти вероятность того, что оно изготовлено третьей фирмой.

37.

• ящике три детали, причем равновероятны все возможные предположения о числе стандартных деталей. В этот ящик брошена стандартная деталь после чего наудачу извлекается одна деталь. Найти вероятность того, что эта деталь стандартна.

38.

• урне 7 белых и 3 красных шара. Из урны удаляются два шара, о цвете которых неизвестно. После этого из урны извлекается один шар, найти вероятность того, что этот шар красный.

39.

На двух станках производятся одинаковые детали. Вероятность того, что деталь стандартная, для первого станка равна 0.8, для второго - 0.9. Производительность второго станка втрое больше, чем первого. 1) Найти вероятность того, что взята наудачу деталь стандартна. 2) Взятая наудачу деталь оказалась бракованной, найти вероятность того, что она сделана на первом станке.

40.

• компьютерном классе института 7 IBM типа Pentium и 5 компьютеров других модификаций. Вероятность сбоя в работе в течение учебного занятия для Pentium равна 0.9, для других компьютеров - 0.7. Студент на занятии работает за произвольно выбранным компьютером. 1) Найти вероятность того, что в течение занятия его

компьютер не “зависнет”. 2) На занятии компьютер дал сбой в работе, найти вероятность того, что студент работал на Pentiumе.

Задачи с 41 по 50. Формула Бернулли. Локальная теорема Лапласа. Интегральная теорема Лапласа. Теорема Пуасона

41.

Вероятность сбоя в работе компьютера в одном сеансе работы равна 0.1. Найти вероятность двух сбоев в шести сеансах работы.

42.

Вероятность появления события А в одном испытании равна 0.4. произведено 5 испытаний. Найти вероятность того, что событие А наступит не более одного раза.

43.

Фирма выпускает изделия, из которых 80% высшего качества. Какова вероятность при отборе 100 изделий обнаружить ровно 18 изделий высшего качества?

44.

Хлебокомбинат выпускает 90% продукции первого сорта. Какова вероятность того, что из 400 изделий хлебокомбината первосортных окажется не менее 380?

45.

Что вероятнее выиграть у равносильного соперника (ничьи исключены): три партии из четырех или пять партий из восьми?

46.

Рекламное агентство гарантирует, что в некоей лотерее 2% билетов выигрышные. Вы приобрели 100 лотерейных билетов. Что вероятнее, что четыре билета окажутся выигрышными или выигрышных не будет ни одного.

47.

Вероятность появления события в каждом испытании равна 0.25. Найти вероятность того, что в 300 испытаниях событие наступит от 50 до 80 раз.

48.

Всхожесть семян новой культуры 85%. На опытном участке посеяли 500 семян. Найти вероятность того, что прорастут от 400 до 450 семян.

49.

Вероятность появления события А в одном испытании равна 0.4. произведено 400 испытаний. Найти вероятность того, что событие А наступит не менее 190 и не более

1. раз.

50.

Типография гарантирует вероятность брака переплета книг 0.0001. Книга издана тиражом 25000 экземпляров. Какова вероятность того, что в этом тираже только одна книга имеет брак переплета?

Задачи с 51 по 60. Дискретные случайные величины

Найти математическое ожидание a) M(X), b) дисперсию D(X), c)среднее квадратическое отклонение  (X) дискретной случайной величины X по заданному закону распределения.