Контрольная работа по теме Параллельные прямые (c решением)

Контрольная работа по теме «Параллельные прямые»

Вариант 1

1. Запишите два накрест лежащих угла, два соответственных угла и два внутренних односторонних угла.

Решение.

• DMK и EKM – накрест лежащие углы,

• СМК и МКЕ – внутренние односторонние углы,

• СМК и ЕКВ – соответственные углы.

1. а‖b, 1 = 130°. с – секущая. Найдите 2.

Решение.

1. а‖b, с – секущая 2 = 3 (как соответственные углы).

2. 1 = 130°, 1 и 3 – смежные. Сумма смежных углов рана 180°.

1 + 3 = 180°, 3 = 180° - 1, 3 = 180° - 130°, 3 = 50°.

Ответ: 50°.

1. Прямые AB и CD параллельны, MN – секущая. Два внутренних односторонних угла относятся как 2 : 3. Найдите все углы, образованные параллельными прямыми и секущей.

Решение.

1. AB‖CD, MN – секущая, 6 и 3 – внутренние односторонние.

6 + 3 = 180°, 6 + 3 – составляют 5 частей

(по условию 6 : 3 = 2 : 3).

1 часть = 180° : 5 =36°, 6 = 36°∙2 = 72°, 3 = 36°∙ 3 = 108°,

3 = 5 = 108°, 6 = 4= 72° - внутренние накрест лежащие,

3= 7 = 108°, 5 = 1 = 108° - соответственные,

6 = 2= 72°, 8 = 4= 72°- соответственные.

Ответ: 1= 3= 5= 7= 108°, 2 = 4= 6 = 8 = 72°.

1. В треугольнике ABC равны стороны АС и ВС. На сторне АС взята точка М и проведена прямая, параллельная ВС, которая пересекает сторону АВ в точке К. Докажите, что ∆АМК – равнобедренный.

Доказательство:

1. МК‖CB, АВ – секущая, МКА = СВA (как соответственные).

2. В ∆ABC, AС = CB (по условию), отсюда следует, что ∆ABC – равнобедренный.

САВ = СВА (как углы при основании равнобедренного треуголника).

1. Так как МКА = СВA, то МКА = САВ, значит

∆АМК – равнобедренный

1. Дан четырехугольник АВСD. Известно, что АВ‖CD, BC‖AD. Докажите, что биссектрисы углов А и С параллельны.

Доказательство:

1. BC‖AD (по условию), СD - секущая, BCD + ADC = 180° (1) (как внутренние односторонние),

2. АВ‖CD (по условию), АD – секущая, ВAD + ADC = 180° (как внутренние односторонние),

тогда BАD = BCD ( ADC – общий угол).

1. 4 = _{ } ВAD

• 1 = _{ } ВСD, следовательно 4 = 1,

1. 5 = 1 (накрест лежащие при ВС‖AD и CN – cекущей),

2. 4 = 5 (как соответственные при АМ, СN и АN – cекущей).

Если при пересечении двух прямых (АМ и СN) секущей (АN) соответственные углы равны, то прямые АМ‖СN.

Что и требовалось доказать.

Контрольная работа по теме «Параллельные прямые»

Вариант 2

1. Запишите два накрест лежащих угла, два соответственных угла и два внутренних односторонних угла.

Решение.

• BFE и FED – накрест лежащие углы,

• AFE и DEF – внутренние односторонние углы,

• MFB и FEC – соответственные углы.

1. с‖d, 1 = 45°. Найдите 2.

Решение.

1. с‖d, с – секущая, 2, 3 – внутренние накрест лежащие углы. Если две параллельные прямые прямые пересечены третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны. 2 = 3.

2) 1 = 45°, 1 и 3 - смежные, 1 + 3 = 180°, 3 = 180° - 1,

3 = 180° - 45° = 135°, 2 = 3 = 135°.

Ответ: 135°.

1. Прямые AB и CD параллельны, NP – секущая. Разность двух внутренних односторонних углов равна 40°. Найдите все углы, образованные параллельными прямым и секущей.

Решение.

1. AB‖CD, NP – секущая, 4 + 5 = 180° (как внутренние односторонние).

Если две параллельные прямые прямые пересечены третьей прямой, то сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°.

4 - 5 = 40° (по условию),

2 4 = 220°, 4 = 220° : 2= 110°,

5 = 110° - 40° = 70°

5 = 3 = 70°, 6 = 4= 110° - внутренние накрест лежащие,

3 = 7 = 70°, 5 = 1 = 70° - соответственные,

6 = 2 = 110°, 8 = 4= 110°- соответственные.

Ответ: 1 = 3 = 5 = 7 = 70°, 2 = 4 = 6 = 8 = 110°.

1. В треугольнике MNK равны стороны MN и NK. На сторне MN взята точка A. Через точку А проведена прямая, параллельная NK, которая пересекает сторону MK в точке B. Докажите, что ∆МAB – равнобедренный.

Доказательство:

1. ∆MNK, MN = MK, то ∆MNK – равнобедренный. NМК = NКМ (как углы при основании равнобедренного треуголника),

2. AB‖NK, MK – секущая, NКМ и ABM – соответственные.

Если две параллельные прямые прямые пересечены третьей прямой, то соответственные углы равны, поэтому NКМ = ABM.

1. Так как NМК = NКМ, то ABM = NМК, значит

∆МАB – равнобедренный

1. Дан четырехугольник MNPK. Известно, что MN‖PK, NP‖MK. Докажите, что биссектрисы углов N и K параллельны.

Доказательство:

1. NP‖MK (по условию), PK - секущая, то NPK + PKM = 180° (как внутренние односторонние),

2. MN‖PK (по условию), MK - секущая, то NMK + PKM = 180° (как внутренние односторонние), тогда NPK = NMK ( TPR – общий угол).

3. 3 = _{ } PKM ,

2 = _{ } MNP, следовательно 3 = 2,

3 = 5 (накрест лежащие при, MP‖MK, BT – cекущей),

1. 2 = 5 (соответственные при прямых NC и KB, NP – cекущей),

Если при пересечении двух прямых NC и KB, NP – cекущей, соответственные углы равны, то прямые NC‖KB.

Что и требовалось доказать.