Конус (конкурсная работа обучающейся)

КОНУС

Выполнили : ученицы 11 «Б» класса

Гатаулина Неля и Белых Лера

Проверила : учитель математики Родич Валентина Григорьевна

СОДЕРЖАНИЕ

• Историческая справка
• Конус
• Усеченный конус
• Решение задач
• Дополнительная информация о конусе
• Кроссворд
• Конус в архитектуре
• Использованная литература

Историческая справка

Конус в переводе с греческого «konos» означает «сосновая шишка». С конусом люди знакомы с глубокой древности. В 1906 году была обнаружена книга Архимеда (287–212 гг. до н. э.) «О методе», в которой дается решение задачи об объеме общей части пересекающихся цилиндров. Архимед приписывает честь открытия этого принципа Демокриту (470–380 гг. до н. э.) – древнегреческому философу-материалисту. С помощью этого принципа Демокрит получил формулы для вычисления объема пирамиды и конуса.

Много сделала для геометрии школа Платона (428–348 гг. до н. э.). Платон был учеником Сократа (470–399 гг. до н. э.). Он в 387 г. до н. э. основал в Афинах Академию, в которой работал 20 лет. Каждый, входящий в Академию, читал надпись: «Пусть сюда не входит никто, не знающий геометрии». Школе Платона, в частности, принадлежит: а) исследование свойств призмы, пирамиды, цилиндра и конуса; б) изучение конических сечений.

Большой трактат о конических сечениях был написан Аполлонием Пергским (260–170 гг. до н. э.) – учеником Евклида (III в. до н. э.), который создал великий труд из 15 книг под названием «Начала». Эти книги издаются и по сей день, а в школах Англии по ним учатся до сих пор.

КОНУС

Понятие конуса : тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей L , называется конусом.

Коническая поверхность называется боковой поверхностью конуса, а круг – основанием конуса.

Конус – тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей катет.

• S - вершина конуса, круг с центром О – основание конуса
• Отрезок SA = L образующая.
• Отрезок OA = R – радиус основания.
• Отрезок BC =2 R – диаметр основания.
• Треугольник SBC -осевое сечение
• Угол BSC – угол при вершине осевого сечения
• Угол SBO – угол наклона образующей к плоскости основания

Все образующие конуса равны друг другу.

Прямая SO, проходящая через центр основания и вершину, называется осью конуса. Ось конуса перпендикулярна к плоскости основания.

Отрезок SO называется высотой конуса.

Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими конуса. Поверхность конуса состоит из основания и боковой поверхности.

Конус называется прямым , если прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярна к основанию.

Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания. У прямого конуса основание высоты совпадает с центром основания. Осью прямого кругового конуса называется прямая, содержащая его высоту.

Сечения конуса

Секущая плоскость проходит через ось конуса

(осевое сечение – равнобедренный треугольник)

Секущая плоскость проходит перпендикулярно к оси конуса

- круг с центром О 1

Сечение, проходящее через верщину конуса – равнобедренный

треугольник

Параболическое и гиперболическое сечения

Вписанный и описанный конус

• В конус всегда можно вписать шар. Его центр на оси конуса

и совпадает с центром окружности, вписанной в треугольник,

являющийся осевым сечением конуса.

• Около конуса всегда можно описать шар. Его центр лежит на оси конуса и совпадает с центром окружности, описаной около треугольника, являющегося осевым сечением конуса.

Площадь поверхности конуса

Площадь полной поверхности конуса есть сумма площадей боковой поверхности и основания.

S пол =πr(L+r)

За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь её разертки. Выразим S бок. через его образующую L и радиус основания r. Площадь кругового сектора πL ²/360* α . Выразим α через L и r . Длинна дуги ABA равна 2 πr (длина окружности основания конуса) 2 πr = πL /180* α , откуда следует α =360 r / L следовательно S бок = πL ²360 r /360 L = πrL

S бок = πrL

Объем конуса

Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.

V=1/3 П R 2 h

Усеченный конус

Усеченный конус – часть конуса, заключенная между основанием и паралельным основанию сечением конуса.

Усеченный конус может быть получен вращением прямоугольной трапеции вокруг ее боковой стороны, перпендикулярной к основаниям.

Площадь поверхности усеченного конуса

• Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна произведению полусуммы длин окружностей оснований на образующую.

S бок.= π ( r + r 1 ) L

• Площадь полной поверхности усеченного конуса равна сумме площадей боковой поверхности усеченного конуса и оснований.

S полн . = S 1 +S 2 +S бок =πL(r+r 1 )+ πR²+πr²

Обьем усеченного конуса

Обьем усеченного конуса V , высота которого равна h , а площади оснований S и S 1 вычисляется по формуле:

V=1/3h(S+S 1 +√S*S 1 )

Решение задач

Задача №1 . Образующая конуса равна L , а радиус основания равен r . Найдите площадь сечения, проходящего через вершину конуса и хорду основания, стягивающую дугу в 90 градусов.

Решение:

S сеч.= ½* h * CB ; h = SK S сеч.= ½* SK * CB Рассмотрим треугольник CSB .

SK - медиана; треугольник SCK - прямоугольный;

SK 2 =SC 2 - CK 2

SK = √ L 2 - r 2 /4

Т.к. угол D ОС=90 0 , то

D С 2 =О D 2 +ОС 2

D С = √ r 2 + r 2 = √ 2 r 2 = r √ 2

SC = L ; CK = CD /2= ( r √ 2)/2

SK= √ L 2 -((r √ 2)/2) 2 = √ L 2 -2r 2 /4

S сеч .=1/2*r √2*√ L 2 -2r 2 /4= (r √ 2)/2* √ L 2 -2r 2 /4= r/2* √ 2L 2 -r 2

Ответ : S сеч .= r/2* √ 2L 2 -r 2

Задача № 2. Площадь осевого сечения конуса равна 0,6 см 2 . Высота конуса равна 1,2 см. Вычислите площадь полной поверхности конуса.

Решение:

S пол .= π rL+ π r 2

S ASB =1/2 AB*SO; S ASB =1/2*2r*H=rH

0,6=r*1 , 2 ;r= 0,6/1,2=1/2 ( см )

По теореме Пифагора L= √ H 2 +r 2

L= √ (1,2) 2 +(1/2) 2 =√1,69=1,3 ( см)

S пол.= π *0,5*1,3+ π (0,5) 2 = π *0,5*1,8=0,9 π (см 2 )

Ответ: S пол.= 0,9 π (см 2 )

Конус в архитектуре

Декорации. Мосфильм. Москва

Собор Василия Блаженного. Москва

Ёлка на Воробьевых горах. Москва

Использованная литература:

• Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев . Геометрия 10-11: учебник для общеобразовательных учреждений, М.Просвещение.2004г
• Интернет-ресурсы