Конус та його елементи. Перерізи конуса площинами. Зрізаний конус.

Урок № 59,60 11-а (20.12.2016)

Тема: Конус і його елементи. Перерізи конуса площинами. Зрізаний конус.

Мета: сформувати поняття конуса та його елементів (основи, твірних, радіуса основи, висоти, осі, осьового перерізу); домогтися засвоєння властивостей конуса; сформувати вміння розв’язувати задачі, що передбачають застосування цих понять і властивостей.

Розглянути основні види перерізів конуса, сформувати вміння розв’язувати задачі, що передбачають використання цих понять та властивостей.

Тип: засвоєння знань, формування вмінь.

Хід уроку.

І. Організаційний етап.

ІІ. Перевірка домашнього завдання.

Перевірити наявність в учнів домашнього завдання, відповісти на питання, які виникли при виконанні домашнього завдання.

Математичний диктант. (10-15 хвилин)

Правильна трикутна призма, діагональ бічної грані якої дорівнює l і утворює кут α з:

варіант 1 — стороною основи (рис. 120);

варіант 2 — бічною стороною (рис. 121),

вписана в циліндр.

Знайдіть:

а) сторону основи; (2 бали) б) твірну циліндра; (2 бали)

в) радіус основи циліндра; (2 бали)

г) площу осьового перерізу циліндра; (2 бали)

д) площу бічної поверхні призми; (2 бали)

е) площу основи циліндра. (2 бали)

Відповідь.

Варіант 1.а) l·соs α; б) l·sіnα ; в); г); д)l²sіn2α; е).

Варіант 2.а) l·sіnα; б) l·соsα; в); г); д)l²sіn2α; е).

У правильну чотирикутну призму, діагональ якої дорівнює а і утво­рює кут:

варіант 3 — α з бічним ребром (рис. 122);

варіант 4 — β з основою призми (рис. 123),

вписано циліндр.

Знайдіть:

а) висоту циліндра; (2 бали)

б) діагональ основи призми; (2 бали)

в) радіус циліндра; (2 бали)

г) площу основи циліндра; (2 бали)

д) площу діагонального перерізу призми; (2 бали)

е) площу осьового перерізу циліндра. (2 бали)

ІІІ. Формулювання мети й завдань уроку.

4. Актуалізація опорних знань.

Фронтальне опитування

1.Який трикутник називається прямокутним?

2.Які властивості прямокутного трикутника ви знаєте?

3.Ознаки рівності та подібності прямокутних трикутників.

4. Формула для знаходження площі прямокутного трикутника.

5.Формула для знаходження довжини кола та площі круга.

5.Засвоєння знань.

Прямим круговим конусом називається тіло, утворене обертанням плоского прямокутного трикутника навколо одного із його катетів (рис. 124).

Якщо прямокутний трикутник SАО обертається навколо катета SO, то його гіпотенуза описує бічну поверхню, а катет ОА — круг — основу конуса. Радіус цього круга називається радіусом конуса; то­чка S, відрізок SА, відрізок SO, пряма SO називаються відповідно вершиною, твірною, висотою і віссю конуса.

Осьовий переріз конуса — переріз конуса площиною, яка проходить через його вісь. Всі осьові перерізи конуса являють собою рівнобедрені трикутники, рівні між собою. На рис. 125 ∆SАВ — осьовий переріз (SА = SВ). Висотою конуса називається перпендикуляр, опущений з його вершини на площину основи. У прямого кругового конуса основа висоти збігається з центром основи. На рис. 125 S0 — висота конуса.

Проведемо в конусі переріз площиною, яка проходить через дві твір­ні SА і SВ (рис. 127), площина перетне основу конуса по хорді АВ; отже, переріз конуса площиною, яка проходить через вершину, — трикутник.

6.Формування вмінь.

Виконання письмових вправ.

1. Радіус основи конуса дорівнює 6 см, висота — 8 см. Знайдіть твір­ну конуса. (Відповідь. 10 см.)

2. Твірна конуса дорівнює l і нахилена до площини основи під ку­том α. Знайдіть:

а) висоту конуса;

б) радіус основи конуса;

в) площу основи;

г) площу осьового перерізу;

д) відстань від центра основи конуса до твірної.

(Відповідь. а) l·sіnα; б) l·соsα ; в) πl²соs²α; г) l²·sіп2α; д) l·sіn2α.)

1. Радіус основи конуса дорівнює 28 см, а твірна довша висоти на 8 см. Знайдіть площу осьового перерізу конуса. (Відповідь. 1260 см².)

2. Відношення площі основи конуса до площі осьового перерізу дорів­нює π. Знайдіть кут нахилу твірної до основи. (Відповідь. 45°.)

5.Твірна конуса дорівнює l. Знайдіть площу перерізу, проведеного че­рез дві твірні, кут між якими дорівнює α . (Відповідь. l² sin α .)

6.Твірна конуса дорівнює l, а радіус основи дорівнює r. Знайдіть площу пе­рерізу, проведеного через вершину конуса і хорду основи, що стягує дугу, кутова величина якої дорівнює α. (Відповідь. .)

7.Висота конуса дорівнює Н. Знайдіть площу перерізу, що проходить через вершину конуса і хорду основи, яка стягує дугу, кутова вели­чина якої α, якщо площина перерізу утворює з площиною основи конуса кут β. (Відповідь. .)

Мерзляк с.25 №224,225,226,227

7.Підсумок уроку.

1. Дайте означення прямого кругового конуса.

2. Що таке вершина конуса, твірна конуса, основа конуса, бічна пове­рхня конуса, висота конуса, вісь конуса, осьовий переріз конуса?

3. Що є осьовим перерізом конуса?

4. Твірна конуса дорівнює l і утворює з висотою кут α (рис. 126). Ука­жіть, які з наведених тверджень правильні, а які — неправильні:

а) висота конуса дорівнює l·соs α;

б) ОА = ltgα;

в) площа основи дорівнює πl²·sіn²α;

г) площа осьового перерізу конуса дорівнює l sіп 2α;

д) відстань від центра основи конуса до твірної дорівнює lsіn 2α .

8.Домашнє завдання.§ 26 № 983, 984

Правильна трикутна призма, діагональ бічної грані якої дорівнює l і утворює кут α з:

варіант 1 — стороною основи (рис. 120);

варіант 2 — бічною стороною (рис. 121),

вписана в циліндр.

Знайдіть:

а) сторону основи; (2 бали) б) твірну циліндра; (2 бали)

в) радіус основи циліндра; (2 бали)

г) площу осьового перерізу циліндра; (2 бали)

д) площу бічної поверхні призми; (2 бали)

е) площу основи циліндра. (2 бали)

Правильна трикутна призма, діагональ бічної грані якої дорівнює l і утворює кут α з:

варіант 1 — стороною основи (рис. 120);

варіант 2 — бічною стороною (рис. 121),

вписана в циліндр.

Знайдіть:

а) сторону основи; (2 бали) б) твірну циліндра; (2 бали)

в) радіус основи циліндра; (2 бали)

г) площу осьового перерізу циліндра; (2 бали)

д) площу бічної поверхні призми; (2 бали)

е) площу основи циліндра. (2 бали)

Правильна трикутна призма, діагональ бічної грані якої дорівнює l і утворює кут α з:

варіант 1 — стороною основи (рис. 120);

варіант 2 — бічною стороною (рис. 121),

вписана в циліндр.

Знайдіть:

а) сторону основи; (2 бали) б) твірну циліндра; (2 бали)

в) радіус основи циліндра; (2 бали)

г) площу осьового перерізу циліндра; (2 бали)

д) площу бічної поверхні призми; (2 бали)

е) площу основи циліндра. (2 бали)

Правильна трикутна призма, діагональ бічної грані якої дорівнює l і утворює кут α з:

варіант 1 — стороною основи (рис. 120);

варіант 2 — бічною стороною (рис. 121),

вписана в циліндр.

Знайдіть:

а) сторону основи; (2 бали) б) твірну циліндра; (2 бали)

в) радіус основи циліндра; (2 бали)

г) площу осьового перерізу циліндра; (2 бали)

д) площу бічної поверхні призми; (2 бали)

е) площу основи циліндра. (2 бали)

У правильну чотирикутну призму, діагональ якої дорівнює а і утво­рює кут:

варіант 3 — α з бічним ребром (рис. 122);

варіант 4 — β з основою призми (рис. 123),

вписано циліндр.

Знайдіть:

а) висоту циліндра; (2 бали)

б) діагональ основи призми; (2 бали)

в) радіус циліндра; (2 бали)

г) площу основи циліндра; (2 бали)

д) площу діагонального перерізу призми; (2 бали)

е) площу осьового перерізу циліндра. (2 бали)

У правильну чотирикутну призму, діагональ якої дорівнює а і утво­рює кут:

варіант 3 — α з бічним ребром (рис. 122);

варіант 4 — β з основою призми (рис. 123),

вписано циліндр.

Знайдіть:

а) висоту циліндра; (2 бали)

б) діагональ основи призми; (2 бали)

в) радіус циліндра; (2 бали)

г) площу основи циліндра; (2 бали)

д) площу діагонального перерізу призми; (2 бали)

е) площу осьового перерізу циліндра. (2 бали)

У правильну чотирикутну призму, діагональ якої дорівнює а і утво­рює кут:

варіант 3 — α з бічним ребром (рис. 122);

варіант 4 — β з основою призми (рис. 123),

вписано циліндр.

Знайдіть:

а) висоту циліндра; (2 бали)

б) діагональ основи призми; (2 бали)

в) радіус циліндра; (2 бали)

г) площу основи циліндра; (2 бали)

д) площу діагонального перерізу призми; (2 бали)

е) площу осьового перерізу циліндра. (2 бали)