Копилка нестандартных задач по математике

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ ИВАНОВСКОЙ ОБЛАСТИ

ОБЛАСТНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«ИВАНОВСКИЙ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНЫЙ КОЛЛЕДЖ»

Учебная дисциплина

Математика

ИНДИВИДУАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ

Тема

Копилка нестандартных задач по математике

Выполнил студент/обучающийся:

Курс 2 Группа 5/6Зубкова Ксения Андреевна

Руководитель:

Учитель математики Савенко Ирина Николаевна

Иваново, 2020

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ.............................................................................................................2

ГЛАВА I. НЕСТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ

1.1. Какая задача называется нестандартной…..………………………………..3

1.2.Этапы решения нестандартных задач….…………..……………………..4-5

1.3.Для чего нужно решать нестандартные задачи…………….………………6

ГЛАВА II. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

2.1. Виды нестандартных задач………………..…...………………..……….7-11

2.2.Методы решения нестандартных задач……...…………………....…...12-16

2.3. Примеры решений нестандартных задач…….………...……….……...17-18

ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………………………...19

СПИСОК ИНФОРМАЦИОННЫХ ИСТОЧНИКОВ……………...…...20-21

ВВЕДЕНИЕ

Математика – это инструмент для размышления, в её арсенале имеется большое количество задач, которые на протяжении тысячелетий способствовали формированию мышления людей, умению решать нестандартные задачи, с честью выходить из затруднительных положений.

Решение разнообразных задач является одним из факторов овладения знаниями и умениями, развития умственных способностей и личностных качеств. Знаменитый математик Д. Пойа отмечал, что много задач вместе иногда решить легче, чем всего лишь одну из них, если это большое число задач хорошо согласовано, а одна задача сама по себе изолирована.

Умение решать задачи — основное средство познания математики. В педагогической науке не сложилось единого понимания сущности умения. Исследователи преимущественно раскрывают сущность умения, как совокупность знаний и навыков, обеспечивающую возможность выполнения определенной деятельности в некоторых условиях. В математике умения, необходимые для решения задач и дополненные творчеством, ведут к умениям решать нестандартные задачи.

Нестандартные задачи являются темой многих отечественных и зарубежных исследований. Их изучали еще с древности — египтяне, греки, индийцы, китайцы, арабы. Нестандартные арифметические задачи — одно из средств формирования исследовательских умений.

«Не мыслям надобно учить, а учить мыслить»

Э. Кант

ГЛАВАI. НЕСТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ

1.1. Какая задача называется нестандартной

Нестандартные задачи - это такие, для которых в курсе математики не имеется общих правил и положений, определяющих точную программу их решения.

Часто путают понятия нестандартной задачи и задачи повышенной сложности. Условия задач повышенной сложности построены таким образом, что можно легко выделить математический аппарат для решения такой задачи.

Нестандартная задача же подразумевает наличие некоторого исследования.

Следует заметить, что понятие «нестандартная задача» является относительным. Одна и та же задача может быть стандартной и нестандартной, в зависимости от того, знаком ли решающий со способами решения задач такого типа или нет. Например, задача «Представьте выражение 2х² + 2у² в виде суммы двух квадратов» является для решающего нестандартной до тех пор, пока он не познакомился со способами решения таких задач. Но если после решения такой задачи решающему предложить несколько аналогичных задач, такие задачи становятся для него стандартными.

Таким образом, нестандартная задача – это задача, алгоритм решения которой решающему неизвестен, то есть он не знает заранее ни способа ее решения, ни того, на какой учебный материал опирается решение.

1.2. Этапы решения нестандартных задач

Операция решения любого нетипичного задания обычно сводится к двум последовательным действиям — это преобразование нетипичной задачи к типичной и разделение нетипичной задачи на несколько подзадач.

Деятельность по решению текстовых математических задач, в том числе и нестандартных, включает следующие этапы:

1) анализ текста задачи (усвоение содержания);

2) поиск решения (разбор задачи и составление плана решения);

3) осуществление плана решения;

4) проверка решения задачи.

Основные затруднения при решении задач данного вида возникают прежде всего на начальных этапах хода решения. Поэтому на этапе анализа текста задачи можно рекомендовать:

— интерпретировать условие задачи, т. е. выполнить рисунок, чертеж, таблицу, схему для получения ясного представления о задачной ситуации;

— выделить данные и искомые, отношения между ними, проверить их достаточность и непротиворечивость;

— обратиться к прошлому опыту: вспомнить аналогичные, уже решенные задачи, на которые данная задача может опираться;

— перевести элементы задачи на язык математического метода, предполагаемого для использования при ее решении;

— переформулировать условие задачи, заменив данное в ней описание ситуации другим, сохраняющим все отношения, связи, количественные характеристики объектов задачи (при этом вся лишняя, несущественная информация отбрасывается, текст задачи преобразуется в форму, сокращающую поиск решения).

На этапе осуществления плана решения задачи полезно придерживаться советов. Закончив решение задачи, следует осуществить его проверку:

- прикинуть правильность результата сопоставлением с условием и здравым смыслом;

- установить соответствие между данными и искомыми;

- попытаться найти более экономичный способ решения;

- составить и решить обратную задачу.

При поиске решения нестандартных задач целесообразно применять методы рассуждения от «начала» (данных) задачи и от «конца» (вопроса) задачи — синтез и анализ.

1.3. Для чего нужно решать нестандартные задачи

Характерное значение нестандартных задач:

- учат самостоятельно находить оригинальные способы решения;

- оказывают огромное влияние на развитие смекалки и сообразительности;

- препятствуют выработке штампов при решении и рушат неправильные ассоциации в знаниях и умениях, предполагают нахождение новых связей в знаниях, способствуют переносу знаний к овладению различными приемами познавательной деятельности;

- создают условия для увеличения глубины знаний, гарантируют осмысленное понимание математических знаний.

Также нестандартные задачи содействуют развитию математического мышления: краткости речи, умелому использованию символики, правильному применению математической терминологии, умению отвлекаться от всех качественных сторон предметов и явлений, сосредотачивая внимание только на количественных, умению делать доступные выводы и обобщения, обосновывать свои мысли.

ГЛАВА II. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

2.1. Виды нестандартных задач

1 вид. Задачи на смекалку.

1) Масса цапли, стоящей на одной ноге 12 кг. Сколько будет весить цапля, если встанет на 2 ноги?

2) Пара лошадей пробежала 40 км. Сколько пробежала каждая лошадь?

3) У семи братьев по одной сестре. Сколько всего детей в семье?

4) Шесть котов за шесть минут съедают шесть мышей. Сколько понадобится котов, чтобы за сто минут съесть сто мышей?

2 вид. Занимательные задачи.

1) Как расставить 6 стульев у 4 стен, чтобы у каждой стены было по 2 стула.

2) Папа с двумя сыновьями отправился в поход. На их пути встретилась река. У берега плот. Он выдерживает на воде одного папу или двух сыновей. Как переправиться на другой берег папе с сыновьями?

3) Для одной лошади и двух коров выдают ежедневно 34 кг сена, а для двух лошадей и одной коровы - 35 кг сена. Сколько сена выдают ежедневно одной лошади и сколько одной корове?

4) Четыре утенка и пять гусят весят 4 кг 100 г, а пять утят и четыре гусенка весят 4 кг. Сколько весят один утенок?

5) У мальчика было 22 монеты – пятирублевые и десятирублевые, всего на сумму 150 рублей. Сколько было пятирублевых и десятирублевых монет?

3 вид. Логические задачи.

1) В квартире № 1, 2, 3 живут три котенка: белый, черный и рыжий. В квартире № 1 и 2 жил не черный котенок. Белый котенок жил не в квартире № 1. В какой квартире жил каждый из котят?

2) Среди футбольных мячей красный мяч тяжелее коричневого, а коричневый тяжелее зеленого. Какой мяч тяжелее: зеленый или красный?

3) Встретились три друга: скульптор Белов, скрипач Чернов и художник Рыжов. «Замечательно, что один из нас блондин, другой брюнет, а третий рыжеволосый. Но ни у одного нет волос того цвета, на который указывает его фамилия», - заметил брюнет. «Ты прав», - сказал Белов. Какой цвет волос у художника?

4) Три подруги вышли погулять в белом, зеленом и синем платьях и туфлях таких же цветов. Известно, что только у Ани цвет платья и цвет туфель совпадают. Ни туфли, ни платье Вали не были белыми. Наташа была в зеленых туфлях. Определите цвет платья и туфель на каждой из подруг.

5) В отделении банка работают кассир, контролер и заведующий. Их фамилии Борисов, Иванов и Сидоров. Кассир не имеет ни братьев, ни сестер и меньше всех ростом. Сидоров женат на сестре Борисова и ростом выше контролера. Назовите фамилии контролера и заведующего.

6) Для пикника сладкоежка Маша взяла в трех одинаковых коробках конфеты, печенье и торт. На коробках были этикетки: «Конфеты», «Печенье», и «Торт». Но Маша знала, что мама любит шутить и всегда кладет продукты в коробки, надписи на которых не соответствуют их содержимому. Маша была уверена, что конфеты не лежат в коробке, на которой написано «Торт». В какой же коробке торт?

4 вид. Задачи на переливание.

1) Можно ли, имея лишь два сосуда емкостью 3 и 5л, набрать из водопроводного крана 4 л воды?

2) Как разделить поровну между двумя семьями 12 л хлебного кваса, находящегося в двенадцатилитровом сосуде, воспользовавшись для этого двумя пустыми сосудами: восьмилитровым и трехлитровым?

3) Как, имея два сосуда емкостью 9л и 5л, набрать из водоема ровно 3 литра воды?

4) Бидон, емкость которого 10 литров, наполнен соком. Имеются еще пустые сосуды в 7 и 2 литров. Как разлить сок в два сосуда по 5 литров каждый?

5) Имеются два сосуда. Емкость одного из них 9л, а другого 4л. Как с помощью этих сосудов набрать из бака 6 литров некоторой жидкости? (Жидкость можно сливать обратно в бак).

5 вид. Комбинаторные задачи.

1) У Даши 2 юбки: красная и синяя, и 2 блузки: в полоску и в горошек. Сколько разных нарядов у Даши?

2) Сколько существует двузначных чисел, у которых все цифры нечетные?

3) Родители приобрели путевку в Грецию. До Греции можно добраться, используя один из трех видов транспорта: самолет, теплоход или автобус. Составьте все возможные варианты использования данных видов транспорта.

4) Сколько разных слов можно образовать при помощи букв слова «соединение»?

5) Из цифр 1, 3, 5 составить различные трехзначные числа так, чтобы в числе не было одинаковых цифр.

6 вид. Геометрические задачи.

1) Раздели пирог прямоугольной формы двумя разрезами на части так, чтобы они имели треугольную форму. Сколько получилось частей?

2) Разрежь квадрат на 4 части и сложи из них 2 квадрата. Как это сделать?

3) Разрежьте треугольник на два треугольника, четырехугольник и пятиугольник, проведя две прямые линии.

4) Можно ли квадрат разделить на 5 частей и собрать восьмиугольник?

7 вид. Логические квадраты.

1) Заполни квадрат (4 х 4) числами 1, 2, 3, 6 так, чтобы сумма чисел по всем строкам, столбцами и диагоналям была одинаковой. Числа в строках, столбцах и диагоналях не должны повторяться.

2) Раскрась квадрат (4х4) красным, зеленым, желтым и синим цветами так, чтобы цвета в строках, столбцах и по диагоналям не повторялись.

3) В квадрате (3х3) нужно разместить числа 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3 так, чтобы по всем линиям получить в сумме число 6.

4) Числа 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 расставить в клетках квадрата (3х3) так, чтобы в любом направлении в сумме получить 21.

5) В клетках квадрата (3х3) расставить числа 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 так, чтобы в столбцах, в строчках и по диагоналям получить сумму 24.

Перечень видов нестандартных задач может быть продолжен, например, ориентируясь на приемы решения задач: задачи, решаемые «рассуждением с конца», задачи на прием «уравнивания» и др.

2.2. Методы решения нестандартных задач

Осваивать идеи и методы решения задач можно двумя способами:

1) сначала прочитать описание идеи, потом разобрать примеры, потом порешать задачи на эту тему;

2) сразу начать с задач, чтобы самим уловить идею, а уже потом прочитать комментарии и разобрать примеры.

Методы решения:

1. Алгебраический метод

Развивает творческие способности, способность к обобщению, формирует абстрактное мышление и обладает такими преимуществами, как краткость записи и рассуждений при составлении уравнений, экономит время.

Для того чтобы решить задачу алгебраическим методом необходимо:

- провести разбор задачи с целью выбора основного неизвестного и выявления зависимости между величинами, а также выражения этих зависимостей на математическом языке в форме двух алгебраических выражений;

- найти основание для соединения этих выражений знаком «=» и составить уравнение;

- найти решения полученного уравнения, организовать проверку решения уравнения.

Все эти этапы решения задачи логически связаны между собой.

Пример:

Рыбак поймал рыбу. Когда у него спросили: «Какова её масса?», он ответил: «Масса хвоста - 1кг, масса головы такая же, как масса хвоста и половины туловища. А масса туловища такая, как масса головы и хвоста вместе». Какова масса рыбы?

Решение: Пусть х кг - масса туловища; тогда (1+1/2х) кг - масса головы. Так как по условию масса туловища равна сумме масс головы и хвоста, составляем и решаем уравнение:

х = 1 + 1/2х + 1,

х - 1/2х =2,

х/2 = 2,

х = 4.

4 кг - масса туловища, тогда 1+1/2 • 4=3 (кг) - масса головы и 3+4+1=8 (кг) - масса всей рыбы. Ответ: 8 кг.

2. Арифметический метод

Требует большого умственного напряжения, что положительно сказывается на развитии умственных способностей, математической интуиции, на формировании умения предвидеть реальную жизненную ситуацию.

Пример:

На первой полке стояло в 3 раза больше книг, чем на второй. На двух полках вместе стояло 120 книг. Сколько книг стояло на каждой полке?

Решение:1) 1+3=4 (части) - приходится на все книги;

2) 120:4=30 (книг) - приходится на одну часть (книги на второй полке);

3) 30*3=90 (книг) - стояло на первой полке.

3. Метод перебора

На первый план выходит процесс составления различных вариантов. И главное уже не сколько, а какие варианты могут получиться. Этот метод позволяет накапливать опыт практического решения комбинаторных задач, что служит основой для введения в дальнейшем комбинаторных принципов и формул.

Пример:

Три компаньона одной фирмы хранят ценные бумаги в сейфе, на котором 3 замка. Компаньоны хотят распределить между собой ключи от замков так, чтобы сейф мог открываться только в присутствии хотя бы двух компаньонов, но не одного. Как это можно сделать?

Решение: Сначала перебираются все возможные случаи распределения ключей. Каждому компаньону можно дать по одному ключу или по два разных ключа, или по три.

Предположим, что у каждого компаньона по три разных ключа. Тогда сейф сможет открыть один компаньон, а это не соответствует условию.

Предположим, что у каждого компаньона по одному ключу. Тогда, если придут двое из них, то они не смогут открыть сейф.

Дадим каждому компаньону по два разных ключа. Первому - 1 и 2 ключи, второму - 1 и 3 ключи, третьему - 2 и 3 ключи. Проверим, когда придут любые два компаньона, смогут ли они открыть сейф.

Могут прийти первый и второй компаньоны, у них будут все ключи (1 и 2, 1 и 3). Могут прийти первый и третий компаньоны, у них также будут все ключи (1 и 2, 2 и 3). Наконец, могут прийти второй и третий компаньоны, у них тоже будут все ключи (1 и 3, 2 и 3).

Таким образом, чтобы найти ответ в этой задаче, нужно выполнить операцию перебора несколько раз.

4. Метод рассуждений 

Можно использовать для решения математических софизмов.

Ошибки, допущенные в софизме, обычно сводятся к следующему: выполнению «запрещённых» действий, использованию ошибочных чертежей, неверному словоупотреблению, неточности формулировок, «незаконным» обобщениям, неправильным применениям теорем.

Пример:

Говорят, что Тортила отдала золотой ключик Буратино не так просто, как рассказал А. Н. Толстой, а совсем иначе. Она вынесла три коробочки: красную, синюю и зелёную. На красной коробочке было написано: «Здесь лежит золотой ключик», а на синей - «Зелёная коробочка пуста», а на зелёной - «Здесь сидит змея».Тортила прочла надписи и сказала: «Действительно в одной коробочке лежит золотой ключик, в другой - змея, а третья - пуста, но все надписи неверны. Если отгадаешь, в какой коробочке лежит золотой ключик, он твой». Где лежит золотой ключик?

Решение: Так как все надписи на коробочках неверны, то в красной коробочке лежит не золотой ключик, зеленая коробочка не пустая и в ней не змея. Значит в зеленой коробочке - ключик, в красной - змея, а синяя - пуста.

5. Практический метод

Можно использовать для нестандартных задач на деление.

Пример:

В трёхметровом бруске - 300 см. Его надо разрезать на бруски длиной 50 см каждый. Сколько надо сделать разрезов?

Решение: Получается 6 брусков 300 : 50 = 6 (брусков).

6. Метод предположения

Пример:

Возле школы стояли такси и велосипеды. У них было вместе 14 колёс. Сколько возле школы стояло такси и сколько велосипедов, если всего у них 5 рулей?

Решение: Предположим, что возле школы стояло все 5 такси, тогда решением будет:

4 · 5 = 20 (к.)

Увеличение общего количества колёс обусловлено тем, что у такси на 2 колеса больше, чем у велосипеда.Если взять на 6 колёс меньше, то будет 3 велосипеда и оставшиеся 2 такси. Ответ: Возле школы стояло 2 такси и 3 велосипеда.

2.3. Примеры решений нестандартных задач

№1

Среди трёх монет одна фальшивая. Она не отличается от настоящей монеты по виду, но немножко тяжелее настоящей монеты. У нас имеются чашечные весы без гирь. Как одним взвешиванием установить, какая монета фальшивая?

Решение.

Сравниваем две монеты взвешиванием; если они уравновесятся, то фальшивая монета – третья, если одна из монет окажется тяжелее, то она – фальшивая.

№2

Петя нашел один гриб, Коля – два, а Паша – три. Мама дала им 18 орехов и велела разделить их по заслугам. Сколько орехов получил каждый?

Решение.

Паша собрал ровно половину всех грибов, поэтому ему полагается половина всех орехов – девять. Из остальных девяти орехов Коля должен получить в два раза больше Пети, так как он собрал вдвое больше грибов. Значит, Петя должен получить три ореха, а Коля шесть.

№3

Илья стоит в хороводе. Пятый слева от Ильи тот же, что и шестой справа. Сколько людей в хороводе?

Решение.

Между Ильёй и пятым слева (назовем его Жорой) 4 человека. Между Ильей и шестым справа (а это тот же Жора) 5 человек. Итого в хороводе Илья, Жора и еще 4 + 5 = 9 человек.

№4

Составить магический квадрат 5х5, в котором каждое из чисел от 1 до 5 встречается по пять раз, но не повторяется ни в каком столбце и ни в какой строке.

Решение.

Для этого в каждой строке и в каждом столбце должны находиться все числа от 1 до 5.

Ответ: например, так:

№5

Какое число пропущено в следующем равенстве?

(483 – 15) x (869 – __) = 0.

Решение.

Так как произведение двух множителей равно нулю, то один из них равен нулю. Первый множитель не равен нулю, значит, равен нулю второй множитель. Получается, что 869 – __ = 0, а значит, пропущено число 869.

Ответ: 869.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Важнейшей задачей математики является вооружение общими приемами мышления, пространственного воображения, развитие способности понимать смысл поставленной задачи, умение логично рассуждать, усвоить навыки алгоритмического мышления. Каждому важно научиться анализировать, отличать гипотезу от факта, отчетливо выражать свои мысли, а с другой стороны - развить воображение и интуицию. Именно математика предоставляет благоприятные возможности для воспитания воли, трудолюбия, настойчивости в преодолении трудностей, упорства в достижении целей.

Сегодня математика как живая наука с многосторонними связями, оказывающая существенное влияние на развитие других наук и практики, является базой научно-технического прогресса и важной компонентой развития личности.

Математически, логически и осознанно исследовать явления реального мира способствует решение различного рода нестандартных логических задач.

СПИСОК ИНФОРМАЦИОННЫХ ИСТОЧНИКОВ

I. Учебная и монографическая литература

1. Фридман Л.М., Турецкий Е.Н. Книга для учащихся старших классов.  «Как научиться решать задачи». 3-е изд., дораб. - М.: Просвещение, 1989. - 192 с.

II. Интернет-ресурсы

1. Интернет-ресурс «nsportal.ru» - Образовательная социальная сеть. Форма доступа: https://nsportal.ru/sites/default/files/2018/10/12/sbornik_nestandartnykh_zadach_po_matematike.pdf

2. Интернет-ресурс «nsportal.ru» - Образовательная социальная сеть. Форма доступа: https://nsportal.ru/shkola/algebra/library/2016/11/14/rol-nestandartnyh-zadach-v-izuchenii-matematiki

3. Интернет-ресурс «infourok.ru» - Ведущий образовательный портал России. Форма доступа: https://infourok.ru/proekt-po-matematike-nestandartnye-zadachi-4177169.html

4. Интернет-ресурс «moluch.ru». Форма доступа: https://moluch.ru/archive/90/18762/

5.https://docviewer.yandex.ru/view/316166073/?page=1&*=dY5j8%2F%2BRLnBjkjb1z7sT6TjWUxZ7InVybCI6InlhLWJyb3dzZXI6Ly80RFQxdVhFUFJySlJYbFVGb2V3cnVEMDhxUy1UeVRhN1AwcjIxSnM5SEtMaGtRYlZKaktqN0cwVE5Db3J4ekpIU21DUnBUWUFERFVSdEt6dkFYc2dfaGliS2VNbjJSOWotMFh4VDVkWW9XZjZuTlpXd3JHR3ZNOHpFWEtTc2hhNVVYWkY5Q1JwYTZQMzlySjR5OXl0Nnc9PT9zaWduPTdBdjJlWUJwTlI4bnUtS081akxqRGxDSENXZV9YdGZzUE5FV2NIYVNTTGM9IiwidGl0bGUiOiJjaHRvX3Rha29lX25lc3RhbmRhcnRuYXlhX3phZGFjaGEuZG9jeCIsIm5vaWZyYW1lIjpmYWxzZSwidWlkIjoiMzE2MTY2MDczIiwidHMiOjE2MDQ4NDk5MDQ1MzQsInl1IjoiNDk3NjYzMzU0MTU5OTk4NzQ1MSJ9

6. Интернет-ресурс «studopedia.ru». Форма доступа:

https://studopedia.ru/19_307155_vidi-nestandartnih-zadach.html

7. Интернет-ресурс «studopedia.org». Форма доступа: https://studopedia.org/11-72556.html

8. Интернет-ресурс «urok.1sept.ru». Форма доступа: https://urok.1sept.ru/articles/574656

9. Интернет-ресурс «studwood.ru». Форма доступа: https://studwood.ru/1069155/pedagogika/metody_resheniya_nestandartnyh_zadach

10. Интернет-ресурс «nsportal.ru» - Образовательная социальная сеть. Форма доступа:

https://nsportal.ru/nachalnaya-shkola/matematika/2015/10/31/nestandartnye-zadachi-po-matematike