Көрсөткүчтүү жана логарифмдик туюнтмалар

Лекция № 21-24

Тема: Көрсөткүчтүү жана логарифмдик функциялар, алардын касиеттери.

1. Көрсөткүчтүү функция, касиеттери.

2. Логарифмдер жана алардын касиеттери.

3. Логарифмдик функция, касиеттери.

4. Көрсөткүчтүү жана логарифмдик теңдемелер, түрлөрү, аларды чыгаруунун жолдору.

5. Көрсөткүчтүү жана логарифмдик барабарсыздыктар, түрлөрү, аларды чыгаруунун жолдору.

Натурал, бүтүн жана рационал көрсөткүчтүү даражаларды жана алардын касиеттерин кайталоо, толуктоо жолдору.

Көрсөткүчтүү функция түшүнүгүн кийирүүнүн негизги базасы болуп – натурал, бүтүн жана рационал көрсөткүчтүү даражалар, n – даражалуу тамыр, алардын касиеттери эсептелет.

Алдын-ала даражасын, үчүн кайталап, же ; аныктамасын эске алып, кийин касиеттерине токтолобуз.

1⁰. ;

2⁰. ;

3⁰. ;

4⁰. ;

5⁰. ;

6⁰. болсо, анда ;

7⁰. жана болсо, анда , айрым учурда ;

8⁰. болсо, анда ;

9⁰. болсо, .

2. Эми натурал көрсөткүчтүү даражага окшоштуруп, анын аныктамасынан, касиеттеринен пайдаланып, саны үчүн , - даражасын алабыз. Мында эскертилет. Бул учурунда да жогорудагы 1⁰-7⁰ касиеттердин туура болору мисалдардын жардамында көрсөтүлөт.

3. Эми болгондо болгондуктан, деп белгилөөнү, себеби болорун айтып, алардын жардамында болсо, болорун көрсөтүү жолу менен рационал көрсөткүчтүү даражасы аныкталат ; ; ; . Ошентип, анык санын рационал көрсөткүчтүү даражага көтөрүүгө мүмкүн. Касиеттери:

1⁰. ; 2⁰. ; 3⁰. ;

4⁰. ; 5⁰. ; 6⁰. болсо, ;

7⁰. болсо, анда .

Эми иррационал көрсөткүчтүү даража түшүнүгүнө токтолобуз.

, , , , , ж.б. иррационал сандарын карайлы. Аларды бүтүнгө, 0,1ге, 0,01ге, 0,001ге, … чейинки тактыктагы кеми менен жана ашыгы менен алынган жакындаштырылган маанилерин карайлы. Мисалы, үчүн алар төмөндөгүчө болот: ; ; ; ж. б.

үчүн: ; ; ; , …. Анда даражалары үчүн төмөнкүлөр алынат:

; ; ; , …

; ; ; , ….

Бул берилгендерден даражаларынындагы жакындаштырылган сан маанилерин алууга болот. Ошентип анык санын , анык сан көрсөткүчтүү даражасына да көтөрүүгө болот.

Көрсөткүчтүү функция түшүнүгүн кийирүү жана анын касиеттери.

Көрсөткүчтүү функция түшүнүгүн бир нече жолдор менен кийрүүгө болот:

1. Айрым, жеке мисалдарды, учурларды карап, индукция жолу менен;

2. Каалагандай чыныгы сан үчүн даражасын , анын касиеттери, үчүн болгондой табыларын, көз карандылыгын аткарылышын көрсөтүү менен;

3. Формалдуу жол менен, б.а. шыр эле аныктаманы берүү аркылуу.

Айталы болсун. Анда . Эми анык саны үчүн

2^х даражасын карап көрөлү. Аны үчүн таблица түзүп көрөбүз.

Ушундай эле жол менен 3^х, 5^х, 10^х, , 0,1^х, ж.б. даражалары үчүн да таблицаларды түзүп, даражаладын сан маанилерин табуу көрсөтүлөт. Ошентип, жогорудагы таблицадан көрүнүп тургандай, каалагандай анык х санына 2^х даражасынын анык бир мааниси туура келип жатат. Анда 2^х даражасы х тин функциясы болот. Ошондой эле 3^х, 10^х, ж.б. даражалары да х тин функциялары болушат.

Аныктама: жана болсун. Бардык анык сандардын көптүгүндө (сан огунда) аныкталып, мааниси катышы менен эсептелген функция – көрсөткүчтүү функция деп аталат. функциясында х аргументи даражанын көрсөткүчүндө берилген.

Эгерде болсо турактуу гана мааниге ээ болот. Эгерде болсо, анда маанисинде аныкталбайт, терс сандын квадрат тамыры жашабайт. Ошол себептүү , болгон учуру гана каралат.

Функциянын, даражанын, тамырдын касиеттеринен, функциясынын да төмөнкүдөй касиеттери келип чыгат:

1⁰. функциясынын аныкталуу областы бардык анык сандардын көптүгү болот.

2⁰. Маанилеринин көптүгү бардык оң анык сандардын көптүгү болот (графиги ох – огунун үстүндө жатат).

3⁰. Даражанын касиети боюнча, болгондо, өсүүчү функция, ал эми болгондо функциясы кемүүчү болот.

4⁰. Каалагандай саны үчүн болгондуктан, функциясынын графиги (0;1) чекити аркылуу өтөт.

5⁰. үчүн болгондуктан функциясы бир маанилүү функция.

Көрсөткүчтүү теңдемелер жана барабарсыздыктар, аларды чыгаруунун жолдору.

Белгисизи даражанын көрсөткүчүндө болгон теңдемелер көрсөткүчтүү теңдемелер деп аталат. Эң жөнөкөй көрсөткүчтүү теңдеме түрүндө болот. Көрсөткүчтүү теңдемелерге мисалдар келтирели.

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

теңдемесин карап көрөлү. болсо, теңдеменин чыгарылышы жок, , , учурда теңдеме жалгыз чыгарылышка ээ. Көрсөткүчтүү теңдемелерди логарифм түшүнүгүнөн кийин өткөнү дурус болор эле. Себеби теңдемесинин чечими болот эмеспи. Бирок түрүнө келтирүүгө мүмкүн болгон учурларда барабардыгынан чыгарылышын логарифмсиз эле алууга болот. барабардыгынан алынат.

1-мисалда: ;

2-мисалда: ;

3-мисалда: ;

4-мисалда: белгилөөсүн пайдаланып, , чечимдери келип чыгар эле. Негизинен көрсөткүчтүү теңде-мелерди чыгарууда 4=2²; 8=2³; 0,5=2^-1; 0,1=10^-1; 0,25=2^-2; ; ; ж.у.с. теңдеш өзгөртүп түзүүлөрдү пайдалана билүү, белгисиз бир туюнтманы башка бир белгисиз менен белгилеп алып чыгаруу ж.у.с. жолдордон пайдаланууну үйрөнүү зарыл.

Эң жөнөкөй көрсөткүчтүү барабарсыздык түрүндө болот. Белгисизди өз ичине алган, ар кандай көрсөткүчтүү барабарсыздыкты жогоркудай эң жөнөкөй барабар-сыздыктарга алып келүү жолу менен чыгарылат.

болгондо барабарсыздыгы , ал эми болгондо барабарсыздыгы менен тең күчтүү болорун, мисалдардын жардамында көрсөтө билүү зарыл. Мисалдар келтирели.

1. 5^х  -5 барабарсыздыгынын чечими жок.

2. 10^х 0,1 дин чечими х  -1, б.а. ;

3. берилсе, белгилөөсүнөн, , мындан же . Мындан ;

4. берилсе, анда экендигин эске алып, ди алабыз. болгондуктан, х  1 же .

Теңдемелерди, барабарсыздыктарды чыгарганда дагы көрсөткүчтүү функциянын касиеттеринен, графиктеринен пайдалануу зарыл.

түрүндөгү көрсөткүчтүү функциясы менен катар практикада, турмушта түрүндөгү функциялар көп учурайт. Мисалы, функциясын деп жазууга болот.

Логарифм түшүнүгүн кийирүү жана анын касиеттери.

Логарифм түшүнүгүн биринчи жолу англиялык математик Джон Непер (1550-1617) жана швецариялык математик И. Бюрги (1552-1632) математикалык эсептөөлөрдү жөнө-көйлөштүрүү жолдорун издеп олтуруп табышкан жана практикада колдонууну сунуш кылышкан.

Логарифм түшүнүгүн бир нече жолдор менен берүүгө болот:

1. түрүндөгү көрсөткүчтүү теңдемелердин жардамында;

2. Өз ара тескери функциялардын жардамында, функциясына тескери болгон функцияны аныктоо жолу менен;

3. Эсептөөгө берилген жеке, айрым мисалдарды кароодон индукция жолу менен;

4. Даяр формада, аныктамасынан, формалдуу жолу менен.

а) , , көрсөткүчтүү функциясын карайбыз.

Ал үзгүлтүксүз бир маанилүү, монотондуу (өсүүчү же кемүүчү) функция. болгондо, өсүүчү, графиги 46-чийме-де көрсөтүлгөндөй болот. Эми , түз сызыгын карайбыз (46-чийме). жана функцияларынын графиктеринин кесилиш чекити болсун. Анда саны теңдемесинин чечими болот.

Аныктама: , , - негизи боюнча оң санынын логарифми деп, санын алуу үчүн санын көтөрүүгө керек болгон даражанын көрсөткүчү айтылат. Ал символу менен белги-ленет, мында десек, анда болот.

Мисалы, 2³=8 болгондуктан болот, ; ; . Аныктамадан теңдештиги келип чыгат. Андан кийин логарифмдин касиеттери, аларга мисалдар иштөө үйрөтүлөт. а =10 болсо ондук логарифм деп аталат жана ал деп жазылат. Аларга мисалдар келтирүүгө болот. в0 болгондуктан, он сандын гана логарифми жашайт.

б) Экинчи жолду карап көрөлү. функциясы берилсин. Мында - аргумент, - функция. ти тапсак болот. Мында тин ар бир маанисинде тин анык бир маа-ниси тиешелеш келет. Демек катышы да функция, - аргумент, - функция. функциясы функциясына тескери функция болот. Айлананын узундугу радиустун функциясы. Мындан катышын жазсак, ал да функциясына тескери функциясы болот. Мында - аргумент, - функция. Жагы болгон квадраттын аянты , тин функциясы болот. Мындан , анын катышын алсак , ал да функциясына тескери функция.

функциясында х чондугу у аркылуу бир маанилүү гана аныкталса, анда функциясына тескери функция жашайт. Мисалы, у=х² функциясына х тин аралыгында тескери функциясы болот.

Эгерде y = f(x) функциясы бир маанилүү, монотондуу, аныкталуу областы D(f) = M көптүгү, маанилеринин көптүгү E(f) =N көптүгү болсо, анда y = f(x) функциясына тес-кери y = g(x) функциясы жашап, анын аныкталуу областы , ал эми маанилеринин көптүгү М болот. Математикада функциясына тескери функциясы жашаса, андагы катышындагы х ти у менен, ал эми у ти х менен ал-маштырып, деп жазышат жана y = g(x) функциясы y = f(x) функциясына тескери функция деп айтылат.

Эми болгон көрсөткүчтүү функциясын карайлы. Анын касиетте-ри боюнча бир маанилүү, монотондуу (өсүүчү же кемүүчү) функ-ция. Анда функциясына көптүгүндө тескери функция жашайт. Ал тес-кери функциясы деп жазылып, ал негизи боюнча x тин логарифми деп аталат. Демек, тен дан келип чыгат, b0.

Андан кийин даражанын, көрсөткүчтүү функциянын касиеттеринен жана лога-рифмдин аныктоосунун негизинде, анын төмөнкүдөй касиеттерин келтирип чыгарууга болот:

1⁰. 2⁰. ; 3⁰. 4⁰. (мында х 0, у0); 5⁰. ; 6⁰. ; 7⁰. ; 8⁰. жана болсо, болот; 9⁰. жана болсо, .

Аныктама: , х(0;+) болгондо түрүндөгү функциялар логарифмдик функция деп аталат.

Ал төмөнкүдөй касиеттерге ээ:

1⁰. Аныкталуу областы ;

2⁰. Маанилеринин көптүгү ;

3⁰. функциясынын графиги (1;0) чекити аркылуу өтөт;

4⁰. а1 болгондо функциясы өсүүчү, ал эми болгондо кемүүчү функция болот;

5⁰. х₁  х₂ болсо, бир маанилүү, үзгүлтүксүз функция болот.

6⁰. функциясынын графиги огунун оң жагында жайланып, аны менен кесилишпейт. огун (1;0) чекитинде кесип өтөт (47-чийме).

7⁰. функциясынын графиги у = х түз сызы-гына карата функциясынын графигине симметриялуу болот.

Логарифмдик теңдемелер жана барабарсыздыктар, аларды чыгаруунун жолдорун окутуу.

Белгисиз чоңдук логарифм белгисинин астында турган теңдемелер, барабарсыз-дыктар – логарифмдик теңдемелер, барабарсыздыктар деп аталат. Аларды логарифм-дин касиеттеринин негизинде, өтүлгөн материалдардан пайдаланып чыгарууга болот.

түрүндөгү теңдемелер ( ) эң жөнөкөй логарифмдик теңдеме деп аталат. Анын жалгыз гана чечими бар. теңдемесинин чечими системасынын чечими болот.

Ал эми теңдемесинин чечими системасы-нан табылат. Алар потенцирлөө жолу менен чыгарылат.

Теңдемелерди чыгарабыз: 1) , чечими х=3; 2) болсо, анын чечими 3 болот; 3) берилсе, чечими болот; 4) берилсе, анда , мындан х=3 болот.

түрүндөгү барабарсыздык логарифмдик барабарсыздык деп аталат. Анын чечими же системасынын чечими болот, логарифмдик барабар-сыздыктар потенцирлөө жолу менен чыгарылат. Аларды чыгарууда төмөнкү эки эрежени жетекчиликке алуу зарыл:

1. туюнтмасында шартын эске алуу керек;

2) Эгерде а1 болсо, анда барабарсыздыктын белгиси өзгөрбөй сакталышын, ал эми болсо, анда барабарсыздыктын белгисин карама-каршысына өзгөртүү керек.

Барабарсыздыктары чыгарылсын:

1. болсо, чечими ;

2. болсо, чечими ;

3. ;

Көрсөткүчтүү жана логарифмдик функциялардын туундуларын келтирип чыгаруу.

Алдын-ала функциясынын туундусу түшүнүгүн, аныктамасын, формула-сын табуу эрежелерин кайталоо зарыл. жана функцияларынын үзгүлтүк-сүздүгү жана графиктери эске алынат.

1. саны, анын сан мааниси бир нече жолдор менен келтирип чыгарылат.

сан удаалаштыгын карап көрөлү. ,

өсүүчү удаалаштык,

сан удаалаштыгын да ,

кемүүчү удаалаштык.

Ар убак . Ошол себептүү удаалаш-тыгы өсүүчү жана жогору жагынан чектелген, ал эми удаалаштыгы кемүүчү бирок төмөн жагынан чектелген. Анда Вейерштрастын монотондуу чектелген удаалаштыктары тууралуу теоремасы боюнча пределине ээ. Ал , б.а. болгон иррационалдык сан .

2. Эми функциясын карайбыз. Анын аралыгындагы орточо ылдамдыгы . Мында туюнтмасынын болгондогу предели (0;1) чекитинде функциясына жүргүзүлгөн жаныманын бурчтук коэффициенти болот. Демек, болгондо тин умтулган сан мааниси х=0 болгондогу тин туундусун берер эле, б.а. , мында . Эми нын 2; 2,3; 3; 3,4 ж.б. сан маанилериндеги , , , , … функцияларын графиктерин чийип, х=0 болгондо аларга жүргүзүлгөн жанымалардын огу менен түзгөн бурчу жакындаштырылган 35⁰, 40⁰, 48⁰, 51⁰, … болгон. Демек ал жанымалардын бурчтук коэффициенттери , , , … болот. Мындан нын бир сан мааниси табылып, (0;1) чекитинде ага жүргүзүлгөн жаныманын бурчтук коэффициенти болот ( болот). Мындай сан 2ден чоң, 3 төн кичине сан, ал иррационалдык сан болот. Ал сан үчүн . Анда үчүн . Ошентип функциясынын туундусу өзүнө барабар, б.а. болот. Эгерде болсо, анда болот эле. Математикада көбүнчө экспоненттик функция деп аталат.

3. Негизи саны болгон логарифмди натуралдык логарифм деп аташат, жана аны ln менен белгилешет, б.а. .

Логарифмдин аныктамасынан келип чыккан биринчи теңдештик боюнча , мындан . Ошол себептүү болот. Анда , б.а. . Мындан ; .

4. Логарифмдик функциянын туундусун: 1) өз ара тескери функциялардын туунду-сунун формуласынан; 2) логарифмдик теңдештиктин жардамында чыгарууга да болот. Теңдештик боюнча , анда бул барабарсыздыктын эки жагын туундулап же мындан , . Мындан экендигин алабыз. бир негизден экинчи негизге өтүү формуласынан пайдаланып формулалары чыгарылат.

Логарифмдерди эсептөөлөрдү жүргүзүү.

Логарифмдердин эсептөө жумуштарында колдонулушун, таблицаларды пайдала-нууну, логарифмдерди эсептөөлөрдү карап көрөлү. Төмөнкү класстардан каалагандай  оң анык санын стандарттуу түрдө , , көрүнүшүндө жазылышы белгилүү. Мисалы, 629=6,2910²; 69512= 6,951210⁴; 0,23=2,310^-1; 0,00014=1,410^-4; 3700=3,710³; 0,37=3,710^-1; …. Мында анык сандын тартиби деп аталат. 0,0081=8,110^-3 санынын тартиби (-3), ал эми 4326=4,32610³ санынын тартиби 3кө барабар. Эми санынын логарифми lg α = lg a + lg 10ⁿ =lg a + n lg 10 = n+lg a болот. болгондуктан, дурус ондук бөлчөк болот. Ошол себептүү , … санына барабар. Мындагы бүтүн саны анын характеристикасы, ал эми - дурус ондук бөлчөгүнүн үтүрдөн кийинки бөлүгү мантиссасы деп аталат. Ар кандай оң сандын тартибин (характеристикасын) аны стандарттуу формада жазып, ал эми анын мантиссасын таблицалардан (Брадистин төрт орундуу таблицасы) табууга болот.

Ар кандай он анык сандын логарифмин таблицанын антилогарифм бөлүгүнөн карап жана характеристикасын эске алып, ал сандын тартибинин жакындаштырылган маанисин алууга болот. Мисалы санынын характеристикасы 3 болот, себеби 6871=6,87110³; санынын характеристикасы – 2 болот, себеби

Суроолор:

1. Көрсөткүчтүү функциянын аныктамасы.

2. Көрсөткүчтүү функциянын касиеттери.

3. Көрсөткүчтүү функциянын мүнөздүү белгиси.

4. Көрсөткүчтүү функциянын графиги.

5. Логарифмдин аныктамасы.

6. Логарифмдин касиеттери.

7. Логарифмдик функциянын аныктамасы.

8. Логарифмдик функциянын касиеттери.

9. Логарифмдик функциянын мүнөздүү белгиси.

10. Көрсөткүчтүү теңдемелер, түрлөрү, аларды чыгаруунун жолдору.

11. Логарифмдик теңдемелер, түрлөрү, аларды чыгаруунун жолдору.

12. Көрсөткүчтүү барабарсыздыктар, түрлөрү, аларды чыгаруунун жолдору.

13. Логарифмдик барабарсыздыктар, түрлөрү, аларды чыгаруунун жолдору.

Практикалык жумуштар.

1. Туюнтманын сан маанисин тапкыла: а) б)

2. Туюнтманы жөнөкөйлөткулө:

а) б)

1. Тендемени чыгаргыла: а) ; б)

2. Барабарсыздыкты чыгаргыла: а) б)

3. Тендемелердин системасын чыгаргыла:

а) б)

1. Барабарсыздыкты чыгаргыла: а) б)

Тесттик тапшырмалар.

1. Туюнтманын сан маанисин тап:

а) 8√2 -1; б) 0,5; в) 1. г)2.

1. теңдемесин чыгар.

а) ; б) 1; в) 7. г)1.

1. барабарсыздыгын чыгар.

а) (-; 0); б) (-; +); в) (0; +). г) туурасы жок.

1. туюнтмасын эсепте.

а) 0AA1; в) А=⅔ г) A=1.

1. теңдемесин чыгар.

а) 4 жана –2; б) 2 жана –4; в) 1 жана –2. г) -2 жана 4.