Краткий курс алгебра 7 класс

Числовые и буквенные выражения.

1. При решении задач иногда только записывают действия , а выполняют их потом. Полученные записи называют числовыми выражениями.

2. Число, получаемое в результате выполнения всех указанных действий в числовом выражении ,называют значением этого выражения.

3. Выражение , содержащее буквы , называют буквенным (алгебраическим ) выражением.

4. Числа , которыми заменяют букву , называют значениями этой буквы.

5. Поскольку буквам , входящим в состав алгебраического выражения , можно придавать различные числовые значения , эти буквы называют переменными.

6. Если при конкретных значениях букв (переменных) алгебраическое выражение имеет числовое значение , то указанные значения переменных называют допустимыми ; если же при конкретных значениях букв (переменных) алгебраическое выражение не имеет смысла , то указанные значения переменных называют недопустимыми.

7. Решение задачи разбивается на 3 этапа а). Составление математической модели; б). Работа с математической моделью; в).Ответ на вопрос задачи.

8. Существует несколько видов моделей: Словесная модель(реальные ситуации описываются словами), алгебраическая модель (алгебраически ), геометрическая модель ( в геометрии и графики).

Линейные уравнения с одним неизвестным.

1. Решить линейное уравнение – это значит найти все те значения переменной , при каждом из которых уравнение обращается в верное числовое равенство. Каждое такое значение переменной называют корнем уравнения.

2. Линейным уравнением с одной переменной х называют уравнение вида ах+б=0 , где а и б - любые числа ( коэффициенты).

Алгоритм решения линейного уравнения ах+б=0 в случае когда а ≠ 0.

1. Преобразовать уравнение к виду ах= -б.

2. Записать корень уравнения в виде х= ( -б) : а , или, что то же самое , х= - б/а.

Алгоритм решения линейного уравнения ах+б=сх+д (а≠ с )

1. Перенести все члены уравнения из правой части в левую с противоположными знаками.

2. Получится уравнение вида кх+м=0.

Координатная прямая.

1. Прямую , L на которой выбрана начальная точка О ( начало отсчета ), масштаб ( единичный отрезок, т.е.отрезок , длина которого считается равной 1 ) и положительное направление, .

называют координатной прямой или координатной осью.

Числовые промежутки.

1. Луч-[а;∞) ---х ≥ а ; (а;б]--- х ≤ б.

2. Открытый луч – (а;∞)--- х › а ; (∞;б) --- х ‹ б.

3. Интервал – (а;б) --- а‹ х ‹ б

4. Отрезок - [а;б] ---- а ≤ х ≤ б

5. Полуинтервал - [а;в) --- а ≤ х ‹ б ; (а;б] --- а ‹ х ≤ б

Координатная плоскость.

1. Прямоугольной системой координат на плоскости называют две перпендикулярные координатные прямые- х и у , которые пересекаются в начале отсчета – точке О. Точка О называется началом координат.

2. Плоскость на которой выбрана система координат , называют координатной плоскостью.

3. Координатную прямую х называют осью абсцисс , а у – осью ординат.

4. Прямые углы , образованные осями координат , называют координатными углами.

Алгоритм отыскания координат точки М, заданной в системе координат хОу.

1. Провести через точку М прямую , параллельную оси У, и найти координату точки пересечения этой прямой с осью Х – это будет абсцисса точки М.

2. Провести через точку М прямую , параллельную оси Х, и найти координату точки пересечения этой прямой с осью У – это будет ордината точки М.

Алгоритм построения точки М(а;б) в прямоугольной системе координат хОу.

1. Построить прямую у=б.

2. Найти точку пересечения построенных прямых – это и будет точка М(а;б).

Линейное уравнение с двумя переменными.

1. Уравнение вида ах+ву+с=0 , где а,в,с –числа ( коэффициенты ) называют линейным уравнением с двумя переменными х и у ( или двумя неизвестными х и у ).

2. Решением уравнения ах+бу+с=0 называют всякую пару чисел (х;у) , которая удовлетворяет этому уравнению, т.е.обращает равенство с переменными ах+бу+с=0 в верное числовое равенство.

3. Графиком линейного уравнения является прямая.

4. Теорема №1. Если хотя бы один из коэффициентов а,б линейного уравнения ах+бу+с=0 отличен от нуля , то графиком уравнения служит прямая линия.

Алгоритм построения графика уравнения ах+бу+с=0 , где а≠0, б≠0.

1. Придать переменной х конкретное значение х=х₁ ( х=0 ) найти из уравнения ах₁+бу+с=0 соответствующее значение у=у₁.

2. Придать переменной у конкретное значение у=у₂ ( у=0 ) найти из уравнения ах+бу₂+с=0 соответствующее значение х=х₂.

3. Построить на координатной плоскости хОу точки (х₁;у₁) и (х₂;у₂).

4. Провести через эти две точки прямую – она и будет графиком уравнения ах+бу+с=0.

5. Линейное уравнение вида ах+бу+с=0 ( если б≠ 0) преобразованное к виду у=кх+м, где к и м коэффициенты . к= - а/б , м= - с/б будем называть линейной функцией.

6. У линейной функции х- независимая переменная ( или аргумент ), у – зависимая переменная ( или функция ).

7. Теорема 2. Графиком линейной функции у= кх +м является прямая.

8. Если к › 0 то функция у=кх + м возрастает.

9. Если к ‹ 0 то функция у=кх + м убывает.

10. Теорема 3. Графиком линейной функции у=кх является прямая , проходящая через начало координат.

11. Коэффициент К в записи у=кх называют угловым коэффициентом.

12. Теорема 4. Прямая ,служащая графиком линейной функции у=кх+м , параллельна прямой , служащей графиком линейной функции у=кх.

13. Если к › 0, то прямая у=кх+м образует с положительным направлением оси Х острый угол, а если к ‹ 0 ,- тупой угол.

14. Теорема 5. Пусть даны две линейные функцииу=к₁х+м₁ и у=к₂х+м₂. Прямые , служащие графиками заданных линейных функций: 1. Параллельны , если к₁=к₂, м₁≠м₂ ; 2. Совпадают , если к₁=к₂, м₁=м₂; 3. Пересекаются , если к₁≠к₂

Системы двух линейных уравнений с двумя переменными.

1. Если даны два линейных уравнения с двумя переменными Х и У: и поставлена задача найти такие пары значений (х;у), которые одновременно удовлетворяют и тому , и другому уравнению , то говорят, что заданные уравнения образуют систему уравнений.

2. Пару значений (х;у), которая одновременно является решением и первого и второго уравнений системы, называют решением системы.

3. Решить систему – это значит найти все её решения или установить , что их нет.

Графический метод решения системы.

1. Если прямые параллельны ,то система не имеет решений ( система несовместна).

2. Если прямые совпадают, то система имеет бесконечное множество решений ( система неопределенна)

3. Если прямые пересекаются , то координаты точки пересечения являются решением системы.

Алгоритм решения системы двух уравнений с двумя переменными методом подстановки.

1. Выразить У через Х из первого уравнения системы.

2. Подставить полученное на первом шаге выражение вместо У во второе уравнение системы.

3. Решить полученное на втором шаге уравнение относительно Х.

4. Подставить найденное на третьем шаге значение Х в выражение У через Х , полученное на первом шаге.

5. Записать ответ в виде пары значений (х;у) , которые были найдены соответственно на третьем и четвертом шаге.

Метод алгебраического сложения.

Степень с натуральным показателем.

1. Под аⁿ, где n=2,3,4,5,…… понимают произведение n одинаковых множителей , каждым из которых является число а. Выражение аⁿ называют степенью, число а - основанием степени, число n- показателем степени.

2. Степенью числа а с показателем 1 называют само это число.

3. 1ⁿ=1, 0ⁿ=0, если n – четное число , то (-1)ⁿ=1, если n – нечетное число , то (-1)ⁿ= -1.

4. Теорема 1. Для любого числа а и любых натуральных чисел n и к справедливо равенство *=( При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются)

5. Теорема 2. Для любого числа а≠0 и любых натуральных чисел n и к , таких что n › к, справедливо равенство аⁿ:= ( При делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя делимого вычитают показатель делителя).

6. Теорема 3. Для любого числа а и любых натуральных чисел n и к справедливо равенство = ( При возведении степи в степень показатели умножаются).

7. Чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями , достаточно перемножить основания , а показатель степени оставить неизменным. *=

8. Чтобы разделить друг на друга степени с одинаковыми показателями , достаточно разделить одно основание на другое , а показатель степени оставить неизменным. =, где б ≠ 0

9. Если а ≠ 0, то = 1.

Одночлены . Арифметические операции над одночленами.

1. Одночленом называют алгебраическое выражение , которое представляет собой произведение чисел и переменных , возведенных в степень с натуральными показателями.

2. Числовой множитель одночлена , записанного в стандартном виде, называют коэффициентом одночлена.

3. Чтобы привести одночлен к стандартному виду, нужно: а) перемножить все числовые множители и поставить их произведение на первое место; б) перемножить все имеющиеся степени с одним буквенным основанием; в) перемножить все имеющиеся степени с другим буквенным основанием и т.д.

Алгоритм сложения одночленов.

1. Привести все одночлены к стандартному виду.

2. Убедиться , что все одночлены подобны; если же они не подобны , то алгоритм далее не применяется.

3. Найти сумму коэффициентов подобных одночленов.

4. Записать ответ: одночлен подобный данным , с коэффициентом , полученным на третьем шаге.

Многочлены. Арифметические операции над многочленами.

1. Многочленом называют сумму одночленов.

2. Слагаемые ( одночлены ) , из которых состоит многочлен , называют членами многочлена.

3. Если в многочлене все члены записаны в стандартном виде и приведены подобные члены, то говорят , что многочлен приведен к стандартному виду.

4. Чтобы записать алгебраическую сумму нескольких многочленов в виде многочлена стандартного вида, нужно раскрыть скобки и привести подобные члены.

5. Чтобы умножить многочлен на одночлен, нужно каждый член многочлена умножить на этот одночлен и полученные произведения сложить.

6. Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно умножить каждый член одного многочлена поочерёдно на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить.

7. Квадрат суммы двух выражений равен сумме их квадратов плюс их удвоенное произведение. =+2аб+

8. Квадрат разности двух выражений равен сумме их квадратов минус их удвоенное произведение.=-2аб+

9. Разность квадратов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на их разность. - = (а- б)(а+ б).

10. Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы. - = (а- б)(+ аб+).

11. Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности. + = (а + б)(- аб+).

12. Чтобы разделить многочлен на одночлен , нужно каждый член многочлена разделить на этот одночлен и полученные результаты сложить.

Разложение многочленов на множители.

1. Способ вынесения общего множителя за скобки.

2. Алгоритм отыскания общего множителя нескольких одночленов. а) Найти наибольший делитель коэффициентов всех одночленов, входящих в многочлен, - он и будет общим числовым множителем ( разумеется , это относится только к случаю целочисленных коэффициентов) б) Найти переменные , которые входят в каждый член многочлена , и выбрать из них наименьший ( из имеющихся ) показатель степени. в) Произведение коэффициента , найденного на первом шаге , и степеней, найденных на втором шаге , является общим множителем , который целесообразно вывести за скобки.

3. Способ группировки.

Сокращение алгебраических дробей.

1. Алгебраической дробью называют отношение двух многочленов P и Q. При этом используют запись , где P – числитель , Q – знаменатель алгебраической дроби.

Тождества.

1. Всякую замену одного выражения другим , тождественно равным ему, называют тождественным преобразованием выражения.

2. Тождество – это равенство , верное при любых допустимых значениях входящих в его состав переменных.

Функция у = и её график.

1. Графиком функции у = является парабола.

2. Ось у , является осью симметрии параболы.

3. Ось симметрии разрезает параболу на две части , которые называют ветвями параболы.

4. Точка , в которой смыкаются обе ветви и которая лежит на оси симметрии параболы , называют вершиной параболы.