Курсовая работа: "формирование у учащихся основной школы учебно-исследовательской деятельности при обучении математике"

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОРДОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

ИМЕНИ М. Е. ЕВСЕВЬЕВА»

Физико-математический факультет

Кафедра математики и методики обучения математике

КУРСОВАЯ РАБОТА

ФОРМИРОВАНИЕ У УЧАЩИХСЯ ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ УЧЕБНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ПРИ ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ

Автор курсовой работы: Д. А. Храмов, студент IV курса группы МДМ-211 очной формы обучения ______________________

дата, подпись

Направление: 050100 «Педагогическое образование», профиль

«Математика.Информатика»

Руководитель: Л. М. Наумова, к. пед. н., доцент _______________

дата, подпись

Саранск 2015

Содержание

Введение

Концепция модернизации российского образования на период до 2010 года подчёркивает необходимость ориентации «образования не только на усвоение обучающимся определенной суммы знаний, но и на развитие его личности, его познавательных и созидательных способностей. Общеобразовательная школа должна формировать целостную систему универсальных знаний, умений, навыков, а также опыт самостоятельной деятельности и личной ответственности обучающихся» [1].

В документе «Национальная образовательная инициатива "Наша новая школа"», было предложено в достижение намеченной цели увеличить количество занятий, направленных на организацию самостоятельной познавательной деятельности учащихся по изучению современных достижений науки и техники, с применением современных методик обучения: «В школе будет обеспечено изучение не только достижений прошлого, но и технологий, которые пригодятся в будущем. Ребята будут вовлечены в исследовательские проекты и творческие занятия…» [2].

Вопросами организации исследовательской и проектно-исследовательской деятельности занималось множество исследователей, например такие отечественные учёные как Г. И. Саранцев, В. И. Гусев, В. А. Далингер, Н. Г. Алексеев, А. В. Леонтович, А. С. Обухов, В. В. Рубцова, В. Д. Симоненко, Н. В. Матяш и другие.

Однако, не смотря на то, что ключевые элементы учебно-исследовательской и проектной деятельности достаточно изучены и разработаны, не в каждой современной российской школе уделяется достаточное внимание организации этого вида деятельности. Понимание проектной деятельности учителями нередко бывает несколько упрощённым и не позволяет обогатить процесс обучения.

Таким образом, исследование в этой области по-прежнему актуальны.

Объект исследования: процесс обучения математике основной школы.

Предмет исследования: организация исследовательской деятельности учащихся основной школы.

Цель исследования: формирование у учащихся основной школы учебно-исследовательской деятельности при обучении математике.

Задачи:

1. Осуществить наблюдение за процессом формирования у учащихся основной школы учебно-исследовательской деятельности при обучении математике в закрепленном классе;

2. провести анкетирование учащихся с целью выявления отношения учащихся к учебно-исследовательской деятельности;

3. разработать методику проведения занятия, направленного на формирование у учащихся учебно-исследовательской деятельности;

4. разработать и осуществить констатирующий эксперимент по теме работы.

1. Теоретические основы организации исследовательской

деятельности школьников

1. Деятельность, её характерные черты и структура

Человеческая личность формируется в процессе непрерывной деятельности, причём формирование различных качеств личности требует различных видов деятельности, в том числе общение, труд, познание. Несмотря на это сама категория деятельности разработана не в полной мере. Точного, универсального определения для понятия деятельность на сегодняшний день не существует. Исследователями этот термин употребляется в самых различных значениях. Деятельностью называли свой предмет и И. П. Павлов (высшая нервная деятельность), и В. М. Бехтерев (соотносительная деятельность) [4].

Рассмотрим различные подходы к определению деятельность с психолого-педагогической точки зрения.

1) По определению А.Г. Асмолова, «деятельность представляет собой динамическую саморазвертывающуюся иерархическую систему взаимодействий субъекта с миром, в процессе которых происходит порождение психического образа, воплощение его в объекте, осуществление и преобразование опосредованных психическим образом отношений субъекта в предметной действительности» [12].

2) А.С. Каган, разделяя деятельность на три структурных элемента, определяет её как активность субъекта, направленную на объект или других субъектов [14].

3) Н. Ф. Талызина говорит о том что «деятельность - это процесс взаимодействия человека с окружающим миром, процесс решения жизненно важных задач» [23].

4) Основоположник деятельностного подхода в психологии, С.Л. Рубинштейн, указывал, что «психические свойства личности не изначальная данность: они формируются и развиваются в процессе ее деятельности» [20]. При этом под деятельностью он понимал «целесообразное практическое преобразование субъектом объекта» [4], «не внешнее делание, а позиция — по отношению к людям, к обществу, которую человек всем своим существом, в деятельности проявляющимся и формирующимся, утверждает» [20].

5) А.Н. Леонтьев называет деятельностью «некоторую более или менее сложную совокупность или систему процессов, которые осуществляют некоторые определённые жизненные отношения индивида» [4]. Эти процессы должны отвечать той или иной потребности живого существа [12]. А жизненные отношения, то есть отношения субъекта к действительности должны быть активными, направленными на предмет – нечто противостоящее, сопротивляющееся акту деятельности [26]. Леонтьев выдвинул в качестве принципиальной задачи преодоление «разрыва между сознанием и деятельностью», подчеркнув, что в деятельности человека реализуется переход субъекта в объект … » [26].

Итак, анализ приведённых выше подходов позволяет дать следующее определение: Деятельность – это процесс, осуществляющий то или иное отношение человека к миру и формирующий таким образом свойства его личности. Под процессом понимается активное взаимодействие с окружающей действительностью, в ходе которого живое существо (человек) выступающее как субъект, осознанно и целенаправленно воздействует на объект, и удовлетворяет, таким образом, свои потребности.

В этом определении нашли отражение основные составляющие деятельности: субъект, обладающий активностью, объект, принимающий её и сам процесс, являющийся активным, осознанным, целенаправленным воздействием субъекта на объект.

В определении поставлен акцент на начальный момент деятельности — её потребность. «Когда возникает какая-нибудь определенная потребность, то живой организм, или, правильнее, субъект силится установить определенное отношение к окружающей действительности, — к ситуации удовлетворения этой потребности, — для того, чтобы на самом деле удовлетворить возникшую потребность» [4]. Таким образом, потребность есть предпосылка, энергетический источник деятельности.

Рассмотрим выделенные И.А. Зимней характерные черты деятельности: субъектность, целенаправленность, осознанность, активность, предметность [12].

Субъектность деятельности состоит в том, что она совершается определенным человеком — субъектом или совокупностью субъектов или определенной человеческой общностью. Ясно, что от количества субъектов, их индивидуальных особенностей зависят и способы деятельности, и её результаты. Именно субъект деятельности планирует, организует, направляет ее. Следует сказать, что и сама деятельность формирует человека как ее субъекта, как личность [12], [4].

Так как деятельность требует активности субъекта, активность также является важной специфической характеристикой этого процесса. Активность выявляется в действиях, среди которых разные перемещения, преобразования объекта, его удаление или создание структур [12]. О. Б. Епишева под активностью понимает «стремление личности к энергичной целенаправленной деятельности – способность подниматься над уровнем требований ситуации, ставить цели, избыточные с точки зрения исходной задачи, преодолевать внутренние и внешние ограничения деятельности» [10]. Таким образом, именно активностью определяется целенаправленность деятельности, волевые качества её субъекта. Успешность деятельности невозможна без надлежащего уровня её активности.

Еще одной важной характеристикой деятельности является предметность. Предметность позволяет отличить деятельность от любого иного отношения. Она есть объективная содержательная основа деятельности, благодаря которой окружающий мир отражается в сознании субъекта во всем своем многообразии. Специфика предметности состоит в том, что объекты внешнего мира воздействуют на субъект не непосредственно, а лишь, будучи преобразованными, в процессе самой деятельности. В частности «после Гегеля, всеми исследователями деятельностной проблематики признаётся, что рефлексивная природа человека может осуществиться только за счёт главного свойства деятельности – её предметности. Чтобы осознать себя – человек должен стать сам для себя предметом» [4]. Кроме того по предмету различают и называют виды деятельности, например педагогическая, конструкторская и т. д., в зависимости от вызвавшей её потребности [12].

Определяя деятельность, мы говорим также о целенаправленном воздействии субъекта на объект. Цель деятельности есть ее интегрирующее и направляющее начало. Она возникает у человека как образ предвидимого результата его активности и является важнейшим компонентом структуры деятельности. Многие исследователи рассматривают именно целенаправленность как определяющую характеристику для человеческой деятельности. «Цель, план, предвидение результатов будущего действия отличают специфическую форму взаимодействия именно человека с окружающей действительностью» [12].

Ещё одной характеристикой деятельности является её осознанность. Осознанность может относиться к субъекту деятельности (осознание себя, рефлексия) или к содержанию, процессу деятельности. Без осознанности деятельность не может быть целенаправленной и вырождается в набор действий.

Для характеристики того или иного предмета, явления, важно рассмотреть его структуру. Деятельность человека не является исключением. Рассмотрим несколько подходов к её строению.

Один из способов структурирования деятельности является представление её как некоей совокупности действий: «Совокупность действий, объединённых общей целью и выполняющих определённую общественную функцию, составляет деятельность … » [4].

«Ещё один вариант конструирования психологической структуры деятельности заключается в выведении её из неких процессов бытия (которые, по-видимому, надо понимать как рефлекторные процессы, обеспечивающие жизнедеятельность живых организмов)» [4].

В работах А.Н. Леонтьева, начиная с 40-ых годов [17], представлено психологическое строение деятельности, имеющее следующие составляющие: потребность – мотив – цель – условия достижения цели.

Позднее в своей известной книге «Методологические и теоретические проблемы психологии». Б. Ф. Ломов высказывает по этому вопросу следующее: «На основании существующих концепций можно в качестве основных «образующих» деятельности выделить следующие: мотив, цель, планирование деятельности, переработка текущей информации, оперативный образ (и концептуальная модель), принятие решения, действия, проверка результатов и коррекция действий» [4].

В. Д. Шадриков в учебном пособии «Психология деятельности и способности человека» [24] выделяет шесть компонентов деятельности:

1) Мотивы;

2) Цели;

3) Программа;

4) Информационная основа;

5) Принятие решения;

6) Деятельностно важные качества.

Все представленные здесь структуры адекватно раскрывают деятельность. Но с точки зрения организации, удобнее рассматривать её развёрнутую структуру, каждый компонент которой можно проследить.

Поэтому основываясь на структуре предложенной Б. Ф. Ломовым, мы будем рассматривать такие базовые элементы как мотив, цель, план, действия, проверка результатов и коррекция действий.

1. Понятие учебно-познавательной деятельности, её характерные черты и структура

В процессе своей жизнедеятельности человек осуществляет различные формы отношения к действительности, среди которых практическая, эстетическая, познавательная деятельности (по Леонтьеву) [4]. Мы в данном исследовании остановимся именно на познавательной деятельности.

Познавательная деятельность – это деятельность, которая приносит в результате информацию о качествах и свойствах объекта, о связях, отношениях и законах реального мира [7]. Это процесс накопления и усвоения индивидуумом продуктов развития общества, направленный не на складывание в копилку памяти известных знаний, а на присвоение знаний, умений, которые, постепенно усложняясь, позволяют в своем движении развивать духовные силы школьников, подниматься в познании на более высокий уровень, приближаться в овладении истиной все более полно и глубоко [10].

Познавательная деятельность школьников протекает, как правило, в учебно-познавательной форме [11].

Под учебной деятельностью психологи понимают деятельность учащихся, направленную на приобретение теоретических знаний о предмете изучения и общих приёмов решения, связанных с ним задач и, следовательно, на развитие школьников и формирование их личности [11].

Понятие учебная деятельность более широкое, чем понятие учебно-познавательная деятельность, так как в ходе учения применяются действия не только познавательного, но и тренировочного характера. В то же время понятие познавательная деятельность более широкое, чем два предыдущих, так как познание осуществляется не только в целях учения, но и для открытия нового в науке. [11]

Рассмотрим основные составляющие учебно-познавательной деятельности, её характерные черты.

Субъектом этого вида деятельности будим называть учащегося, объектом – социокультурный опыт, передаваемый учителем, под процессом воздействия субъектов на объект будем понимать учебно-познавательный процесс.

Учебно-познавательная деятельность, также как и любая другая, характеризуется субъектностью, активностью, предметностью, целенаправленностью, осознанностью.

Специфичность субъектности учебно-познавательной деятельности в том, что этот вид деятельности совершается учащимися. Планирование и организация учебно-познавательной деятельности направляется и контролируется учителем.

Так как активность является важнейшей характеристикой деятельности, учебно-познавательная деятельность также не может протекать вне активности учеников. Специфичность же, в этом плане, учебно-познавательной деятельности в том, что она нуждается в активизации со стороны учителя. Поэтому, назначение учителя – не простая передача знаний, умений и навыков учащимся, а руководство сложным процессом их познания.

Рассмотрим специфичность предметности учебно-познавательной деятельности. Деятельность педагога направлена на передачу социокультурного опыта, организацию усвоения учащимися сообщаемых сведений, деятельность ученика направлена на освоение этого опыта [12]. Таким образом, предметом учебно-познавательной деятельности является соответственно сам опыт, передаваемый учителем, или освоение этого опыта: освоение системных знаний, обобщенных способов действий, их адекватное и творческое применение в разнообразных ситуациях. Кроме того так как в процессе учебной деятельности происходит развитие обучающегося, предметом учебно-познавательной деятельности также является и сам учащийся.

Специфика целенаправленности учебно-познавательной деятельности состоит в том, что цель в педагогическом процессе обычно задаётся извне и соответствует общественно необходимым требованиям.

Отметим, также, что познавательная деятельность школьника зависит от того, насколько внешнее и внутреннее состояние ученика соответствует деятельности, которую он выполняет, и его потребности в ней. Потребностью учебной и вместе с тем учебно-познавательной деятельности является стремление личности к получению знаний, навыков, умений по изучаемым предметам, к усвоению законов происхождения, становления объектов и предметов изучаемых дисциплин [15].

Характеризуя учебно-познавательную деятельность важно обратиться и к её структуре. Рассмотрим выделенную нами структуру деятельности в рамках учебно-познавательного процесса.

Мотив. Если деятельность не имеет смысла для личности учащегося, если ее общественная необходимость не осознана, то она может и не влиять на его развитие. Поэтому в организации учебно-познавательного процесса совершенно необходимо трансформирование поставленных учителем целей в побуждения самой личности в ее внутренние устремления – в мотивы, которые и побуждают к деятельности. Этот первоначальный компонент, на протяжении всего процесса учения, решает успех конечных его результатов. Конкретными мотивами учебно-познавательной деятельности могут быть: интерес, стремление к поощрению, страх наказания за неуспехи и др. Согласно Д. Б. Эльконину, учебная деятельность «должна побуждаться адекватными мотивами. Ими могут быть мотивы приобретения обобщенных способов действий, или, проще говоря, мотивы собственного роста, собственного совершенствования» [12]. Доминирующим мотивом учебно-познавательной деятельности школьника может быть учебно-познавательный интерес, когда учебная деятельность осуществляется ради познания, овладения системой знаний, умений, навыков. В этом случае субъективная и предметная стороны учебной деятельности совпадают, и тогда эта деятельность приобретает огромный общественно и личностно-значимый смысл [15]. Именно поэтому центральную роль в учебной деятельности играет учебно-познавательный интерес, который в отличие от других возможных мотивов только и может обеспечить протекание полноценной учебной деятельности.

Цель. Еще одним из важнейших компонентов структуры учебно-познавательной деятельности, в котором закреплена её осознанность [4], является цель: «Осознание нужды – видимого намеченного результата становится целью учебной деятельности» [15]. Хотя цель учебно-познавательной деятельности и задается учителем, субъективно, для ученика, она не зеркальная, а личностно переработанная, с определяющей ролью потребностей данной личности. Таким образом, цель учебно-познавательной деятельности учащегося является одной из направляющих образовательного процесса. Это главная цель.

План. Главная цель, в свою очередь разбивается на ряд частных целей, возникаемых и удовлетворяемых во времени, в определенных условиях по мере осуществления действий, из которых состоит данная деятельность. Соотнесение каждой цели с конкретными условиями ее удовлетворения образует задачи, возникающие одна за другой по мере осуществления деятельности и которые каждый раз должен решить субъект, если он хочет добиться ожидаемого эффекта выполняемой работы. Частные цели и соответственно задачи могут возникать не только в процессе осуществления деятельности, но и в процессе её осознания перед осуществлением каких-либо действий, тогда полученная система задач образует план деятельности, в частности учебно-познавательной.

Действия. Решение каждой задачи требует от субъекта соответствующих действий. Учащийся в процессе учебно-познавательной деятельности совершает, например, такие действия: слушает объяснение учителя, читает учебник и дополнительную литературу, выполняет экспериментальные задания и т. д. Действие имеет ту же структуру, что и деятельность: цель, мотив, объект, на который оно направлено, определенный набор операций, реализующих действие [23]. В рамках учебного процесса действия совершаются учащимся как выполнение определенной учебной задачи. Совокупностью таких задач представлен сам учебный процесс в целом. Учебная задача есть синтез предметной задачи и учебных целей. Одна и та же предметная задача может служить достижению нескольких конкретных учебных целей и быть компонентом нескольких учебных задач. В то же время та или иная конкретная учебная цель может быть достигнута несколькими учебными задачами. Учебные задания помогают учащимся осознавать цели учебной деятельности, что в свою очередь влияет на формирование её положительных мотивов [11].

Проверка результатов и коррекция действий. Ещё одно звено учебно-познавательной деятельности – контрольно-оценочное. Оно включает в себя контроль над выполнением учебных задач и оценку освоения общего способа их решения. Деятельность учащегося на данном этапе также может быть организована с помощью учебных задач, например: расскажите, какими знаниями вы воспользовались при решении данной задачи, проверьте найденное решение другим способом. Рефлексия и управление учащимися своей учебно-познавательной деятельностью способствует её организованности и самостоятельности. Самоконтроль может осуществляться через знание результата своих действий, если учащийся осознаёт при этом: правильно они выполнены или не правильно. В работах отечественных психологов особое внимание уделяется вопросу оценке самим учащимся результата его действий. Он происходит на основе самоанализа школьниками их деятельности в целом и отдельных действий. Важным результатом этого компонента является корректировка учащимися действий, из которых состоит их деятельность [11].

Все рассмотренное подчеркивает: учебно-познавательная деятельность – неотъемлемая часть жизни человека. Она обладает определёнными характерными ей чертами и структурой, без учёта которых невозможно ни организовать её, ни проверить её результаты.

1. Учебно-исследовательская деятельность, её характерные черты и структура

Учебно-познавательная деятельность может протекать в различных формах. Одной из оптимальных форм является учебно-исследовательская деятельность.

Существуют различные подходы к определению учебно-исследовательской деятельности.

Для психолога А. С. Обухова исследовательская деятельность учащихся – «творческий процесс совместной деятельности двух субъектов (двух личностей) по поиску решения неизвестного, в ходе которого осуществляется трансляция между ними культурных ценностей, результатом которой является формирование мировоззрения» [18]. Он отмечает, что: во-первых, учитель в данном случае выступает именно как носитель опыта организации деятельности, а не как источник знаний. Во - вторых, т.к. обе стороны являются субъектами, т.е. активными деятелями, то позиция того, кого ведет учитель, не позиция ведомого, а позиция самостоятельно «идущего за ведущим». В исследовании происходит не пассивное восприятие сведений, а активное взаимодействие, благодаря взятию на себя конкретно-функциональных обязанностей каждого из сторон [18].

Б. А. Викол определяет исследовательскую деятельность учащихся, как всякую деятельность, которая направлена на получение нового знания и осуществляется не по строгому предписанию (алгоритму), а на основе самоорганизации, понимая под последней способность рационально планировать свою деятельность, осуществлять самоконтроль, регулирование, перестройку своих действий, способность пересмотреть и изменить свои представления об объектах, включенных в деятельность [6].

Н. Г. Алексеев понимает под учебной исследовательской деятельностью - деятельность учащихся, связанную с поиском ответа на творческую, исследовательскую задачу с заранее неизвестным решением и предполагающая наличие основных этапов, характерных для исследования в научной сфере: постановку проблемы, изучение теории, посвященной данной проблематике, подбор методик исследований и практическое овладение ими, сбор собственного материала, его анализ и обобщение, собственные выводы [15].

В. А. Далингер под учебной исследовательской деятельностью понимает учебную деятельность «по приобретению практических и теоретических знаний с преимущественно самостоятельным применением научных методов познания», он считает «учебно-исследовательская деятельность – это процесс решения поставленной проблемы на основе самостоятельного поиска теоретических знаний; предвидение и прогнозирование, как результатов решения, так и способов и процессов деятельности». Предназначение же исследовательской деятельности состоит в том, что, «будучи формой активности индивида, она является условием и средством его психического развития» [8].

А. В. Леонтович понимает исследовательскую деятельность школьников как «образовательную технологию, с помощью которой формируется научное мышление». «Для исследовательской деятельности учащихся специфичны функциональные связи участников образовательного процесса, определяемые как «коллега-коллега» и «духовный наставник-младший товарищ» [16].

«Исследовательская деятельность по освоению окружающего мира – это вид активности ребёнка, направленный на поиск объективной информации об устройстве окружающего мира путём личного практического экспериментирования с объектом исследования» - пишет в своей диссертации М. Н. Емельянова [9].

Н. А. Семёнова, рассматривая учебно-исследовательскую деятельность младших школьников, определяет эту форму учебно-познавательной деятельности как «специально организованную, познавательную творческую деятельность учащихся, по своей структуре соответствующую научной деятельности, характеризующуюся целенаправленностью, активностью, предметностью, мотивированностью и сознательностью. В процессе реализации этой деятельности осуществляется с различной степенью самостоятельности активный поиск и открытие учащимися субъективного знания с использованием доступных для детей методов исследования» [21].

Обратим внимание на то, что каждый из педагогов рассматривает учебно-исследовательскую деятельность, как форму учебной деятельности, не имеющей тренировочного характера, то есть как форму учебно-познавательной деятельности.

Сравнивая данные определения с определением познавательной деятельности учащихся, выделим специфические черты учебно-исследовательской деятельности:

• творческий процесс

• учитель в данном случае выступает именно как носитель опыта организации деятельности, а не как источник знаний,

• происходит не пассивное восприятие сведений, а активное взаимодействие,

• осуществляется не по строгому предписанию (алгоритму), а на основе самоорганизации,

• наличие основных этапов, характерных для исследования в научной сфере,

• функциональные связи участников образовательного процесса,

• использование доступных для детей методов исследования

Таким образом, исследовательской деятельностью будем называть учебно-познавательную деятельность школьников характеризующуюся выделенными специфическими чертами.

Учебно-исследовательская деятельность, как и любая, имеет основные составляющие: субъект, объект, активность направленная субъектом на объект.

Субъектами учебно-исследовательской деятельности являются: группа учеников, весь класс, пары ученик-ученик, ученик-родитель, ученик-учитель [21].

Объекты для учебного исследования выбираются с учётом имеющихся возможностей: наличие системы понятий о выделенном объекте (связи между объектами), которая позволит построить гипотезу, сконструировать ситуацию по проверке гипотезы [19]. По мнению Н. А. Семёновой объектами учебно-исследовательской деятельности могут быть объекты живой и не живой природы, искусственные, социальные, фантастические [21]. Мы добавим к этому ещё и абстрактные математические объекты.

Под процессом воздействия субъекта на объект будем понимать, как и в учебно-познавательной деятельности учебно-познавательный процесс.

В общественном сознании исследовательской деятельностью обычно обозначают установление, обнаружение, понимание действительности, путем собственных наблюдений, сопоставлений, анализа, проведения экспериментальных изысканий, в процессе которых человек получает новые знания [15]. Эти новые знания есть энергетический источник исследовательской деятельности, то есть её потребность: «Источник исследования как вида деятельности – в свойственном человеческой природе стремлении к познанию» [13]. В работе Э. Г. Скабицкого [21] также сказано, что потребность исследовательской деятельности в необходимой новой информации, её обновлении и обогащении. Таким образом, исследовательская деятельность несёт в результате информацию о качествах и свойствах объекта, о связях, отношениях и законах реального мира, то есть она является познавательной деятельностью. Поэтому все характерные черты учебно-познавательной деятельности, можно перенести и на учебно-исследовательскую деятельность, которую мы рассматриваем в рамках системы образования.

Остановимся на специфических чертах структуры учебно-исследовательской деятельности.

Мотив. Мотивационная основа исследовательской деятельности учащихся включает социальные и познавательные мотивы. К социальным мотивам относятся: стремление быть ответственным учеником, выполнять свои обязанности; желание самоутвердиться; получить награду на конкурсе, внесение разнообразия в свою деятельность; кроме того, мотивы сотрудничества – стремление к взаимодействию в процессе исследования с определённой группой учеников или учеником, сотрудничеству с педагогом или родителями. К познавательным мотивам можно отнести интерес к предмету, познавательный интерес, внутреннее противоречие, вызывающее потребность, стремление учащегося к исследованию неопределённости, содержащей знания, ему не известные, овладение исследовательскими умениями, использование полученных знаний и умений для самообразования, стремление к получению в результате исследования конкретного практического результата (продукта), удовлетворение процессом работы [21], [19], [8].

Цель. Цели учебно-исследовательской деятельности учащихся могут быть связаны с установлением эмпирических свойств изучаемых объектов; изучением истории их возникновения и развития; конкретных данных об изучаемом объекте на основе широкого круга информации; выявление возможностей исследуемого объекта (реальных и выдуманных) и др. [21]. Цель учебно-исследовательской деятельности, разбивается на множество частных целей определяющи задачи исследования.

План. Действия. Для успешной исследовательской деятельности учащемуся необходимо иметь план предполагаемых действий по решению выдвинутых задач. План проведения исследования разрабатывается в условиях неопределенности, когда знания о предмете исследования неполные или недостоверные. При этом исследователь должен дополнить пробелы в знаниях догадками, гипотезами, т. е. на этом этапе происходит оперирование с гипотетическими знаниями (устанавливаются связи и отношения между ними). План не является строгим алгоритмом действий, а только способом её организации.

План исследовательской деятельности в отличие от учебно-познавательной должен быть известен ученику, ученик составляет план своей исследовательской деятельности самостоятельно или под руководством учителя. Хорошо продуманный структурированный план позволит учащемуся осознанно осуществлять определенные действия, соответствующие основным этапам научного поиска [19]. Он позволяет ученику увидеть работу в целом и не производить лишних действий.

Проверка результатов и коррекция действий. Любая исследовательская работа завершается выводами, которые есть сопоставление результатов деятельности с её целями и задачами. Н. А. Семёнова выделяет такие результаты: формирование познавательных мотивов, субъектно-новое для ученика знание, новый способ деятельности, исследовательские умения [21]. К результатам можно также отнести полученный учеником продукт деятельности. Результаты крупных исследовательских работ школьников часто оформляются в виде рефератов, стенгазет, презентаций и защищаются на различных конкурсах.

Таким образом, учебно-исследовательская деятельность, как и любая другая имеет основные составляющие, характеристические черты, определённую структуру: мотив, цель план, действия, проверка результата, коррекция действий которые имеют специфическое содержание, отличающее эту форму деятельности.

1. Роль исследовательской деятельности школьников

В настоящее время развитие общества характеризуется всевозрастающей динамичностью, проникновением на новые уровни познания природы, изменением социального устройства и возникновением качественно новых видов деятельности в ранее неизвестных областях. Особое значение здесь приобретает способность личности исследовать новизну и сложность меняющегося мира, а также создавать, изобретать новые стратегии поведения и деятельности [25]. В то же время целевая направленность современного образования определяется не передачей готовых знаний, а именно развитием личности, способной эти знания применять. Достижение же указанной цели в процессе образования возможно лишь «в условиях смещения акцента на приобретение обучающимися культуры, которая единственным образом может стать основой нравственности и мировоззренчески ориентированных знаний и убеждений» [22].

По мнению И. Я. Лернера, культура в широком смысле включает в себя:

1. Знания о мире;

2. Опыт практической деятельности;

3. Опыт творческой деятельности;

4. Опыт эмоционально-оценочных отношений [22].

Мировоззрение же есть система взглядов, убеждений и идеалов, детерминирующих образ сознания и поведения личности [10]. Базовое качество личности, лежащее в основе отношения личности к процессу учения и приобретаемым предметным знаниям [22].

Современная образовательная парадигма определяет роль ученика ведущей в тандеме ученик-учитель. Роль учителя сводится, прежде всего, к организации самостоятельной познавательной деятельности учащегося с информацией (в связи с этим в теории обучения появился новый термин для описания статуса учителя – тьютер, обозначающий сопровождение). Обучающийся уже не является объектом обучения, а переходит в категорию «самообразующийся субъект». Это можно представить в виде схемы [22]:

Исследовательская деятельность учащегося, является направленным процессом получения новых знаний (из определения) с высокой долей самостоятельности учащихся, позволяет применить знания на практике, является частью творческой деятельности, предполагает проведение рефлексии, оценки результатов. Таким образом, исследовательская деятельность учащихся является средством приобретения культуры, которая может стать базовым качеством личности определяющей ценностно-ориентационный характер приобретаемым предметным знаниям.

А. В. Погорелов отмечал, что «очень не многие из окончивших школу будут математиками. Однако, вряд ли найдётся хотя бы один, которому не придётся рассуждать, анализировать, доказывать» [5] Сегодня развивающая функция обучения действительно требует от учителя не простого изложения знаний в определенной системе, а предполагает также учить школьников мыслить, искать и находить ответы на поставленные вопросы, добывать новые знания, опираясь на уже известные [8].

Учебная дисциплина должна рассматриваться не как предмет с набором готовых знаний, а как специфическая интеллектуальная деятельность человека. Обучение же должно в разумной мере проходить в форме повторного открытия, а не простой передачи суммы знаний. «Познавательные процессы эффективно развиваются лишь при такой организации обучения, при которой школьники включаются в активную поисковую деятельность. Поиск нового составляет основу для развития воли, внимания, памяти, воображения и мышления» [8].

Опыт многих педагогов (Н. Г. Алексеев, А. В. Леонтович, А. С. Обухов, В. А. Далингер, В.В. Рубцова, В.Д. Симоненко, Н.В. Матяш и другие) показывает, что эффективным средством обучения и развития является организация учебных исследований, цель которых состоит в том, чтобы помочь учащимся самостоятельно открыть новые знания и способы деятельности, углубить и систематизировать изученное.

1. Организация исследовательской деятельности учащихся

Целью организации учебно-исследовательской деятельности учащихся является систематическое и целенаправленное формирование, развитие и совершенствование у школьников исследовательских умений [18], например, умения анализировать, синтезировать, обобщать, выделять главное.

Успех исследовательской деятельности учащихся, прежде всего, зависит от умелой организации учителем этого вида деятельности.

Основываясь на системе действий учителя выдвинутой В.А. Далингером, и учитывая возможность использования исследовательского метода во внеурочных и внеклассных мероприятиях отметим следующую систему необходимых для организации исследовательской деятельности учащихся умений [8]:

• Умение выбрать нужный уровень проведения учебного исследования в зависимости от уровня развития мышления учащегося;

• Умение сочетать индивидуальные и коллективные формы проведения исследования;

• Умение формировать проблемные ситуации в зависимости от уровня учебного исследования, целей проводимых занятий.

Для активизации исследовательской деятельности школьникам необходимо также создать соответствующие условия. «Специально организованные условия дают ребёнку возможность действовать самостоятельно, получать результат, но в безопасных условиях, т. е. осуществлять пробу в культурных формах» [29].

В. А. Далингер выделяет следующие необходимые условия [8]:

• доброжелательная атмосфера в коллективе;

• сочетание индивидуальных и коллективных форм обучения;

• структурирование учебного материала по принципу нарастания познавательной трудности учебной работы;

• вооружение учащихся рациональными приемами познавательной деятельности;

• формирование внутренних стимулов к учению, самообразованию и др.

Привлечение школьников к учебным исследованиям может быть осуществлено с помощью постановки исследовательской задачи.

Исследовательская задача ученого состоит в обнаружении противоречий в той картине действительности, которая является объектом его деятельности. Исследовательская задача учебного исследования отличается строго сформулированными условиями решения проблемы: знание материала, изученного учащимися, в рамках данного предмета [30].

В. А. Далингер под исследовательской задачей понимает «объект мыслительной деятельности, в котором в диалектическом единстве представлены составные элементы: предмет, условие и требование получения некоторого познавательного результата при раскрытии отношений между известными и неизвестными элементами задачи» [8].

Здесь имеется в виду не поставленные школьником задачи исследования, система которых позволяет ему составить план действий, а учебная задача, задание призванное подвести школьника к постановке проблемы и мотивирующее его к исследовательской деятельности.

Для решения этого задания учащимся рекомендуется следовать определённым этапам учебного исследования [8]:

1) постановка проблемы;

2) выдвижение гипотезы;

3) проверка гипотезы;

4) вывод.

Остановимся на каждом из этих этапов подробнее.

Так как «способность видеть проблему является одним из очень важных и трудноформируемых творческих умений» [13] необходимо пробудить у ученика потребность думать над проблемой, а значит создать у него состояние интеллектуального затруднения, возникшее в случае, когда ученик не может достичь цели известными ему способами, и вынужден искать новые пути.

Существует несколько способов постановки проблемы [13]:

1) Постановка проблемных вопросов.

2) Проблемные познавательные задания.

3) Создание ситуации удивления.

При постановке проблемного вопроса важно чтобы он был ясно, чётко, не двусмысленно сформулирован. Поиск ответа должен вызывать определённые умственные усилия. Вопрос необходимо формулировать так чтобы ученику хотелось размышлять над ним, при этом могут быть использованы средства вербальной и невербальной выразительности [13].

«Выявление важнейших данных, которые могут быть использованы при решении проблемы, предполагает умение провести их анализ, сопоставить различные факты, сведения» [13]. Таким образом, успех ученика в исследовательской деятельности определяется его подготовкой к этому процессу [13]:

• Владением базовыми знаниями,

• Умением пользоваться базовыми знаниями,

• Владением познавательными умениями.

В то время как по первым двум пунктам школьники обыкновенно бывают достаточно хорошо подготовлены учителями предметниками на уроках, кружках, элективных курсах, познавательные умения у них развиты не достаточно хорошо. Одним из важных познавательных умений является умение сбора и структурирования информации.

Сбор фактического материала может осуществляться при изучении соответствующей учебной или специальной литературы либо посредством проведения испытаний, всевозможных проб, попыток решения частных проблем, варьирования числовыми данными, рассмотрения предельных положений, изменения взаимного расположения фигур или частей фигуры, каких-либо параметров, фигурирующих в исходной задаче. Часто возникает необходимость задать направление испытаниям посредством указаний, чертежей, пояснений и т.п. Число испытаний не должно быть строго регламентировано, оно должно быть достаточным для получения необходимого фактического материала [28].

Систематизацию и анализ полученного материала полезно осуществлять с помощью таблиц, диаграмм, схем, графиков и т. п., они позволяют визуально определить необходимые свойства, связи, соотношения, закономерности. Способ систематизации фактического материала может быть предложен учителем, в дальнейшем он должен определяться самим учеником [28].

Накопленный и переработанный материал (базовые знания) позволяет составлять или уточнять составленный план и выдвигать гипотезы.

Выдвижение гипотез может происходить как в процессе проведения испытаний или при систематизации фактического материала, так и в ходе выявления особенностей уже систематизированного фактического материала. Полезно прививать учащимся стремление записывать гипотезы на математическом языке, что придаст высказываниям точность и лаконичность. Нецелесообразно изначально ограничивать число возможных гипотез [28].

Проверка гипотез позволяет укрепить веру или усомниться в истинности предположений, а может внести изменения в их формулировки. Чаще всего проверку гипотез целесообразно осуществлять посредством проведения испытаний. При этом результат новой пробы каждый раз сопоставляется с ранее полученными результатами. Если результаты совпадают, то гипотеза подтверждается, и вероятность ее истинности возрастает. Расхождение же результатов служит основанием для отклонения гипотезы или уточнения условий ее справедливости [28].

Получившие подтверждение или уточнение гипотезы требуют доказательства; ложность может быть определена с помощью контрпримера. На первых порах самостоятельный поиск необходимых доказательств для многих учеников представляет большую трудность. Поэтому учителю важно предусмотреть всевозможные подсказки: это может быть схематическое изображение проблемной ситуации, чертеж с особыми пометками, подсказывающими идею доказательства, и т.п. Идея доказательства может зародиться в процессе выполнения испытаний, может возникнуть и при анализе систематизированного фактического материала, и на ней следует акцентировать внимание учащихся. Важно отметить также, что в ряде случаев бывает проще установить равносильность двух или более гипотез и доказать одну из них, нежели искать доказательство для каждой гипотезы в отдельности [28]. Доказательство гипотез позволяет сделать выводы исследования, оценка и отметка учителя – организовать рефлексию.

Таким образом, исследовательская деятельность учащегося требует от учителя определённых умений, создания определённых условий её организации, пошагового выполнения этапов исследования, наличие таких элементов, как практическая методика исследования выбранного явления, собранный фактический или теоретический материл, анализ данных полученных в ходе исследования и вытекающие из него выводы.

1. Исследовательская работа по математике как результат

проектно-исследовательской деятельности

Добавьте в список источников

1. Развитие исследовательских умений на уроках математики

Сейчас много говорят о проектах, об исследовательских задачах для школьников. Свое понимание этих слов я сформулировал в статье. Здесь я пишу о том, как подготовить учеников к решению исследовательских задач, то есть какие формы работы и элементы урока помогают развивать исследовательские навыки. На мой взгляд, это может быть полезно и тем учителям, которые не собираются вести никаких проектов.

Хороший образ: математика — это лес. Учитель прокладывает в нем просеки. Слабым ученикам хорошо бы научиться ходить по просекам. Обычных учащихся можно научить не бояться заходить в любой лес, видеть простые ориентиры, не теряться (хотя бы недалеко от дороги). Для сильных учеников возможен поход по бездорожью, то есть самостоятельное решение исследовательской задачи. Умение не заблудиться в лесу и есть то, чему мы хотим научить.

Хочется обратить внимание на основную психологическую трудность для учителя: работая над исследовательской задачей, надо разговаривать с учеником как с младшим коллегой. Это совсем другая психологическая позиция, чем обычно на уроке. Нужно уметь четко разделять эти две ситуации.

Какие умения хотим развить

Приведем конкретные примеры исследовательских умений.

Не боимся нестандартных задач. Я знал школьницу, которая умела решать полные квадратные уравнения и умела переносить слагаемые из одной части в другую. Но уравнение 2x² + 11x = –5 она решить не могла. То есть комбинировать простые идеи ученик не был научен.

Другой пример: уравнение x⁶ + 100x⁴ + x² + 1 = 0. У него нет корней, так как левая часть всегда положительна. Чтобы понять это, не надо знать ничего вне школьной программы, надо только понимать, что значит «решить уравнение», и не пугаться его вида («мы этого не проходили»). Установка должна быть четкой: «Не знаем алгоритма — не беда, подумаем».

Конструируем. Школьников постоянно просят решить пример и очень редко — придумать свой пример. Между тем такие задания полезны и в чисто учебном отношении: они проверяют понимание, тренируют «конструкторские» способности.

Пример. Придумайте уравнение с целыми коэффициентами, имеющее корень:

Пример. Придумайте:

а) неравенство второй степени, решением которого является одно число;

б) неравенство четвертой степени, решением которого являются два числа.

Каждую вновь появляющуюся конструкцию через некоторое время тренируемся строить сами. (См. дальнейшие примеры в работе Д. Шноля «Задачи с параметром» [32].)

Задаем вопросы. Школа этому не учит. Вопросы обычно задает учитель, причем не потому, что не знает ответа, а потому, что хочет выяснить, знает ли его ученик. Между тем умение задавать вопрос «по делу» пригодится в жизни всем.

Пример. Пройдена тема «Квадратные уравнения». Учитель пишет на доске уравнение x² + bx + 4 = 0 и говорит: «Придумайте вопрос к этому уравнению». Ученики начинают спрашивать: «При каких b уравнение имеет два корня?», «При каких b корни целые?», «При каких b есть корень, равный –1?» Отвечать на вопросы могут другие ученики или учитель.

Обычно задача жестко задана: составитель разложил конфигурацию бильярдных шаров и ученику надо только грамотно ударить. А здесь ученик начинает сам видеть конфигурации: нет ли лишних данных, что еще можно найти и т.д.

Экспериментируем. Математика — наука не только теоретическая, но и экспериментальная. Хочется, чтобы ученик, встречая сложную задачу, к которой не понятно, как подступиться, не пасовал, а начинал изучать частные случаи, пока за ними не выстроится закономерность.

Я убежден, что правильный путь, нахождения формул для сумм типа 1 + 3 + ... + (2n – 1), 1³ + 2³ + ... + n³, — это подсчитать первые несколько сумм (для маленьких n), найти закономерность и доказать ее.

В сложных задачах часто дано большое значение параметра, а надо решить сначала для маленького и угадать закономерность. Например, так легче всего найти сумму

–(–1 – (–1 – (–1 – (–1 – ...)))),

где 2007 или 2008 пар скобок.

Угадать и доказать — в этом нет ничего зазорного. Настоящие математики так и работают [2].

Выдвигаем гипотезы. В геометрии большой простор для экспериментирования дает программа «Живая геометрия». С ее помощью можно строить довольно сложные геометрические конструкции, изменять их и наблюдать различные свойства.

Пример. Когда пройдена тема «Четырехугольники», можно дать новую фигуру — дельтоид, то есть четырехугольник ABCD, у которого AB = BC, CD = DA, и попросить учащихся найти его свойства и признаки по аналогии с параллелограммом и другими изученными фигурами. Затем можно исследовать равноугольные шестиугольники и равносторонние шестиугольники (тут пригодится «Живая геометрия»). Оказывается, у равносторонних шестиугольников никаких интересных свойств нет! Школьникам трудно с этим смириться, но это тоже результат — и это важно понимать.

Задачи

Какие этапы нужно постепенно пройти на уроке от школьной задачи, в которой есть определенные данные и конкретный вопрос, к исследовательской задаче?

1-й этап. Задача с определенными данными и несколькими вопросами по модели «найти» или «доказать».

Пример. Саша купил два карандаша, четыре тетради и четыре ручки и заплатил 32 р., а Дима купил четыре карандаша, две тетради и две ручки и заплатил 22 р.

а) Сколько заплатила Маша, если она купила карандаш, тетрадь и ручку?

б) Сколько стоит карандаш?

в) Сколько заплатил Витя, если он купил три тетради и три ручки?

2-й этап. «Заготовка задачи». Данные есть; требуется поставить разумный вопрос, чтобы на него можно было найти ответ.

Пример. В 12.00 из деревни Шахматово вышел шахматист со скоростью 4 км/ч. В тот же момент по той же дороге навстречу ему из деревни Шашкино вышел шашист со скоростью 6 км/ч. Они встретились, поговорили 5 мин и пошли дальше. Каждый дошел до другой деревни, побыл там 15 мин и пошел обратно. На обратном пути они снова встретились и, не останавливаясь, пошли дальше, каждый в свою деревню. Расстояние между деревнями 12 км. Задайте к этому тексту все вопросы, какие сможете, и найдите на них ответы.

Пример. В ромбе сторона равна a и равна одной из диагоналей. Задайте вопрос и решите задачу. (Найдите углы ромба, другую диагональ, высоту, площадь, радиус вписанной окружности и т.д.)

3-й этап. Анализ данных. Что можно найти, исходя из данных, а что нельзя?

Пример. В трапеции ABCD известны основания BC = a, AD = b и высота BH = h. Диагонали пересекаются в точке K. Какие из следующих величин можно найти, исходя из этих данных?

а) Сторону AB.

б) Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.

в) Диагональ AC. 

г) Площадь треугольника AKD.

Ответ обязательно поясните: если величину можно найти, то найдите ее, если данных недостаточно, то приведите пример двух трапеций с данными основаниями и высотой, но имеющих разные другие величины.

4-й этап. Работа с данными. Что нужно задать, чтобы найти некоторую величину?

Пример. Задайте минимальное количество точек координатной плоскости, лежащих на параболе, чтобы можно было найти квадратную функцию, графиком которой эта парабола является.

Пример. Дано кубическое уравнение x³ + ax² + bx + c = 0. Какие коэффициенты нужно знать, чтобы найти сумму квадратов корней уравнения?

5-й этап. Создание учеником задачи с использованием уже разобранной задачи (задача на ту же идею, обобщение задачи, усиление условия и т.д.).

Пример. Коля доказал, что в прямоугольнике биссектрисы противоположных углов параллельны друг другу; значит, четыре биссектрисы образуют параллелограмм. Верно ли его утверждение? Насколько оно интересно? Можете ли вы его дополнить? Усилить?

Формы работы

Диалоги. При введении нового материала полезно не давать всё готовым «под запись», а обсуждать какие-то кусочки материала с учениками, вместе нащупывать истину.

Пример. Пусть на уроке в 5-м классе выяснено следующее: чтобы найти число, большее единицы, которое при делении на 2, на 3 и на 5 дает в остатке 1, можно взять число (2∙3∙5 + 1). Один ученик спрашивает: «А если вместо 2, 3 и 5 взять другие числа?» Разбираемся, что такой способ всегда дает остаток 1. Другой спрашивает: «А будет ли оно самым маленьким среди таких чисел?» Приводим пример с 2, 4, 6, когда способ дает не самое маленькое. Школьники задумываются: а когда же он дает самое маленькое число? Произошел серьезный исследовательский диалог.

По мере того как учащиеся овладевают типичными исследовательскими вопросами, учитель из транслятора готовых знаний превращается в руководителя семинара.

Пример. Научились решать квадратные уравнения и сводить к ним биквадратные. Какие еще уравнения можно решить с помощью этой идеи?

Пример. При изучении арифметической прогрессии учащимся указали на свойство

Они сами доказали его, сами нашли и доказали признак. При изучении геометрической прогрессии учителю достаточно дать определение — свойство и признак учащиеся самостоятельно откроют и докажут по аналогии.

Открытые задачи. Почти во всех задачах просят «найти» («решить») или «доказать». А мы будем решать открытые задачи, в которых спрашивают: «верно ли, что...», «существует ли...», «когда существует», «уточните условие», «обобщите», «проверьте справедливость обратного утверждения» . Примерный план «открытия» школьных задач приведен в предыдущем разделе статьи.

При открытой постановке учащиеся учатся задавать правильные вопросы, уточнять задачу, выделять ведущий параметр (раньше это была наша прерогатива!).

По некоторым темам удается вообще все задачи «открыть». Так, в школе «Интеллектуал» используются подборки открытых задач по геометрии 7–8-х классов на делимость чисел и простые числа, на метод математической индукции [32].

Домашняя олимпиада. Для учеников 5–7-х классов можно проводить домашнюю олимпиаду [9, 10]. На неделю выдается 5 нестандартных задач; затем проверка, разбор и новые задачи (за год до 30 циклов). В известном смысле — это «олимпиада наоборот»: можно думать долго, можно советоваться с кем хочешь, награждаются все участники. Последний пункт не входит в классическую схему П. Чулкова, а предложен автору М. Ройтбергом: назначается несколько планок (4–5), и ученик, добравшийся до очередной планки (неважно, когда), получает приз. Таким образом, даже не самые сильные ученики, работая в течение года, получают 1– 2 приза. Очень важно ещё, что школьники учатся записывать нестандартные решения. Поскольку задачи разнообразны, имеют привлекательную формулировку, учащиеся их очень любят.

Фронтальное обсуждение «минипроекта». В 5–6-х классах исследовательскую работу можно вести с сильными учащимися прямо на уроке. Этим облегчается переход к новой форме работы, требующей самоорганизации. Мы выделяем для этого один урок в неделю. В статье [4] подробно описана технология решения исследовательских задач в группах в аудиторное время. Начинать стоит с «переходных» — между длинной задачей и маленьким проектом — случаев.

Пример. Решили на уроке задачу: «На сколько частей можно разрезать блин тремя разрезами?» Далее задается вопрос: «А если разрезов четыре, пять, n?» О наименьшем количестве частей ученики догадываются довольно быстро, о наибольшем кто-то догадывается, кто-то нет. (Стоит упомянуть, что о промежуточных случаях современная наука знает не всё: например, могут ли 8 прямых делить плоскость на 23 части?

Другие примеры фронтальных проектов для 5–7-х классов:

1. Полоска. Двое играют на полоске из n x1 клеток бумаги. Каждый закрашивает одну или две идущие подряд клетки. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Найти выигрышную стратегию. Обобщить для полосок n ´ m, для кубиков в пространстве. (См. работу М.Ройтберга [3].)

2. Полезные числа. Петя хочет узнать, является ли число 2503 простым или составным. Для этого он делит его последовательно на натуральные числа 2, 3, 4, 5 и т.д. Если на какое-то число оно разделится нацело, значит, оно составное.

а) Согласны ли вы, что необходимо делить на все подряд натуральные числа?

б) На каком числе можно остановиться и признать число 2503 простым? Обобщите для числа N.

3. Нелегальный доход. Можно ли выписать n чисел, чтобы сумма любых двух соседних была отрицательна, а сумма всех чисел — положительна? Тот же вопрос для любых трех соседних; любых k соседних чисел.

4. Прямоугольники и диагонали. На листе бумаги в клеточку обведите прямоугольник размером 2 x 5 клеток. Сколько клеток пересекает диагональ этого прямоугольника? Через сколько узлов (то есть вершин клеток) проходит диагональ? Проделайте то же с прямоугольниками 3 x 6 и 6 x 8 клеток. Какие закономерности видны? Как вы думаете, каким будет ответ для прямоугольника 199 x 991 клеток? Попробуйте дать ответ для произвольного прямоугольника размером m x n клеток. Примечание. Диагональ пересекает клетку, если она заходит «внутрь» этой клетки, а не просто проходит через вершину.

Задачи попроще решаются на уроке и тут же (или дома) записываются. Задачи посложнее обсуждаются в классе один раз в неделю, а через 2–4 недели подводятся итоги. Учащиеся, которые думают медленно и от этого на уроках обычно страдают, тут оказываются в выигрышной ситуации. Важно требовать запись решения: ученик еще раз всё продумывает, выстраивает логически, обосновывает. Обычно мы не получаем полного решения от всех, каждый доводит решение до своего уровня. Но здесь это не страшно (в отличие от работы с программным материалом).

После того как несколько циклов пройдено, можно дать ученикам несколько задач на выбор, и пусть каждый решит свою. По нашему опыту, одному учителю удается работать с 6–8 заинтересованными школьниками разом на этапе решения задачи. Когда же дело доходит до оформления результатов и подготовки доклада, стоит каждому ученику или группе назначить своего консультанта, который посмотрит свежим взглядом на его решение, «выловит» ошибки, «дожмет» с подготовкой доклада к нужному сроку (когда запланирована конференция). Тут ресурса одного человека на всех не хватает, тем более что обычно учащиеся больше любят решать, чем оформлять.

Одним из результатов проектно-исследовательской деятельности школьников является исследовательская работа. В качестве примера приведу исследовательскую работу ученика, выполнившего во время моей производственно-педагогической практики, на тему: «Фигурные числа в жизни человека».

Тема: «Фигурные числа в жизни человека»

Актуальность работы заключается в возможности получения и практического применения достоверной и интересной информации о фигурных, совершенных и дружественных числах.

Гипотеза: Без фигурных чисел невозможно было бы становление математики, как науки.

Объект исследования – фигурные, совершенные, дружественные числа.

Предмет исследования – свойства натуральных чисел, полученные благодаря фигурным числам.

Цель работы: на основе исследования познакомиться с удивительными числами и установить роль этих чисел в изучении свойств натуральных чисел.

Задачи:

1. Собрать по различным научным и учебным источникам материал по данной проблеме и проанализировать его;

2. Рассмотреть историю возникновения фигурных чисел, их применение в жизни человека.

Методы исследования: изучение и использование научно-публицистических и учебных изданий, метод сопоставления, аналитический метод.

Информационной базой для написания исследовательской работы послужили труды отечественных и зарубежных ученых и практиков, статьи пери-

одических изданий.

Практическая значимость заключается в возможности применения итогов исследования на уроках математики и во внеурочной деятельности.

Исследование содержания математической составляющей.

Жизнь наших предков была намного проще, но даже они были вынуждены прибегать к использованию цифр. Древний человек хотел учить вещи, которыми он владел. Сколько у него инструментов? Сколько оружия? Сколько животных? Как только появилась необходимость передавать идеи, связанные с количеством, он начал пользоваться математикой. Вообще счет стал началом математики. Это искусство счета развивалось на протяжении длительного времени. Сначала для этого делались зарубки на стене или отметки на папирусе. Древний человек мог ответить на вопрос: Сколько?; глядя на такие зарубки, хотя не имел слов, чтобы назвать это.

О числах первым стал рассуждать грек Пифагор, который родился на острове Самосе. Об этом человеке было создано много легенд. Некоторые из его учеников уверяли, что он – сын бога Аполлона, что его бедро сделано из чистого золота, а когда он подошел к одной реке, река вышла из берегов, чтобы приветствовать Пифагора.

О том, что числа бывают четными и нечетными, знали очень давно. Ведь математика – наука, которая возникла благодаря практическим нуждам человека. У торговца на рынке, раскладывающего товар на прилавке парами, иногда оставались лишними яблоко, хлеб или топор. Но Пифагор занялся изучением свойств четных и нечетных чисел. При сложении двух четных чисел он получил четное число, когда сложил два нечетных числа, тоже получил четное. При сложении четного и нечетного чисел получил нечетное число. Объяснить это у Пифагора вначале не получилось. Но потом он придумал уникальный способ доказательства общих утверждений о числах: стал обозначать числа точками.

Число 7 Пифагор изображал так: . . . . . . . ; число 6: . . . . . .

Картинки получались двух видов – у первых была средняя точка, числа стали называть нечетными; у вторых – такой точки не было (нечетные). А произведения чисел Пифагор изображал в виде прямоугольников, доказав, что произведение четного и нечетного чисел – четно; нечетных чисел – нечетно; четных чисел – четно, опираясь на существование средней точки произведения.

……. ….. ….

……. ….. ….

……. ….

….

А потом Пифагор усложнил свои фигуры из точек. Стал строить треугольники из чисел:

при этом получались числа 1, 3, 6, 10, 15,… Эти числа получили название треугольных.

Свойства:

• Сумма двух последовательных треугольных чисел даёт полный квадрат: 1+3=4;3+6=9;10+15=25

• Чётность элемента последовательности меняется с периодом 4: нечётное, нечётное, чётное, чётное.

За треугольниками последовали квадраты:

Рисунки имели 1, 4, 9, 16 и т.д. точек. Числа соответственно назвали квадратными.

1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120 – шестиугольные числа.

А затем за плоскими фигурами пришел черед многогранников. Из точек Пифагор складывал пирамиды, кубы и другие тела.

Но все эти игры с числами не приносили мыслителю удовлетворения. Его идея, что числа правят миром, требовала подкрепления. Пифагор решил, что справедливость надо изображать числом 4, так как 2 2 = 4 ( произведение двух первых равных множителей). Кроме того, первыми четырьмя числами он обозначил элементы, из которых, по его мнению, состоял мир.

А вот число 10 он объявил совершенным, ведь 10 = 1 + 2 + 3 + 4.

Изучая числа, Пифагор занялся делителями чисел. Так, числа 2, 3, 5, 7 он объявил линейными (простыми), эти числа делятся только на единицу и на самих себя.

Плоские числа – 6,10…, их можно представить в виде произведения только двух множителей.

Телесные числа – 8, 12,…, эти числа представлялись произведением трех множителей.

Пифагору очень хотелось получить совершенное число, для этого он складывал все делители числа, кроме самого числа. Пифагор считал число совершенным, если сумма делителей равнялась числу, если сумма делителей меньше числа, число считал недостаточным; если сумма делителей больше числа – избыточным.

Первым прекрасным совершенным числом, о котором знали математики Древней Греции, было число "6". На шестом месте на званном пиру возлежал самый уважаемый, самый почетный гость. В библейских преданиях утверждается, что мир был создан в шесть дней, ведь более совершенного числа, среди совершенных чисел, чем "6", нет, поскольку оно первое среди них. Пифагор нашел первое совершенное число 6, ведь его делители 1,2,3 и 6 = 1+ 2 + 3.

Из-за трудности нахождения и таинственной непостижимости совершенные числа в старину считались божественными. Так, средневековая церковь полагала, что изучение совершенных чисел ведет к спасению души, что нашедшему новое совершенное число гарантировано вечное блаженство. Существовало такое убеждение: мир потому прекрасен, что сотворен создателем за 6 дней. А вот род человеческий несовершенен, ибо произошел от числа 8. Ведь только 8 людей спаслось от всемирного потопа в Ноевом ковчеге. Знающие могут возразить, что в том же ковчеге спаслись еще семь пар чистых и семь пар нечистых животных, что в сумме составляет следующее совершенное число 28. Мартин Гарднер усматривал в этом числе особый смысл. По его мнению, Луна обновляется за 28 суток, потому что число "28" - совершенное. Человеческие руки тоже можно объявить совершенным орудием по той простой причине, что на обеих руках насчитывается 28 фаланг. В Риме в 1917 году при подземных работах было открыто странное сооружение: вокруг большого центрального зала расположены двадцать восемь келий. Это было здание неопифагорейской академии наук. В ней было двадцать восемь членов. До последнего времени столько же членов, часто просто по обычаю, причины которого давно забыты, полагалось иметь во многих ученых обществах. До Евклида были известны только эти два совершенных числа, и никто не знал, существуют ли другие совершенные числа и сколько таких чисел вообще может быть. К концу 20 века было найдено 27 совершенных чисел и все эти числа являются четными.

Однажды Пифагор на вопрос, кого следует считать другом, якобы ответил так: «Того, кто является моим вторым я, как числа 220 и 284». Видимо, какое – то необычное свойство сблизило эти числа настолько, что сам Пифагор признал их парой дружественных чисел.

Дружественными числами называются два натуральных числа, если сумма собственных делителей одного числа равна второму числу и, наоборот, сумма собственных делителей второго числа равна первому.

Возможно, что именно Пифагор и был первооткрывателем этой пары дружественных чисел - первой, наименьшей из возможных и единственно известной на протяжении более чем 15 последующих веков.

Вторую пару: 17296 и 18416 – открыл марокканский учёный ибн аль-Банна (около 1300 г). Не зная этого через 300 лет (в 1636 г) эту же пару открыл Пьер Ферма.

Третью пару нашел Ране Декарт в 1638 году, а через 100 лет Эйлер излагает 5 различных методов выявления дружественных чисел и преподносит их ровно 59 пар!

Следующим математиком после Эйлера, кто пополнил коллекцию дружественных чисел ещё одной парой, был наш великий соотечественник П.Л. Чебышев (в 1851 г), а за ним - тоже одной парой (в 1866 г) – шестнадцатилетний итальянец Никола Паганини (тезка знаменитого скрипача).

К настоящему времени коллекция дружественных чисел превышает 1000 пар, в ней имеются теперь даже двадцатипятизначные пары чисел.

Исследование  дружественных и совершенных чисел.

І. Проверяется, что каждое из чисел 220 и 284 равно сумме делителей другого числа, не считая его самого.

1.  Находятся делители  чисел 220 и 284.

Делители 220:  1;2;4;5;10;11;20;22;44;55;110.

Делители 284: 1;2;4;71;142.

Вычисляется сумма делителей числа 220: 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110= 284.

Вычисляется сумма делителей числа 284: 1+2+4+71+142= 220

Делается вывод: сумма делителей числа 220 равна числу 284, а сумма делителей числа 284 равна числу 220, значит, числа 220 и 284 являются дружественными.

ІІ. Проверяется, что каждое из чисел 6, 28, 496, равно сумме всех его делителей, не считая самого числа.

1. Находятся делители числа 6: 1;2;3.

Вычисляется сумма его делителей 1+2+3 = 6.

1. Находятся делители числа 28: 1;2;4;7;14.

Вычисляется сумма его делителей 1+2+4+7+14 = 28.

1. Находятся делители числа 496: 1;2;4;8;16;31;62;124;248.

Вычисляется сумма его делителей 1+2+4+8+16+31+62+124+248 = 496.

Вывод: сумма  всех делителей этих чисел, не считая самого числа,  равна самому числу, значит, это есть совершенные числа.

Заключение: В результате изучения различных источников ознакомился с удивительными натуральными числами: фигурными, совершенными, дружественными.

Предметом исследования стали совершенные и дружественные числа.

При выполнении работы было доказано, что 220 и 284 являются дружественными числами, а числа 6; 28; 496 – совершенными.

Анализ решений показал, что простые числа – это «кирпичики», из которых строятся все натуральные числа, «перекладывая» их, можно получить удивительные «числовые сооружения».

Заключение

Анализ психолого-педагогической и методической литературы, апробирование заданий исследовательского характера в практической деятельности позволяют сделать выводы и обобщения по теме исследования.

Исследовательская деятельность играет огромную роль в современных школьных программах. Учебная исследовательская деятельность – это специально организованная, познавательная, творческая деятельность обучающихся, по своей структуре соответствующая научной деятельности, характеризующаяся целенаправленностью, активностью, предметностью, мотивированностью и сознательностью, результатом которой является формирование познавательных мотивов, исследовательских умений, новых для учащихся знаний или способов деятельности.

Особенность профессиональной подготовки учителя к организации учебно-исследовательской деятельности состоит в том, что он не только должен уметь организовывать учебно-исследовательскую деятельность учащихся, но и сам в совершенстве владеть методами научного исследования (уметь формулировать проблему, задачу, вопрос; разработать гипотезу, определить схему эксперимента, найти факторы, пути и средства научного анализа и т.д.).

Работа над методическими рекомендациями позволила сделать следующие выводы: одна из главных задач школы и учителя состоит в том, чтобы привить учащимся умения, позволяющие им активно включаться в творческую, исследовательскую деятельность, содействовать формированию и развитию исследовательских навыков и умений.

Таким образом, все задачи работы были решены, цель исследования достигнута.

Список использованных источников

1. Концепция модернизации российского образования на период до 2010 года года [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://archive.kremlin.ru/text/docs/2002/04/57884.shtml

2. Национальная образовательная инициатива "Наша новая школа" [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.kremlin.ru/events/president/news/6683

3. Абитаева, Л. Г. Формирование интеллектуальных умений в процессе обучения математике [Текст] / Л. Г. Абитаева, В. А. Гаранин // Математическое образование: прошлое, настоящее, будущее: Материалы I Международной научно-практической конференции, посвященной памяти профессора Б. М. Бредихина, 1-2 ноября 2006 г. – М.; Самара : СГПУ, 2006. - 470 с.

4. Агеев, В. В. Деятельность как социальный феномен / В. В. Агеев - Алматы, 2004. - 289 с. [Электронный ресурс]. – Режим доступа http://www.ageyev.kz/books/book-2/index.html

5. Актуальные вопросы по математике в средней школе [Текст] : учеб. Пособие / под ред. И. Н. Семеновой. Урал. гос. пед. ун-т. Екатеринбург : [б. и.], 1999. 107 с.

6. Викол, Б. А. Формирование элементов исследовательской деятельности при углубленном изучении математики [Текст] : Автореф. дис. канд. пед. наук. / А. Б. Викол. — М. : [б. и.], 1977 — 16 с.

7. Ганеев, Х. Ж. Пути реализации развивающего обучения математике [Текст] : Учеб. Пособие / Урал. гос. пед. ун-т. Екатеринбург, 1997 – 104 с.

8. Далингер, В. А. учебно-исследовательская деятельность учащихся в процессе изучения математики // Электронный научный журнал "Вестник Омского государственного педагогического университета" - выпуск 2007 [Электронный ресурс]. – Режим доступа http://www.omsk.edu/article/vestnik-omgpu-195.pdf

9. Емельянова, М. Н. Развитие лидерского потенциала детей дошкольного возраста в процессе исследовательской деятельности [Текст] : дис. канд. пед. наук / Урал. гос. пед. ун-т. – Екатеринбург: [б. и.], 2001. –181с.

10. Епишева, О. Б. Технология обучения математике на основе деятельностного подхода [Текст] : кн. для учителя / О. Б. Епишева. – М.: Просвещение, 2003 – 224 с.

11. Епишева, О. Б. Учить школьников учиться математике: Формирование приемов учебной деятельности [Текст] : Кн. Для учителя / О. Б. Епишева, В. И. Крупич. - М. : Просвещение, 1990. - 128 с.

12. Зимняя, И. А. Педагогическая психология [Текст] / И. А. Зимняя: учебник для вузов – М.: Логос, 2002. – 384 с.

13. Исраелян, К. Э. Формирование системы знаний учащихся на основе проблемного обучения [Текст] / К. Э. Исраелян // Преподавание математики в вузах и школах: проблемы содержания, технологии и методики: материалы второй региональной научно-практической конференции. - Глазов: изд-во Глазов. гос. пед. ин-та, 2006. - 128 с.

14. Каган, М. С. Человеческая деятельность [Текст] / М. С. Каган — М. : Политиздат, 1974. — 328с.

15. Концепция развития исследовательской деятельности учащихся [Текст] / Н. Г. Алексеев [и др.] // Исследовательская работа школьников. - 2002. - №1. - С. 24 - 33.

16. Леонтович, А. В. Учебно-исследовательская деятельность школьников как модель педагогической технологии [Текст] / А. В. Леонтович // Народное образование. - 1999. - №10. - С. 152 - 159.

17. Леонтьев, А. Н. избр. психол. произв [Текст] : В 2 т. / А. Н. Леонтьев – М.: 1983 – 1 т.

18. Обухов, А. С. Исследовательская деятельность как способ формирования мировоззрения [Текст] / А. С. Обухов // Народное образование. - №10. – 1999. - С. 158-161.

19. Педагогическая технология освоения учащимися исследовательской деятельности [Текст] : Учебно-методическое пособие / Сост. С. В. Палецкий. – Омск : Омск. гос. ун-т, 2004. - 72 с.

20. Рубинштейн, С. Л. Основы общей психологии [Электронный ресурс] / С. Л. Рубинштейн . – СПб: Издательство «Питер», 2000 - 712 с.: ил. – (Серия «Мастера психологии») [Электронный ресурс]. – Режим доступа http://www.pedlib.ru/Books/1/0180/1_0180-472.shtml

21. Семёнова, Н. А. Формирование исследовательских умений младших школьников [Текст] : автореф. дис. канд. пед. наук / Семёнова Н. А. - Томск: изд-во Томск. гос. пед. ун-та, 2007 – 22 с.

22. Современные аспекты методики обучения математике [Текст] : учеб. пособ. / Под ред. И. Н. Семеновой, А. В. Слепухина. - УрГПУ. Екатеринбург [б. и.], 2009. – 222 с.

23. Талызина, Н. Ф. Педагогическая психология [Текст] / Н. Ф. Талызина: Учеб. пособие для студ. сред. пед. учеб. заведений. - М. : Академия, 1998. - 288 с.

24. Шадриков, В. Д. Психология деятельности и способности человека[Электронный ресурс].: Учеб. пособие. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Логос, 1996.

25. Щербо, М. «Бросок вперед…» [Текст] / М. Щербо // Директор школы, № 7. - 2003. – С. 21-25.

26. Ярошевский, М.Г. История психологии [Электронный ресурс] – М.,1985. 27, с.523 – Режим доступа http://www.pedlib.ru/Books/1/0182/1_0182-271.shtml

27. Баранова, Е. В. Как увлечь школьников исследовательской деятельностью [Текст] / Е. В. Баранова, М. И. Зайкин // Математика в школе. – 2004. – № 2. – С.7–8.

28. Новиков, А. М. Методология образования [Текст] / А. М. Новиков – М. : Эгвес, 2002. – 320 с.

29. Янюшкина, Г. М. Исследовательская деятельность как необходимое условие развития и социализации школьников [Текст] / Г. М. Янюшкина, Л. А. Переведенцева // Оптимизация образовательного процесса в школе и вузе с использованием современных образовательных технологий [Текст] : Мат. Всерос. Науч.-практ. Конф. 4-5 дек. 2008 г. - Шадринск: Изд-во Шадр. Гос. Пед. Ин-та, 2008. - c/ 116 - 120.

30. Ларькина, Е. В. Методика формирования элементов исследовательской деятельности учащихся основной школы на уроках геометрии: дис. канд. пед. наук. 13.00.02 / Ларькина, Елена Викторовна. - Москва, 1996 – 256 с.

31. Сгибнев А. Как на уроке математики развивать исследовательские умения / Газета «Математика» 2009 № 6.

32. Школа "Интеллектуал" [Электронный ресурс] – Режим доступа http://int-sch.ru/math