Квадрат Пирсона

Метод Пирсона

• Объект исследования:  задачи на сплавы и смеси.
• Предмет исследования: « квадрат Пирсона» при решении задач на сплавы и смеси.
• Цель исследования:  показать и раскрыть суть способа решения задач на сплавы и смеси, используя «квадрат Пирсона».
• Гипотеза:  для решения задач на смеси и сплавы существует простейший метод решения - «квадрат Пирсона».

Карл Пирсон(1857-1936)

Необходимые условия

• 1. Сплавы и смеси, которые получились в результате, однородны
• 2.Решая такие задачи, нужно знать, что сумма масс компонентов равна массе нескольких веществ.

Задача №1

• Смешали 2 л 20-процентного водного раствора некоторого вещества с 8 л 30-процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Первый способ

• Решение:
• 20 %+30 %=х %
• 2+8=10 (л)
• 2 ∙ 0,2 = 0,4 (л) –в первом растворе.
• 8 ∙ 0,3 = 2,4 (л) –во втором растворе.
• 0,4 + 2,4 = 2,8 (л) – масса вещества в получившемся растворе.
• 2,8 : 10 = 0,28 = 28 % - концентрация получившегося раствора.
• Ответ:  28 %.

Второй способ

• «Квадрат Пирсона»
• Составим пропорцию: 
• 2 (х - 20) = 8 (30 - х),
• 2х – 40 = 240 – 8х,
• 10х = 280,
• х = 28.
• Ответ:  28 %.

Задача №2

В ювелирную мастерскую поступило два сплава золота различной пробы: 58% и 95%. Сколько граммов сплава с 95%-ным содержанием золота нужно взять, чтобы получить 37г сплава с 70%-ным содержанием золота?

Первый способ

• Первый способ
• Решение:
• Пусть х г надо взять сплава 95%-м содержанием золота. Тогда с 58%-м содержанием золота надо взять сплав массой  (37-х) г. Золота в 95% сплаве будет 0,95х г, а в 58% сплаве будет золота 0,58(37-х) г. Так как известно по условию, что получат 37 г 70% сплава, то масса золота в нем равна 37*0,7=25,9 г. Получим уравнение:
• 0,58(37-х)+0,95х=25,9
• 21,46-0,58х+0,95х=25,9
• 0,37х=4,44
• х=12
• Значит, нужно взять 12 г  сплава 95%-м содержанием золота.

Второй способ

• «Квадрат Пирсона»
• Пусть k- коэффициент пропорциональности.
• 12k+25K=37;
• k=1.
• Ответ:  12 г золота с 70% концентрации надо взять.

Задача №3

• Имеется два сплава. Первый содержит 20% никеля, второй  — 40% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 300 кг, содержащий 35% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?

Первый способ

• Решение:
• m 1 - масса первого сплава
• m 2 - масса второго сплава
• Тогда массовое содержание никеля в первом и втором сплавах  0,2m 1 и 0,4m 2  , соответственно. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 300 кг, содержащий 35% никеля. Получаем систему уравнений:
• Ответ: масса первого на 150 кг меньше массы второго

Второй способ

• «Квадрат Пирсона»
• m 2 =3 m 1
• По условию m 1 + m 2 = 300, следовательно m 1 + 3 m 2 = 300
• 4 m 1 = 300
• m 1 = 75, то m 2 = 225
• Ответ: на 150 кг меньше

Задача №4

• Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов винограда потребуется для получения 10 килограммов изюма, если виноград содержит 95% воды, а изюм содержит 4% воды?

• Решение.
• По аналогии с предыдущей задачей содержание «мякоти» в винограде равно 100 – 95 = 5 (%), а в изюме – (100 – 4) = 96 %.
• Составим уравнение по формуле (1):
• 5 х = 96 ∙ 10,
• х = 192 (кг).
• Ответ: потребуется 192 кг винограда.