Квадратичная функция, ее график и свойства
Наш девиз: «Трудное сделать легким, легкое привычным, привычное приятным!»
y
9
4
1
x
1 2 3 4 5 6
-6 -5-4-3-2-1
0
-4
Х -3 -2 -1 0 1 2 3
y - 9 - 4 - 1 0 - 1 - 4 - 9
-9
Построение графиков функций у=х 2 и у=х 2 + m.
0 У m m 1 Х 0 1 " width="640"
у=х 2 + m, m0
У
m
m
1
Х
0
1
у=х 2 + m, m
У
1
Х
0
1
m
m
Постройте в одной координатной плоскости
графики функций:
Построение графиков функций у=х 2 и у=(х+ l) 2 .
0 У 1 Х l l 0 1 " width="640"
у= ( х + l) 2 , l 0
У
1
Х
l
l
0
1
у= ( х + l) 2 , l
У
1
Х
l
l
0
1
Постройте в одной координатной плоскости
графики функций:
Найти координаты вершины параболы:
(4;5)
(1;0)
(0;12)
(0;4)
(-7;-9)
(0;0)
- График квадратичной
- функции, его свойства
Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида y=ax² + bx+c , где х - независимая переменная, a, b и с -некоторые числа (причём а≠0).
- Например: у = 5х ² +6х+3,
- у = -7х ² +8х-2,
- у = 0,8х ² +5,
- у = ¾ х ² -8х,
- у = -12х ²
квадратичные функции
0 ) или вниз (если а у= 2 х ² +4х-1 – графиком является парабола, ветви которой направлены вверх (т.к. а=2, а 0 ). у= -7 х ² -х+3 – графиком является парабола, ветви которой направлены вниз (т.к. а=-7, а 0 ). у 0 х у 0 х " width="640"
Графиком квадратичной функции является парабола , ветви которой направлены вверх (если а 0 ) или вниз (если а
- у= 2 х ² +4х-1 – графиком является парабола, ветви которой направлены вверх (т.к. а=2, а 0 ).
- у= -7 х ² -х+3 – графиком является парабола, ветви которой направлены вниз (т.к. а=-7, а 0 ).
у
0
х
у
0
х
Алгоритм решения
- Определить координату вершины параболы по формулам:
- Отметить эту точку на координатной плоскости.
- Через вершину параболы начертить ось симметрии параболы
- Найти нули функции и 0тметить их на числовой прямой
- Найти координаты двух дополнительных точек и симметричных им
- Провести кривую параболы.
Постройте график функции у=2х ² +4х-6, опишите его свойства
0, если х у 0, если х 4. у ↓ , если х 1 у ↑ , если х -1 1 2 3 Х 5. у наим = -8 , если х= -1 -2 у наиб – не существует. 6. Е (y): " width="640"
Проверь себя :
1. D(y) = R
У
2. у=0, если х= 1; -3
3. у 0, если х
у 0, если х
4. у ↓ , если х
1
у ↑ , если х
-1
1
2
3
Х
5. у наим = -8 , если х= -1
-2
у наиб – не существует.
6. Е (y):
Решение квадратного неравенства с помощью графика квадратичной функции
0; 2) ах 2 + bx + c 3) ах 2 + bx + c ≥0; 4) ах 2 + bx + c ≤0. " width="640"
Определение: Неравенство, левая часть которого есть многочлен второй степени, а правая- нуль, называется неравенством второй степени.
- Все квадратные неравенства могут быть приведены к одному из следующих видов:
- 1) ах 2 + bx + c 0; 2) ах 2 + bx + c
- 3) ах 2 + bx + c ≥0; 4) ах 2 + bx + c ≤0.
0; 2) x 2 -3 x -140; 3) (5+ x )( x -4)7; 4) ; 5) 6) 8 x 2 0; 7) ( x -5) 2 -250; " width="640"
Какие из неравенств вы бы назвали неравенствами второй степени:
- 1) 6х 2 -13х0; 2) x 2 -3 x -140;
5)
- 6) 8 x 2 0; 7) ( x -5) 2 -250;
Какие из чисел являются решениями неравенства?
?
?
?
?
?
?
?
?
0,5
-2
-4
5
-1
0
-3
1
Назовите число корней уравнения a x 2 + b x+ c =0 и знак коэффициента а , если график соответствующей квадратичной функции расположен следующим образом:
б
в
а
е
г
д
Назовите промежутки знакопостоянства функции, если её график расположен указанным образом :
Ι вариант.
Ι І вариант.
в
а
б
в
б
а
0 при x Є R f(x) Ι І вариант f(x)0 при x Є (-∞ ;1) U (2,5;+∞); f(x) а а " width="640"
Назовите промежутки знакопостоянства функции, если её график расположен указанным образом:
Ι вариант
f(x)0 при x Є R
f(x)
Ι І вариант
f(x)0 при x Є (-∞ ;1) U (2,5;+∞);
f(x)
а
а
0 при x Є (-∞ ;-3) U (-3;+∞) f(x) Ι І вариант f(x)0 при x Є (-∞ ;0,5) U (0,5;+∞) f(x)б б " width="640"
Назовите промежутки знакопостоянства функции, если её график расположен указанным образом :
Ι вариант
f(x)0 при x Є (-∞ ;-3) U (-3;+∞)
f(x)
Ι І вариант
f(x)0 при x Є (-∞ ;0,5) U (0,5;+∞)
f(x)
б
б
0 при x Є (-∞ ;-4) U (3;+∞); f(x) f(x)0 __________ ; f(x)Ι І вариант в в " width="640"
Назовите промежутки знакопостоянства функции, если её график расположен указанным образом
Ι вариант
f(x)0 при x Є (-∞ ;-4) U (3;+∞);
f(x)
f(x)0 __________ ;
f(x)
Ι І вариант
в
в
0 ( a x 2 + b x+ c 2. Рассмотрите функцию y= a x 2 + b x+ c 3 . Определите направление ветвей 4. Найдите точки пересечения параболы с осью абсцисс (для них y=0 ; х 1 и х 2 найдите, решая уравнение a x 2 + b x+ c =0 ) 5. Схематически постройте график функции y= a x 2 + b x+ c 6. Выделите часть параболы, для которой y0 (y5х 2 +9х-2 2 . Рассмотрим функцию y= 5х 2 +9х-2 3 . Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. 4. 5х 2 +9х-2= 0 х 1 =-2; х 2 = 5. 0 -2 " width="640"
Алгоритм решения неравенств второй степени с одной переменной
Пример решения неравенства
1. Приведите неравенство к виду
a x 2 + b x+ c 0 ( a x 2 + b x+ c
2. Рассмотрите функцию
y= a x 2 + b x+ c
3 . Определите направление ветвей
4. Найдите точки пересечения параболы с осью абсцисс (для них y=0 ; х 1 и х 2 найдите, решая уравнение a x 2 + b x+ c =0 )
5. Схематически постройте график функции y= a x 2 + b x+ c
6. Выделите часть параболы, для которой y0 (y
5х 2 +9х-2
2 . Рассмотрим функцию
y= 5х 2 +9х-2
3 . Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх.
4. 5х 2 +9х-2= 0
х 1 =-2; х 2 =
5.
0
-2
0 ( a x 2 + b x+ c 2. Рассмотрите функцию y= a x 2 + b x+ c 3 . Определите направление ветвей 4. Найдите точки пересечения параболы с осью абсцисс (для них y=0 ; х 1 и х 2 найдите, решая уравнение a x 2 + b x+ c =0 ) 5. Схематически постройте график функции y= a x 2 + b x+ c 6. Выделите часть параболы, для которой y0 (y7. На оси абсцисс выделите те значения х, для которых y0 (y5х 2 +9х-2 2 . Рассмотрим функцию y= 5х 2 +9х-2 3 . Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. 4. 5х 2 +9х-2= 0 х 1 =-2; х 2 = 5. 0 -2 " width="640"
Алгоритм решения неравенств второй степени с одной переменной
Пример решения неравенства
1. Приведите неравенство к виду
a x 2 + b x+ c 0 ( a x 2 + b x+ c
2. Рассмотрите функцию
y= a x 2 + b x+ c
3 . Определите направление ветвей
4. Найдите точки пересечения параболы с осью абсцисс (для них y=0 ; х 1 и х 2 найдите, решая уравнение a x 2 + b x+ c =0 )
5. Схематически постройте график функции y= a x 2 + b x+ c
6. Выделите часть параболы, для которой y0 (y
7. На оси абсцисс выделите те значения х, для которых y0 (y
5х 2 +9х-2
2 . Рассмотрим функцию
y= 5х 2 +9х-2
3 . Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх.
4. 5х 2 +9х-2= 0
х 1 =-2; х 2 =
5.
0
-2
0 ( a x 2 + b x+ c 2. Рассмотрите функцию y= a x 2 + b x+ c 3 . Определите направление ветвей 4. Найдите точки пересечения параболы с осью абсцисс (для них y=0 ; х 1 и х 2 найдите, решая уравнение a x 2 + b x+ c =0 ) 5. Схематически постройте график функции y= a x 2 + b x+ c 6. Выделите часть параболы, для которой y0 (y7. На оси абсцисс выделите те значения х, для которых y0 (y8. Запишите ответ в виде промежутков 5х 2 +9х-2 2 . Рассмотрим функцию y= 5х 2 +9х-2 3 . Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. 4. 5х 2 +9х-2= 0 х 1 =-2; х 2 = 5. 8 . хЄ(-2; ) 0 -2 " width="640"
Алгоритм решения неравенств второй степени с одной переменной
Пример решения неравенства
1. Приведите неравенство к виду
a x 2 + b x+ c 0 ( a x 2 + b x+ c
2. Рассмотрите функцию
y= a x 2 + b x+ c
3 . Определите направление ветвей
4. Найдите точки пересечения параболы с осью абсцисс (для них y=0 ; х 1 и х 2 найдите, решая уравнение a x 2 + b x+ c =0 )
5. Схематически постройте график функции y= a x 2 + b x+ c
6. Выделите часть параболы, для которой y0 (y
7. На оси абсцисс выделите те значения х, для которых y0 (y
8. Запишите ответ в виде промежутков
5х 2 +9х-2
2 . Рассмотрим функцию
y= 5х 2 +9х-2
3 . Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх.
4. 5х 2 +9х-2= 0
х 1 =-2; х 2 =
5.
8 . хЄ(-2; )
0
-2
В таблице 1 найдите верное решение неравенства 1 , в таблице 2 - решение неравенства 2:
1 .
2 .
Таблица 2
Таблица 1
а
в
в
а
d
с
с
d
В таблице 1 найдите верное решение неравенства 1 , в таблице 2- решение неравенства 2:
1 .
2 .
Таблица 2
Таблица 1
в
а
в
а
с
d
d
с
В таблице 1 найдите верное решение неравенства 1 , в таблице 2- решение неравенства 2:
2 .
1 .
Таблица 2
Таблица 1
в
а
а
в
d
с
с
d
В таблице 1 найдите верное решение неравенства 1 , в таблице 2- решение неравенства 2:
2 .
1 .
Таблица 1
Таблица 2
в
а
а
в
d
с
с
d
Итог урока
При решении данных заданий нам удалось систематизировать знания о применении квадратичной функции. Математика- это содержательное, увлекательное и доступное поле деятельности, дающее ученику богатую пищу для ума. Свойства квадратичной функции лежат в основе решения квадратных неравенств . Многие физические зависимости выражаются квадратичной функцией; например, камень, брошенный вверх со скоростью v 0, находится в момент времени t на расстоянии
s ( t )=- q \2 t 2+ v 0 t
от земной поверхности (здесь q - ускорение силы тяжести);
количество тепла Q , выделяемое при прохождении тока в проводнике с сопротивлением R , выражается через силу тока I формулой
Q = RI 2.
Знания свойств квадратичной функции позволяют рассчитать дальность полета тела, брошенного вертикально вверх или под некоторым углом. Этим пользуются в оборонной промышленности .
Незаконченное предложение
Задание: закончить одно из трех предложений, которое больше других соответствует вашему состоянию.
“ Выполнять задания и решать задачи мне трудно, так как …”
“ Выполнять задания и решать задачи мне легко, так как …”
“ Выполнять задания и решать задачи для меня занятие приятное и интересное, потому что…”
Домашнее задание