Россия, п. Заполярный
СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ
Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно
Скидки до 50 % на комплекты
только до
Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой
Организационный момент
Проверка знаний
Объяснение материала
Закрепление изученного
Итоги урока
Была в сети 04.12.2023 10:50
Колесник Марина Анатольевна
Репетитор по математике
57 лет
42 654
375 
Местоположение
Специализация
Квадратичная функция и её график
Категория:
Алгебра
07.02.2018 11:08
Просмотр содержимого документа
«Квадратичная функция и её график»
Квадратичной называется функция, заданная формулой 
где а ≠ 0, b и c – некоторые числа.
I. Частным случаем квадратичной функции является квадратная функция 
, здесь a = 1, b = c =0.
Графиком квадратной функции y = x2 является парабола с вершиной в точке (0;0), проходящая через точки (1;1), (2;4), (3;9) (запомнить эти точки), ветви направлены вверх.
1) Область определения функции - множество всех действительных чисел: D(y)=(−
; +).
2) Область значений функции – множество всех положительных чисел и нуля: Е(y) = [0; +).
3) y(-x) = (-x)2 = x2 = y(x). Значит, квадратная функция является чётной, её график симметричен относительно оси Oy.
4) Функция убывает при х 
(- ; 0), возрастает при х (0; + ).
II. Квадратная функция 
, здесь b = c =0.
Графиком квадратной функции y = ax2 является парабола с вершиной в точке (0;0), проходящая через точки (1;1a), (2;4a), (3;9a), ветви направлены вверх, если a 0; ветви направлены вниз, если a .
1) Область определения функции - множество всех действительных чисел: D(y)=(−; +).
2) Область значений функции – если a 0, то множество всех положительных чисел и нуля:
Е(y) = [0; +); если a , то множество всех отрицательных чисел и нуля: Е(y) = (-; 0].
3) y(-x) = a(-x)2 = ax2 = y(x). Значит, квадратная функция является чётной, её график симметричен относительно оси Oy.
4) При a 0, функция убывает при х (- ; 0), возрастает при х (0; + ).
При a , функция возрастает при х (- ; 0), убывает х (0; + ).
III. Квадратичная функция у = а(x – m)2, a ≠ 0, m – некоторое число.
Графиком квадратной функции y = a(x – m)2 является парабола с вершиной в точке (m; 0), ветви направлены вверх, если a 0; ветви направлены вниз, если a .
1) Область определения функции - множество всех действительных чисел: D(y)=(−; +).
2) Область значений функции – если a 0, то множество всех положительных чисел и нуля:
Е(y) = [0; +); если a , то множество всех отрицательных чисел и нуля: Е(y) = (-; 0].
3) y(-x) = a(-x - m)2 = a(x + m)2 ≠ y(x) ≠ - y(x). Значит, данная квадратичная функция не является ни чётной, ни нечётной.
4) При a 0, функция убывает при х (- ; m), возрастает при х (m; + ).
При a , функция возрастает при х (- ; m), убывает х (m; + ).
IV. Квадратичная функция у = аx2 + n, a ≠ 0, n – некоторое число.
Графиком квадратичной функции y = ax2 + n является парабола с вершиной в точке (0; n), ветви направлены вверх, если a 0; ветви направлены вниз, если a .
1) Область определения функции - множество всех действительных чисел: D(y)=(−; +).
2) Область значений функции – если a 0, то Е(y) = [n; +); если a , то Е(y) = (-; n].
3) y(-x) = a(-x)2 + n = ax2 + n = y(x). Значит, данная квадратичная функция является чётной, её график симметричен относительно оси Oy.
4) При a 0, функция убывает при х (- ; 0), возрастает при х (0; + ).
При a , функция возрастает при х (- ; 0), убывает х (0; + ).
V. Квадратичная функция у = а(x – m)2 + n, a ≠ 0, m, n – некоторые числа.
Графиком квадратичной функции y = a(x – m)2 + n является парабола с вершиной в точке (m; n), ветви направлены вверх, если a 0; ветви направлены вниз, если a .
1) Область определения функции - множество всех действительных чисел: D(y)=(−; +).
2) Область значений функции – если a 0, то Е(y) = [n; +); если a , то Е(y) = (-; n].
3) y(-x) = a(-x - m)2 + n = a(x + m)2 + n ≠ y(x) ≠ - y(x). Значит, данная квадратичная функция не является ни чётной, ни нечётной.
4) При a 0, функция убывает при х (- ; m), возрастает при х (m; + ).
При a , функция возрастает при х (- ; m), убывает х (m; + ).
VI. Квадратичная функция у = аx2 + bx + c, a ≠ 0, b, c – некоторые числа.
Графиком квадратичной функции y = ax2 + bx + c является парабола с вершиной в точке (m; n), ветви направлены вверх, если a 0; ветви направлены вниз, если a .
Координаты вершины параболы вычисляются по формулам:
m = 
n = 
(или )
1) Область определения функции - множество всех действительных чисел: D(y)=(−; +).
2) Область значений функции – если a 0, то Е(y) = [n; +); если a , то Е(y) = (-; n].
3) Чётность данной функции необходимо проверять для каждого конкретного случая.
4) При a 0, функция убывает при х (- ; m), возрастает при х (m; + ).
При a , функция возрастает при х (- ; m), убывает х (m; + ).
Например, построим график функции y = 2x² - 4x +1.
1) Находим координаты вершины параболы:
m = = 
n = y(1) = 2 ∙ 12 – 4 ∙ 1 + 1 = - 1
Значит, вершина параболы находится в точке (1; -1)
2) Ветви параболы направлены вверх, т.к. a = 2 0.
3) Область определения функции D(y)=(−; +).
4) Область значений функции Е(y) = [-1; +).
5) y(-x) = 2∙(-x)2 - 4∙ (-x) + 1 = 2x² + 4x + 1 ≠ y(x) ≠ - y(x). Значит, данная функция не является ни чётной, ни нечётной. График её не будет симметричен ни относительно оси Oy, ни относительно начала координат.
6) Так как a = 2 0, функция убывает при х (- ; 1), возрастает при х (1; + ).
Строим график по алгоритму:
отмечаем вершину параболы – точку (1; -1)
от вершины продвигаемся на 1 ед. отрезок в сторону (и вправо, и влево), затем на 1∙2 = 2 ед. отрезка вверх
от вершины продвигаемся на 2 ед. отрезка в сторону и на 4∙2 = 8 ед. отрезков вверх
от вершины продвигаемся на 3 ед. отрезка в сторону и на 9∙2 = 18 ед. отрезков вверх
плавно соединяем отмеченные точки.
© 2018, Колесник Марина Анатольевна 1102 16
Рекомендуем курсы ПК и ППК для учителей
Похожие файлы
Вебинар для учителей
Свидетельство об участии БЕСПЛАТНО!
Полезное для учителя
Реализация образовательных программ осуществляется с применением исключительно электронного обучения и ДОТ
