Получите доступ к огромной базе учебных материалов на каждый урок с возможностью удалённого управления...

СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ

Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно

Выбрать материалы

Скидки до 50 % на комплекты
только до

Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой

Организационный момент

Проверка знаний

Объяснение материала

Закрепление изученного

Итоги урока

Была в сети 27.10.2022 23:48

Гусаниева Зулайхат Пайзулаевна

Учитель математики

59 лет

873

61 096

Подписчики

Подписки

Местоположение

Россия, Каспийск

Специализация

Математика

Обо мне Блог Файлы Тесты Галерея Активность Награды

Квадратные уравнения : методы решения

Категория: Алгебра

05.01.2020 17:41

Учебник: Алгебра. 8 класс. Учебник для углубл. изучения. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Феоктистов И.Е. (2010, 384с.)

Тема: 29. Уравнения, сводящиеся к квадратным 188

Просмотр содержимого документа
«Квадратные уравнения : методы решения»

ПЛАН УРОКА

1 . Теоретическая разминка.

2. Энциклопедия квадратных уравнений.

3. Думающий колпак.

4. Историческая справка.

5. Копилка ценных мыслей.

6. Домашнее задание.

1 . Теоретическая разминка. 2. Энциклопедия квадратных уравнений. 3. Думающий колпак. 4. Историческая справка. 5. Копилка ценных мыслей. 6. Домашнее задание.

Вопросы

теоретической разминки:

Сформулируйте определение квадратного уравнения.

2. Объясните, в чём заключается смысл ограничения в определении квадратного уравнения (а ≠ 0).

3. Перечислите виды квадратных уравнений.

4. Какое квадратное уравнение называется неполным? Приведите пример.

5. Какое квадратное уравнение называется приведённым? Приведите пример.

6. Способы решения полного квадратного уравнения?

подробнее

Специальные методы:

1. Метод выделения квадрата двучлена.

2. Метод «переброски» старшего коэффициента.

3. На основании теорем.

Общие методы:

Разложение на множители;

Введение новой переменной;

Графический метод .

ДУМАЮЩИЙ КОЛПАК

Большим и указательным пальцами мягко оттягивают назад и прижимают, массируя, раковины ушей.

УЧЕБНЫЕ ИНСТРУКЦИИ

• Держите голову прямо, чтобы подбородку было удобно. • Упражнение повторяют трижды или более раз.

Кристиан Вольф - знаменитый немецкий философ, родился в 1679 г. в Бреславле, в семье простого ремесленника, изучал в Йене сначала богословие, потом математику и философию.

Впервые ввёл термин «квадратное уравнение» немецкий философ Кристиан Вольф.

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A5%D1%80%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%B0%D0%BD_%D0%92%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%84

Сильвестр Джеймс Джозеф – английский математик, который ввел термин «дискриминант».

http://www.persons-info.com/index.php?pid=10965

В 13 – 16 веках даются отдельные методы решения различных видов квадратных уравнений. Слияние этих методов произвел в 1544 году немецкий математик – Михаэль Штифель. Это было настоящее событие в математике.

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A8%D1%82%D0%B8%D1%84%D0%B5%D0%BB%D1%8C,_%D0%9C%D0%B8%D1%85%D0%B0%D1%8D%D0%BB%D1%8C

Домашнее задание

Решите уравнение 3х 2 + 5х + 2 = 0 :

используя формулу дискриминанта – « 3 » , двумя способами – « 4 » , тремя способами – « 5 » .
используя формулу дискриминанта – « 3 » ,
двумя способами – « 4 » ,
тремя способами – « 5 » .

Дополнительно.

Решите уравнение (х 2 -х) 2 - 14(х 2 -х) + 24 = 0 методом введения новой переменной.

Энциклопедия квадратного уравнения

подробнее

РЕШЕНИЕ

НЕПОЛНЫХ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ

в=0

ах 2 +с=0

с=0

ах 2 +вх=0

в,с=0

ах 2 =0

подробнее

0 -два решения: х 1 = и х 2 = - Если 0 - нет решений. " width="640"

Алгоритм решения

в=0

ах 2 +с=0

1.Переносим с в правую часть уравнения.

ах 2 = - с.

2.Делим обе части уравнения на а≠0.

х 2 = .

3.Если –с/а 0 -два решения:

х 1 = и х 2 = -

Если 0 - нет решений.

Алгоритм решения
с=0
ах 2 +вх=0
Выносим x за скобки:
х (ах + в) = 0.
2. «Разбиваем» уравнение
на два:
x = 0, ах + в = 0.
3. Два решения:
х = 0 и х = (а≠0).

Алгоритм решения
в,с=0
ах 2 =0
1. Делим обе части уравнения на а≠0.
х 2 = 0
2. Одно решение: х = 0.

Подведём итог!
0, то " width="640"
Неполные квадратные уравнения:

Если корней нет.

Если 0, то

0 Корней нет " width="640"

D 0

D = 0

D 0

Корней нет

b = 2k ( чётное число)

Теорема Виета

x 1 и х 2 – корни уравнения

Метод выделения квадрата двучлена.

Суть метода: привести квадратное уравнение общего вида к неполному квадратному уравнению.

Пример: х 2 - 6х + 5 = 0.

подробнее

Метод «переброски» старшего коэффициента.

Корни квадратных уравнений

связаны соотношениями

подробнее

Пример:

2х 2 - 9х – 5 = 0.

На основании теорем:

Если в квадратном уравнении a+b+c=0 , то один из корней равен 1, а

второй по теореме Виета равен

Если в квадратном уравнении a+c=b , то один из корней равен -1,

а второй по теореме Виета равен

подробнее

Примеры:

200х 2 + 210х + 10 = 0.

Метод разложения на множители

Цель:

привести квадратное уравнение общего вида к виду

А(х) · В(х)=0,

где А(х) и В(х) – многочлены относительно х.

Способы:

Вынесение общего множителя за скобки;
Использование формул сокращенного умножения;
Способ группировки.

подробнее

Пример:

4х 2 + 5х + 1 = 0.

Введение новой переменной.

Удачный выбор новой переменной делает структуру уравнения более прозрачной.

подробнее

Пример:

(2х+3) 2 = 3(2х+3) – 2.

Графический метод

Для решения уравнения f(x) = g(x) необходимо построить графики функций

y = f(x), y = g(x)

и найти точки их пересечения;

абсциссы точек пересечения и будут корнями уравнения.

подробнее

Пример:

х 2 =х+2.

Графический метод часто применяют не для нахождения корней уравнения, а для определения их количества.

Метод выделения квадрата двучлена.

Решим уравнение х 2 - 6х + 5 = 0.

х 2 - 6х + 5 = 0.

(х -3) 2 – 4 = 0.

(х -3) 2 = 4.

х – 3 = 2 ; х – 3 = -2.

х = 5, х =1.

Ответ: 5; 1.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 ,

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 .

0, по теореме, обратной теореме Виета, получаем корни: -1; 10, далее возвращаемся к корням исходного уравнения: - 0,5; 5. Ответ : 5; -0,5. ax 2 + bx + c = 0 и y 2 + by + ac = 0 связаны соотношениями: " width="640"

Метод “переброски” старшего коэффициента

Решите уравнение 2х 2 - 9х – 5 = 0.

у 2 - 9у - 10 = 0.

D0, по теореме, обратной теореме Виета, получаем корни: -1; 10,

далее возвращаемся к корням исходного уравнения: - 0,5; 5.

Ответ : 5; -0,5.

ax 2 + bx + c = 0 и y 2 + by + ac = 0

связаны соотношениями:

Теорема 1. Если в квадратном уравнении a + b + c = 0 , то один из корней равен 1, а второй по теореме Виета равен

Решите уравнение 137х 2 + 20х – 157 = 0.

137 х 2 + 20 х – 157 = 0.

a = 137, b = 20, c = -157.

a + b+ c = 137 + 20 – 157 =0.

x 1 = 1, х 2 = -157/137.

Ответ: 1; -157/137 .

Теорема 2. Если в квадратном уравнении a + c = b , то один из корней равен -1, а второй по теореме Виета равен

Решите уравнение 200х 2 + 210х + 10 = 0.

200х 2 + 210х + 10 = 0.

a = 200, b = 210, c = 10.

a + c = 200 + 10 = 210 = b.

х 1 = -1, х 2 = -

Ответ: -1; -0,05

Метод разложения на множители.

Решите уравнение 4х 2 + 5х + 1 = 0.

4х 2 + 5х + 1 = 0.

4х 2 + 4х + х + 1 = 0.

4х(х+1) + (х+1) = 0.

4х(х + 1) = 0.

Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю, а второй при этом не теряет смысла, или когда оба равны нулю.

4х = 0 и х + 1 = 0.

х = 0, х = -1.

Ответ: 0; -1.

0. По теореме, обратной теореме Виета: t 1 = 1, t 2 = 2. Произведем обратную замену и вернемся к переменной х, получим следующие корни: -1; -0,5. Ответ: -1; -0,5. " width="640"

Метод введения новой переменной.

Решите уравнение (2х+3) 2 = 3(2х+3) – 2.

(2х+3) 2 = 3(2х+3) – 2.

Пусть: t = 2х + 3.

Произведем замену переменной: t 2 = 3 t - 2.

t 2 -3 t + 2 = 0. D 0.

По теореме, обратной теореме Виета: t 1 = 1, t 2 = 2.

Произведем обратную замену и вернемся к переменной х, получим следующие корни:

-1; -0,5.

Ответ: -1; -0,5.