La cinématique étudie le mouvement des corps indépendamment des forces qui les produisent...

_CINEMATIQUE

A- Généralités

La cinématique étudie le mouvement des corps indépendamment des forces qui les produisent. Elle permet de définir la géométrie et les dimensions des composants, et participe à I'étude dynamique et énergétique d'un mécanisme.

1. NOTION DE REFERENTIEL :

Un système de référence (référentiel) est l'addition d'un repère spatial de référence et d'un repère temporel de référence.

1. Repàre de référence

Le mouvemen† d'un solide (S1) es† défini par rappor† à un au†re solide (SO) choisi comme solide de référence. Un repère dit de référence est « collé » sur (SO), permettant de repérer avec précision la position e† le mouvemen† du solide (S1).

Notation : M* 1/0 est le mouvement de (S1) par rapport à (50).

1. Repère de †emDs :

Le temps est considéré comme uniforme et absolu. Sa représentation est une droite graduée

orientée.

• La lettre t, appelée date ou instant, symbolise un point de cette droite.

• La distance entre deux dates est appelée durée.

• L'origine du repère de temps est choisi à t=O.

Il. MOUVEMENT ABSOLU ET RELATIF :

Le mouvement d’un solide dépend du repère de référence considéré.

1. Mouvement absolu :

Un repère absolu est considéré comme au repos dans I’univers (repère galilléen). Le mouvement d'un solide est dit absolu s'il est décrit par rapport à un repère absolu.

- Cons†ruc†ion Mécanique - Cinématique page 1

1. Mouvement relatif

Un repère relatif est en mouvement par rapport au repère absolu. Le mouvement d'un solide est dit relatif s’il est décrit par rapport à un repère relatif.

Exemple

Cas d'un voyageur (2) marchant dans un wagon (1) en mouvement par rapport au sol (0).

Ro ( O, ^Xx, Yo): repère absolu , lié à la terre. M" 1/0 : mouvement absolu. R, ( O, X , Y ): repère relatif , lié au train. M“ 2/0 : mouvement absolu. R, ( O, Xz, Yz): repère relatif , lié au voyageur. M” 2/î : mouvement relatif

1. TRAJECTOIRE D'UN POINT :

   1. Poin†s coïnciden†s

^{Considérons (voir figure ci-contre) les solides S}i

^{,S , Sz et S}3^{, ainsi que le point A, extrémité du} crayon. A I' ins†an† †, plusieurs poin†s coïnciden†s sont superposés :

A lié à S ,A lié à Sz ,A lié à ^S3, et A lié à So Selon le point considéré, les mouvements sont différents.

1. Trajectoire d'un Doint

La trajectoire d'un point M est la courbe géométrique décrite au cours du temps par les positions successives de ce poin† par rappor† à un repère de référence.

Exemple : roue avant de vélo.

1. VITESSE ET ACCELERATION

   1. Vecteur - position : Le solide (S1) est en mouvement par rapport à un ⁰

repère de référence Ré ( O, ^Xx, ^Ya).

Il décrit la trajectoire T MI/0. ^M

La position du point P à I' instant t est défini par le vecteur- position .

X (†)

OM y( )

O

T M1/0 ⁰

1. Vec†eur - vitesse

La vitesse instantanée d'un point M d'un solide, par rapport à un repere de référence Ro ( O, ^Xx, ^Ya )^{, est définie par le vecteur - vitesse.}

_'(^t)

^FW I /0) y ' (•|•)

• direction : tangente en M à la trajectoire

• sens : celui du mouvement

• norme : vitesse algébrique v

Si v › 0, M se déplace dans le sens + de la trajectoire. Si v « 0, M se déplace dans le sens - de la trajectoire. Si v = a , le mouvement se fait à vitesse constantes.

^VM$i/oJ'

1. Vecteur - accélération :

L'accélération instantanée d'un point M d'un solide, par rapport à un repère de référence Ré ( O, ^Xx, Yo ), est définie par le vecteur - accélération.

^{F M (I /0) ' ' (t) E M} (i /0)

(d VM (d’ OM

dt dt’

Si y (valeur algébrique de l'accélération) est dans le même sens que v, M se déplace en

accélérant.

Si y est dans le sens contraire de v, M se déplace en décélérant.

1. MOUVEMENTS PLANS PARTICULIERS

Mouvement

Translation rectiligne

Ro†a†ion

Mouvement pan

général /’

Exemple

barre 1

coulisseau 2 rn

tfâf1SlôtÏ0fl FüCtlllgflü

bielle B6 en mouvement plan

"C’

manivelle

(rotation) p_iSt/p

Nature de la trajectoire

droites parallèles de direction l’axe de

position initiale position finale

Cercles concentriques de centre le

A

Courbes que/conques.

translation

Translation circulaire

6'ercle non concentriques, de rayons

_{» ‹ . .. , . .} identiques (ex : prande roue de Ïoïre)

en translatÏ0û

biellette

üUt0blJS

B- Cinématique du solide

Un solide est supposé géométriquement parfait, homogène et non déformable.

1. MOUVEMENT DE TRANSLATION RECTILIGNE :

Soit un solide en translation rectiligne :

• Tous les points de ce solide ont des trajectoires parallèles, ce sont des droites.

• Leurs vecteurs - vitesse sont identiques, de direction celle du mouvement.

^A o ^B io

• Leurs vecteurs - accélération son† identiques,

Il. MOUVEMENT DE ROTATION:

1. Vecteur- position:

⁰ Le solide (S1) est en rotation par rapport à un repère de référence Ro ( O, ^Xx, Ya ). Le point M décrit au cours du temps un cercle de centre O, de rayon r = OM. La position de M est repérée par l'angle 0 qui varie au cours du temps.

Les coordonnées du vecteur - position sont :

OM —— r cos Ö) . x ( rsin Ö). y

1. Vitesse angulaire :

La vitesse angulaire ul, à I' instant t, du point M est égale au rapport de I'angle parcouru par la

durée.

Uni†é : rad/seconde. '

- Cons†ruc†ion Mécanique - Cinématique page 5

1. Vec†eur - vitesse

Le vecteur - vitesse est porté par la tangente en ⁰

M à la trajectoire (perpendiculaire au rayon).

Sa norme est égale au produit du rayon r et de la vitesse angulaire w.

Uni†é : m/s K—— r. œ O

1. Vecteur - rotation ^z1

• Support : axe de rotation

sens positif sur (Oz )si m » 0

• norme : m

C 1 /0

_O M

X₀

1. Répar†i†ion des vitesses

La vitesse d’un point d'un solide est proportionnelle à la distance de ce point à l'axe de rotation. Il en résulte une répartition triangulaire des vitesses.

Il suffi† donc de connaître la vitesse d'un poin† d'un solide en ro†a†ion e† la position de son axe de rotation pour déterminer la vitesse de tous les autres points.

1. MOUVEMENT PLAN :

   1. Définition

Un solide est dit en mouvement plan lorsque tous les points appartenant à ce solide se déplacent parallèlement à un plan fixe de référence.

Les †rajec†oires des poin†s son† des courbes géométriques planes contenues dans des plans parallèles.

üirlle BP en mouvement plan

mzr velle

(rotztior) _pjstor

trarsIatior

1. Eauipro iectivité

Soit deux points A et B appartenant à un même solide (1) en mouvement plan par rapport à un

^{repère de référence R}a^{( O, X}x, ^Ya).

Construction graphique :

^FB(›I0)

A _{H B}

%

VA ’₀)

Les segments ÂH et BP sont les projections orthogonales respectives des vecteurs vitesse des points A et B sur la droite (AB). Ils sont égaux

On no†era que les poin†s de projection H e† K son† si†ués du meme cote' par rappor† aux points A et B.

Pour connaître toutes les vitesses d'un solide en mouvement plan, il suffit de connaître :

• le vecteur-vitesse de l'un des points.

• La direction du vecteur vitesse d’un autre point.

1. Centre instantané de rotation

^{Pour tout solide en mouvement plan par rapport à un repère de référence R}a^{( O, X}x, ^{Ya ), il} existe à chaque instant t un point I unique dont la vitesse est nulle.

Ce point est appelé centre instantané de rotation (C.I.R.).

io h e .

I

^A B

Tout se passe comme si le solide était à I'instant t en rotation autour du point 1. On peu† donc utiliser la propriété de répartition triangulaire des vitesses.

I

_A a

Les segments et sont égaux.

Le segment a est égal à ^PA(_t/0)

1. COMPOSITION DE MOUVEMENT :

   1. Mouvements relatifs

Soit un solide (3) en mouvement par rapport à un solide (2), lui-même en mouvement par rapport à un solide (1). Le mouvement du solide (3) par rapport au solide (1) est le composé des deux mouvements précédents

M“ 3/1 M" 3/2 M" 2/1.

1. Composition des vitesses

1. Vitesses en un poin†

Soit un point A appartenant au solide (3) . Au point A on peut écrire la relation de composition de vitesses

^LA(3^{/1) A} 3^g2^{)+ A} 2/l )

vitesse absolue vitesse relative vitesse d’entraînement

1. Vitesses anoulaires

De même on peut écrire au point A la relation de composition des vitesses angulaires.

1. Glissement - Roulement - Pivotement :

Soit A le point de contact entre le solide (1) et le solide (2). Soit  , n ; t , fi) repère orthonormé direct.

On appelle vitesse de lipssement en A du solide

(1) par rapport au solide (2) le vecteur vitesse relative ÜA( ),) . Ce vecteur est contenu dans le plan mangent au contact.

La vitesse angulaire _rt 1 2) est la vitesse de roulement autour de 1

La vitesse angulaire p 1t2) est la vitesse de pivotement autour de ñ .

Dîf{éren†es combinaisons son† possibles :

		2 - 0	•. 2 - 0	w z›0 çl/2' 0	› › 0
LA	—— 0	adhérence	pivotement	roulement	roulement avec pivotemenï
7 gt		glissement	glissement avec ÇlVotement	glissement avec oc1ement	glissement avec roulement et givotement

Ces différentes combinaisons sont prises en compte lorsque l'on fait des hypothèses simplificatrices Iors d'une étude de mécanique.

C- Cinématique du point

Les propriétés et les résultats de ce paragraphe sont applicables à un solide, mais aussi à un point matériel en déplacement selon des mouvements particuliers. Ceci permet une simplification de l’étude.

1. MOUVEMENT DE TRANSLATION

La trajectoire du point M en translation par rapport au repère R ( O, X, Y, Z ) est une droite d'équation : y = z = 0.

1. Mouvement de translation uniforme

Le mouvement se fait à vitesse v constante, l'accélération est nulle . Les équations du mouvement sont :

: déplacemen† initial à ==0

: vitesse initiale et vitesse du mouvement x : déplacement à I' instant t

Représentation qraphique

v= v₀

= constante

2.

Le mouvement se fait à accélération constante. Les équations du mouvement sont :

conditions initiales

1

2

Formule utile

^{2 2 +2 (}’ ’où

Représentation graphique

Il. MOUVEMENT DE ROTATION

La trajectoire du point P en rotation par rapport qu repere Ro (0 ,’ x; y” ,' ?) est un cercle contenu dans le plan (0 , x , y , de centre O et de rayon (OP).

On utilise les coordonnées polaires (r 0 ) dans le

repère R1 (P; n; t ,' )

Vec†eur position

ÖP—— rn —— rcos 8 sûr sin8 y

Vitesse anqulaire

unité : rad/s

Vecteur-rotation

Vec†eur — vitesse

d OP dt

Vecteur — accélération

Accélération angulaire

uni†é : rad/s*

L'accélération du point P a une composante normale n et une composante tangentielle

ç’

ovec ri — m ² . r ——_r — W . V e† l — Ü . r —(t) . r

1. Mouvement de rotation uniforme

L’accéIéF'Qtion angulaire est nulle, la vitesse angulaire est constQnte.

Les équations du mouvemen† son† :

Où : déplacemen† angulaire initial à /=0

w₀'Q : vitesse angulaire initiale et vitesse angulaire du mouvement

8 : déplacement à I' instant t

_{••= 0 =°0 =}constante

Puisque ' ' 0 , alors '0 . Donc (1/0)'î •)

BTS C.I.M. - Cons†ruc†ion Mécanique - Cinématique page 12

Le vecteur-accélération n'es† pas nul.

Il est porté par la normale et dirigé vers le centre.

2.

L'accélération angulaire 1 est constante. Les équations du mouvement sont

Conditions initiales .

Formule utile

Mouvemen† accélère

— ‘0 — = constante

1

2

_’0 + 2 à(8 —al)

Le vecteur vitesse %( ) et la composante tangentielle / sont dans le même sens.

La composante normale n est toujours dirigée vers

le cen†re.

L'accélération angulaire cf est dans le meme sens que la vitesse angulaire m

Mouvement deccéleré

Le vecteur vitesse %‹ ) et la composante tangentielle t sont en sens opposé.

La composante normale n est toujours dirigée vers le cen†re.

L'accélération angulaire 1 est dans le sens contraire de la vitesse angulaire

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