Лаплас и его исследования

Лаплас П.С. Приложения дифференциального исчисления к решению прикладных задач. Уравнение Лапласа .Сферические функции.

Выполнила:

Студентка СурГПУ, б-4051

Чебанова Е.

Сургут, 2016 г.

• Пьер Симон Лаплас  (1749-1827) — французский астроном, математик, физик, иностранный почетный член Петербургской АН (1802). Родился 23 марта 1749 года в местечке Бомон-анож (Нормандия), в семье небогатого крестьянина. 
• Пьер рано проявил свои выдающиеся способности, с блеском окончил школу бенедиктинцев и был оставлен там же, в Бомоне, преподавателем математики военной школы. В семнадцать лет написал свою первую научную работу.

Научные интересы Лапласа лежали в области математики, математической физики и небесной механики. Его перу принадлежат фундаментальные работы по дифференциальным уравнениям, например, по интегрированию методом «каскадов» уравнений с частными производными.

• Он ввел в математику шаровые функции, которые применяются для нахождения общего решения уравнения Лапласа и при решении задач математической физики для областей, ограниченных сферическими поверхностями. Значительные результаты получены им в алгебре.
• «Аналитическая теория вероятностей» Пьера Лапласа издавалась трижды при жизни автора (в 1812, 1814, 1820 годы). Для разработки созданной им математической теории вероятностей Лаплас ввел так называемые производящие функции, которые применяются не только в данной области знания, но и в теории функций, и в алгебре. 

Ученый обобщил все, что было сделано в теории вероятностей до него Паскалем, Ферма и Я. Бернулли. Он привел полученные ими результаты в стройную систему, упростил методы доказательства, для чего широко применял преобразование, которое теперь носит его имя, и доказал теорему об отклонении частоты появления события от его вероятности, которая также теперь носит имя Лапласа. 

Наибольшее количество исследований Лапласа относится к небесной механике, которой он занимался всю свою жизнь. Первая работа по этой тематике вышла в 1773 году. Она называлась «О причине всемирного тяготения и о вековых неравенствах планет, которые от него зависят». В 1780 году ученый предложил новый способ вычисления орбит небесных тел.

Лаплас стремился все видимые движения небесных тел объяснить, опирать на закон всемирного тяготения Ньютона, и это ему удалось. Лаплас доказал устойчивость Солнечной системы. Сам Ньютон считал, что Солнечная система неустойчива.

• Большим успехом Лапласа было решение им векового неравенства в движении Луны.
• Он доказал, что это движение долгопериодическое и что через некоторое время Луна станет двигаться замедленно. По неравенствам движения Луны он определил величину сжатия Земли у полюсов .

Пьер Лаплас умер   5 марта 1827 года после недолгой болезни. Его последние слова были: «То, что мы знаем, так ничтожно по сравнению с тем, что мы не знаем».

Уравнения Лапласа:

• При исследовании стационарных процессов различной физической природы (колебания, теплопроводность, диффузия и др.) обычно приходят к уравнениям эллиптического типа. Наиболее распространенным уравнением этого типа является уравнение Лапласа.

Уравнения Лапласа к решению прикладных задач:

• Функция  U  называется  гармонической  в области  T , если она непрерывна в этой области вместе со своими производными до 2-го порядка и удовлетворяет уравнению Лапласа.
• При изучении свойств гармонических функций были разработаны различные математические методы, оказавшиеся плодотворными и в применении к уравнениям гиперболического (например, уравнение колебаний струны) и параболического типов (например, уравнение теплопроводности). Мы будем искать решение краевых задач для простейших областей методом разделения переменных. Решение краевых задач для уравнения Лапласа может быть найдено  методом разделения переменных  в случае некоторых простейших областей (круг, прямоугольник, шар, цилиндр и др.). Рассмотрим некоторые из них.

• Сферические функции Лапласа

Уравнение Лапласа в шаре

Решение дифференциального уравнения методом исчисления