Лекция 1.2. Классическое определение вероятности

Электронный курс лекций

«Комбинаторика»

Лекция 1.2. Основные понятия теории вероятностей. Определение вероятности случайного события. Элементы комбинаторики:

Перестановки;

Размещения;

Сочетания.

к.п.н., преподаватель высшей категории Никитин М.Е. Раменское, 2015

Теория вероятностей изучает закономерности массовых случайных явлений (не единичных!).

Зародилась в связи с азартными играми в Швейцарии ( XVI – XVII в.в н.э.)

Отцы-основатели: Паскаль, Ферма, Гюйгенс, Якоб Бернулли.

Русские : Чебышев П.Л., Буняковский, Хинчин, Колмогоров.

Пространство элементарных событий

• Будем полагать, что результатом реального опыта (эксперимента) может быть один или несколько взаимоисключающих исходов; эти исходы неразложимы и взаимно исключают друг друга. В этом случае говорят, что эксперимент заканчивается одним и только одним элементарным исходом .

Множество всех элементарных событий, имеющих место в результате случайного эксперимента, будем называть пространством элементарных событий Ω

• Случайными событиями будем называть подмножества пространства элементарных событий Ω .

Определение. Под случайным событием или просто событием будем понимать всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти.

События будем обозначать большими латинскими буквами A , B, C, D, …

Пример

• Бросаем один раз игральную кость. В этом опыте пространство элементарных событий Ω = {w 1 , w 2 , w 3 , w 4 , w 5 , w 6 }, где w i - выпадение i очков.
• Событие A - выпадение четного числа очков, A = {w 2 ,w 4 ,w 6 }, A Ω .

Достоверное событие

• Событие Ω называется достоверным событием

Достоверное событие не может не произойти в результате эксперимента, оно происходит всегда .

• Пример. Бросаем один раз игральную кость. Достоверное событие состоит в том, что выпало число очков, не меньше единицы и не больше шести, т.е. Ω = {w  1 ,  w   2 ,  w  3 ,  w  4 ,  w  5 ,   w  6 }, где w i - выпадение i очков, Ω - достоверное событие.

Невозможное событие

• Невозможным событием называется пустое множество Ø .
• Невозможное событие не может произойти в результате эксперимента, оно не происходит никогда .
• Пример. Бросаем один раз игральную кость. Выпадение более шести очков - невозможное событие .

Совместимость событий

• Два события называются несовместными , если наступление одного из них исключает наступление другого в одном и том же испытании.
• Совместными называются события, если они могут наступить одновременно в одном испытании

Противоположное событие

• Два несовместных события, составляющих полную группу, называются противоположными
• Обозначается ,
• Пример. Бросаем один раз игральную кость. Событие A - выпадение четного числа очков, тогда событие - выпадение нечетного числа очков. Здесь Ω = {w 1 , w 2 , w 3 ,w 4 , w 5 ,w 6 }, где w i - выпадение i очков, A = {w 2 ,w 4 ,w 6 },

=

Действия со случайными событиями

• Суммой событий A и B называется событие, состоящее из всех элементарных событий, принадлежащих одному из событий A или B. Обозначается A + B.
• Пример. Бросаем один раз игральную кость. В этом опыте пространство элементарных событий

Ω = {w 1 , w 2 , w 3 , w 4 , w 5 , w 6 }, Событие A - выпадение четного числа очков, A = {w 2 ,w 4 ,w 6 }, событие B - выпадение числа очков, большего четырех, B = {w 5 , w 6 }.

Событие A + B = {w 2 ,w 4 , w 5 , w 6 }

Произведением событий A и B называется событие, состоящее из всех элементарных событий, принадлежащих одновременно событиям A и B. Обозначается AB .

• Пример. Бросаем один раз игральную кость. В этом опыте пространство элементарных событий

Ω = {w 1 , w 2 , w 3 ,w 4 , w 5 ,w 6 }. Событие A - выпадение четного числа очков, A = {w 2 ,w 4 ,w 6 }, событие

B - выпадение числа очков, большего четырех,

B = {w 5 , w 6 }.

Событие A B состоит в том, что выпало четное число очков, большее четырех, т.е. произошли оба события, и событие A, и событие B, A B = {w 6 }

A B Ω .

Классическое определение вероятности события. Его свойства.

Рассмотрим следующую классическую схему:

• Пространство элементарных исходов Ω - конечно; т.е. состоит из конечного числа элементарных исходов.
• Элементарные исходы i равновозможные.

Определение:

Вероятностью события А ( обозначение Р(А) ) называют отношение числа m благоприятствующих этому событию элементарных исходов к общему числу n всех несовместных, равновозможных элементарных исходов, образующих полную группу событий.

Свойства вероятности согласно классическому определению.

• P(Ω)=1;
• P(Ø)=0;
• 0≤ P ( A )≤1, A - случайное событие.

Слабые стороны классического определения вероятности:

1) Не всегда интересующие нас событие можно представить в виде совокупности элементарных исходов.

2) Даже если удастся построить пр-во элементных исходов, зачастую нет никаких оснований считать эти исходы равновозможными.

3) Во многих случаях пр-во элементарных исходов бесконечно

Статистическое определение вероятности. Относительная частота (частность) события.

В основе статистического определения вероятности лежит понятие частоты.

Def : О т н о с и т е л ь н о й ч а с т о т о й Ẃ(А) случайного события А - называется отношение числа m испытаний, в которых событие А наступило, к общему

числу n , фактически

проведённых испытаний.

Пример:

# Монета подброшена 100 раз. Герб выпал 47раз. Если А- выпадение герба, то

Ẃ(А)= =0,47

! Относительная частота – величина случайная.

Свойства относительной частоты:

Из определения следует, что:

• Ẃ(Ω)=1
• Ẃ(Ø)=0 - Ø-невозможное событие.
• 0≤Ẃ(А)≤1

Свойство устойчивости:

Длительные наблюдения показали, что, если в одинаковых условиях производят опыты, в каждом из которых число испытаний достаточно велико, то относительная частота обнаруживает свойство устойчивости . Это свойство состоит в том, что:

• в различных опытах относительная частота изменяется мало (тем меньше, чем больше произведено испытаний), колеблясь около некоторого постоянного числа. Оказалось, что это постоянное число есть вероятность появления события.
• в различных опытах относительная частота изменяется мало (тем меньше, чем больше произведено испытаний), колеблясь около некоторого постоянного числа. Оказалось, что это постоянное число есть вероятность появления события.
• в различных опытах относительная частота изменяется мало (тем меньше, чем больше произведено испытаний), колеблясь около некоторого постоянного числа. Оказалось, что это постоянное число есть вероятность появления события.

В качестве статистической вероятности случайного события выбирают относительную частоту этого события или число, близкое к относительной частоте.

Для существования статической вероятности события А требуется:

а)Возможность, хотя бы принципиально,

производить неограниченное число испытаний, в

каждом из которых событие А наступает или не

наступает;

б)Устойчивость относительных частот

появления А в различных сериях достаточно большого

числа испытаний.

Недостатком статистического

определения является неоднозначность

статистической вероятности.

Элементы комбинаторики: перестановки; размещения; сочетания.

Комбинаторика – раздел алгебры, занимающийся подсчётом количества комбинаций элементов, которые можно составить по определённым правилам из элементов конечных множеств.

М – конечное множество, содержащее n различных элементов.

M={a 1 ,a 2 ,…,a n }

1) Перестановки без повторений:

Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения.

• Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения.

Число всех возможных перестановок

P n =n! ,

где n !=1 • 2 • 3 • ... • n ( n- факториал)

По определению полагаем:

0!=1

• P n =n! , где n !=1 • 2 • 3 • ... • n ( n- факториал) По определению полагаем: 0!=1

Задача. Сколькими способами можно расставить трехтомник на полке?

Каждое расположение трёх различных книг в

определенном порядке (на полке) представляет

собой перестановку из 3-х книг, и следовательно,

м. б. реализовано P 3 =3! =6 различными способами.

2)Размещения без повторений.

Размещениями называют комбинации,

составленные из n различных элементов по

m элементов, которые отличаются либо

составом элементов, либо их порядком.

Задача. Сколько можно составить сигналов из 7 флагов разного цвета, взятых по 3?

3)Сочетания без повторений.

Сочетаниями называют комбинации,

составленные из n различных элементов по

m элементов, которые отличаются хотя бы

одним элементом.

Число сочетаний:

Пример:

Сколькими способами можно выбрать две детали из ящика, содержащего 10 различных деталей?

Связь между размещениями, сочетаниями и перестановками:

Число размещений, перестановок и сочетаний связаны равенством:

Замечание:

Предполагалось, что все n элементы различны. Если же некоторые элементы повторяются, то в этом случае комбинации с повторениями вычисляют по другим формулам.

Например, если среди n элементов есть n 1 элементов одного вида, n 2 элементов другого вида и т.д., то число перестановок с повторениями:

где