Россия, Раменское, Московской области
СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ
Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно
Скидки до 50 % на комплекты
только до
Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой
Организационный момент
Проверка знаний
Объяснение материала
Закрепление изученного
Итоги урока
Был в сети 19.05.2024 10:44
Никитин Михаил Евгеньевич
преподаватель высшей категории
63 года
6 454
6 176 
Местоположение
Специализация
Лекция 1. "Последовательности. Основные понятия".
Категория:
Математика
16.04.2022 12:57
Определение 1. Числовой последовательностью называется функция, аргументом которой является множество всех натуральных чисел, или множество первых n натуральных чисел.
Обозначается числовая последовательность так:
 |
или
 |
где 
−i-ый член последовательности.
Последовательности можно задавать тремя способами: словестно, аналитически и рекуррентно.
При словестном задании последовательности, описывается из каких элементов она состоит.
Последовательность нечетных чисел:
| 1, 3, 5, 7, ... | (1) |
Последовательность простых чисел :
| 2, 3, 5, 7, 11, ... | (2) |
и т.д.
Последовательности (1) и (2) мы задали словестно.
Последовательность называется заданной аналитически, если указана формула ее n-го члена.
Последовательность нечетных чисел аналитически задается формулой
 |
Действительно. Взяв для n значения 1, 2, 3, ... мы получим последовательность (1).
Отметим, что последовательность простых чисел невозможно задать аналитически.
Последовательность задана рекуррентно, если указан метод вычисления n - го члена, при известных предыдущих членах последовательности.
Пример задания рекуррентной последовательности:
  |
В этой последовательности
  |
Определение 2. Числовая последовательность, в котором все члены равны называется стационарным.
Пример стационарной последовательности:
 |
Просмотр содержимого документа
«Лекция 1. "Последовательности. Основные понятия".»
Лекция 1. Последовательности. Основные понятия и определения.
Электронный курс лекций
«Математический анализ»
к.п.н., преподаватель высшей категории Никитин М.Е. Раменское, 2015
Лекция 1. Последовательности. Основные понятия и определения.
Действительные числа
Множество всех действительных чисел обозначается R . Его подмножества называются числовыми.
- Операции сложения. Для любой пары действительных чисел a и b определено единственное число, называемое их суммой и обозначаемое a + b , такое, что при этом выполняются следующие условия:
1.1
1.2
1.3 Существует такое число, называемое нулем и обозначаемое 0, что
1.4 Для любого числа
, существует число называемое ему противоположным
и обозначаемое – а , для которого
Число
называется разностью чисел и обозначается
2.Операции умножения. Для любой пары действительных чисел a и b определено единственное число, называемое их произведением и обозначаемое ab , такое, что при этом выполняются следующие условия:
2.1
2.2
2.3 Существует такое число, называемое единицей и обозначаемое 1, что
b и c 0 , то ac bc транзитивность. Если a b и b c , то a c если a b , то для любого числа c имеет место a + c b + c если a b и c 0 , то ac bc 5. Непрерывность. Для любых непустых числовых множеств Х и У, таких что для каждой пары чисел , выполняется неравенство существует число а, удовлетворяющее условию Х У _________|_|_|_|_|_______________|_|_|_|_|___________ х а у " width="640"
2.4 Для любого числа
существует число называемое ему обратным и обозначаемое
, для которого
3 .Связь операций сложения и умножения
4 . Упорядоченность
Для любых двух различных чисел a и b имеет место одно из двух соотношений: либо
транзитивность. Если a b и b c , то a c
если a b , то для любого числа c имеет место a + c b + c
если a b и c 0 , то ac bc
- транзитивность. Если a b и b c , то a c если a b , то для любого числа c имеет место a + c b + c если a b и c 0 , то ac bc
5. Непрерывность. Для любых непустых числовых множеств Х и У, таких что для каждой пары чисел ,
выполняется неравенство
существует число а, удовлетворяющее условию
Х У
_________|_|_|_|_|_______________|_|_|_|_|___________
х а у
0 , а n натуральное число. Число b называется корнем n -й степени из числа a , если . Обозначение . Неотрицательное значение корня называется его арифметическим значением. , где p и q – целые, , т. е. r –рациональное число, то для a 0 Если называется Для любого числа неотрицательное число абсолютной величиной или модулем. Свойства модуля " width="640"
Определение. Множество элементов, обладающих свойствами 1-5, содержащее более одного элемента, называется множеством действительных чисел, а каждый его элемент – действительным числом.
N – множество натуральных чисел;
Z – множество целых чисел;
Q – множество рациональных чисел .
и натурального n степень
определяется как
произведение n
Для любого числа
сомножителей, равных a .
Пусть a 0 , а n натуральное число. Число b называется корнем n -й степени из числа a , если
. Обозначение
. Неотрицательное значение корня
называется его арифметическим значением.
, где p и q – целые,
, т. е. r –рациональное число, то для a 0
Если
называется
Для любого числа
неотрицательное число
абсолютной величиной или модулем. Свойства модуля
Расширенная числовая прямая. Окрестности .
Геометрически множество действительных чисел изображается направленной прямой, а отдельные числа - точками этой прямой. Поэтому совокупность действительных чисел часто называют числовой прямой или числовой осью, а отдельные числа – ее точками.
Часто бывает удобно дополнить множество действительных чисел элементами, обозначаемыми через и - (плюс бесконечность и минус бесконечность). Считаем по определению, что выполняется неравенство . Множество действительных чисел R дополненное этими символами называется расширенным множеством действительных чисел (расширенной числовой прямой) и обозначается . Бесконечности называются также бесконечно удаленными точками числовой прямой, остальные точки называются конечными точками числовой прямой.
Напомним определения некоторых важных типов подмножеств расширенной числовой прямой .
Пусть
Множество
- отрезок;
Множество
- интервал;
- полуинтервал;
Множество
- полуинтервал;
Множество
Все они – промежутки расширенной числовой прямой.
a , b – концы промежутков;
a x b – x – внутренние точки;
b - a – длина промежутка ( сам промежуток – конечный).
Важным является понятие окрестности конечной и бесконечно удаленной точки числовой прямой.
, то
числа а называется интервал
- окрестностью
Если
, то есть
В случае
В случае
Предел последовательности
Одной из важнейших операций мат. Анализа является операция предельного перехода. Рассмотрим простейшую форму предельного перехода, основанную на понятии предела числовой последовательности.
1.Числовые последовательности
В элементарном курсе математики было дано понятие последовательности, и примерами могут служить арифметическая и геометрическая прогрессия.
Определение Если каждому числу n натурального ряда чисел 1,2,3,…, n ,… ставится в соответствие по определенному закону некоторое вещественное число , то множество занумерованных чисел
(1)
называются числовой последовательностью. Обозначение последовательности
. Например,
Элемент или член последовательности
соответственно
Введем понятие арифметических операций над числовыми последовательностями.
. Соответственно:
Пусть даны последовательности
или
- сумма последовательностей;
- разность последовательностей;
или
- произведение последовательностей;
или
или
- частное последовательностей.
2.Ограниченные и неограниченные последовательности
называется ограниченной сверху (снизу),
Определение 1. Последовательность
если существует такое число M (число m ), что каждый элемент
последовательности
удовлетворяет неравенству
M – верхняя грань; m – нижняя грань.
- условие ограниченности
последовательности сверху (снизу).
Замечание Любая ограниченная сверху (снизу) последовательность имеет бесчисленное множество верхних ( нижних) граней.
Определение 2. Последовательность называется ограниченной с обеих сторон или просто ограниченной, если существует такие числа M и m , что каждый элемент последовательности удовлетворяет неравенству
M – верхняя грань; m – нижняя грань.
Если ограничена, то все элементы этой последовательности удовлетворяют неравенству , где
Определение 3. Последовательность называется неограниченной, если для любого положительного числа А найдется элемент этой последовательности, удовлетворяющий неравенству .
Примеры:
1)Последовательность -1, -4, -9, …,- ,… - ограничена сверху и не ограничена снизу. Верхняя грань – число больше или равно -1.
2)Последовательность 1, ½,1/3,…,1/ n , … - ограничена.
3)Последовательность 1, 2, 1, 3, …., n , 1, ( n +1), … - не ограничена.
3.Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности.
Введем определения бесконечно больших и бесконечно малых последовательностей.
1 неравенство не имеет места для всех элементов с нечетными номерами. Определение 2. Последовательность называется бесконечно малой, если для можно указать номер N такой, что при все элементы этой последовательности удовлетворяют неравенству . Рассмотрим пример: , Последовательность При | q |1 – бесконечно большая; При | q | – бесконечно малая. Докажем первое утверждение Используя формулу бинома Ньютона, получаем Если | q |1, то . элементы. Отсюда . Фиксируем и выбираем номер N столь большим, чтобы имело место неравенство . Из этого неравенства и неравенства (1) следует неравенство . Так как, при . Тем самым доказано, что при | q |1 " width="640"
Определение 1. Последовательность называется бесконечно большой, если для любого положительного числа А можно указать номер N такой, что для все элементы удовлетворяют неравенству
Замечание 1
Любая бесконечно большая последовательность является неограниченной.
Замечание 2
Неограниченная последовательность может и не быть бесконечно большой.
Пример:
Неограниченная последовательность 1,2,1,3,…, n ,… не является бесконечно большой, поскольку при А1 неравенство не имеет места для всех элементов с нечетными номерами.
Определение 2. Последовательность называется бесконечно малой, если для можно указать номер N такой, что при все элементы этой последовательности удовлетворяют неравенству .
Рассмотрим пример:
,
Последовательность
При | q |1 – бесконечно большая;
При | q | – бесконечно малая.
Докажем первое утверждение
Используя формулу бинома Ньютона, получаем
Если | q |1, то
.
элементы. Отсюда
.
Фиксируем
и выбираем номер N столь большим, чтобы имело место неравенство
. Из этого неравенства и неравенства (1) следует неравенство
. Так как,
при
. Тем самым доказано, что при | q |1
рассматриваемая последовательность является бесконечно большой.
Второе утверждение доказывается аналогично, применяя бином Ньютона и определение бесконечно малой последовательности.
Свойства бесконечно малых последовательностей
Теорема 1
Сумма двух бесконечно малых последовательностей есть последовательность бесконечно малая.
Доказательство
Пусть - бесконечно малые последовательности.
Докажем, что - бесконечно малая последовательность
- произвольное число.
Пусть
- номер, начиная с которого
- номер, начиная с которого
Так как
, то, обозначая
, получаем, что,
. Это означает, что
начиная с некоторого номера N выполняется неравенство
- бесконечно малая.
последовательность
Теорема 2
Разность двух бесконечно малых последовательностей есть последовательность бесконечно малая.
Доказательство аналогичное, только, вместо
берем
Следствие Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
Теорема 3
Бесконечно малая последовательность ограничена.
Доказательство
Пусть
- бесконечно малая последовательность. Пусть
- произвольное
число.
. Обозначим через
Пусть N – номер, начиная с которого
для
Очевидно, что
.
, что означает
ограниченность последовательности.
Теорема 4
Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность представляет собой бесконечно малую последовательность.
Доказательство
Пусть - бесконечно малая последовательность;
Пусть - ограниченная последовательность.
Так как
- ограниченная последовательность, то
, что
.
- бесконечно малая
- произвольное число. Так как
Возьмем
последовательность, то для положительного числа
можно указать N такой, что при
выполняется
неравенство
.
Тогда при
.
Поэтому последовательность - бесконечно малая.
Следствие
Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей представляет собой бесконечно малую последовательность.
Замечание
Частное двух бесконечно малых последовательностей может быть последовательностью любого типа и даже может не иметь смысла.
Например
бесконечно большая последовательность
бесконечно малая последовательность
Если бесконечно много элементов последовательности
равны 0, то последовательность
не имеет смысла.
Теорема 5
Если все элементы бесконечно малой последовательности равны одному и тому же числу с , то с=0.
Доказательство
0, существует N , начиная с которого . все элементы , Это означает, что при тогда последовательность имеет смысл, если ее элементы рассматривать, начиная с номера . Докажем теперь, что бесконечно малая последовательность. " width="640"
Пусть
, положим
. Начиная с номера N , соответствующему этому
, то
-
выполняется неравенство
. Так как
, а
противоречие.
Теорема 6
Если - бесконечно большая последовательность, то, начиная с некоторого
номера n определена последовательность , которая является бесконечно малой
последовательностью. Если все элементы бесконечно малой последовательности
не равны 0, то последовательность - бесконечно большая.
Доказательство
Отметим, что у бесконечно большой последовательности лишь конечное число элементов может быть равно 0. Из определения бесконечно большой последовательности вытекает, что для данного A 0, существует N , начиная с которого
.
все элементы
,
Это означает, что при
тогда последовательность
имеет смысл, если ее элементы рассматривать,
начиная с номера
. Докажем теперь, что
бесконечно
малая последовательность.
Пусть - произвольное число. Для числа , такой, что при
выполняется неравенство . Поэтому, начиная с указанного номера N . Будет
выполняться неравенство , то есть доказано, что последовательность
- бесконечно малая.
Доказательство второй части теоремы проводится аналогично.
Сходящиеся последовательности и их основные свойства
Определение
Последовательность называется сходящейся, если существует такое число а , что последовательность является бесконечно малой. При этом число а называется пределом последовательности . В соответствии с эти определением всякая бесконечно малая последовательность сходится и имеет своим пределом число 0.
Другое определение
удовлетворяют
Последовательность
называется сходящейся, если существует такое число а ,
что
можно указать номер
, такой, что при
все
(1). Число а – предел последовательности.
неравенству
Символическая запись
или
при
.
Бесконечно большую последовательность иногда называют последовательностью, сходящейся к бесконечности. Символическая запись .
Если элементы бесконечно большой последовательности, начиная с некоторого номера имеют определенный знак, то последовательность сходится к бесконечности определенного знака. Символическая запись
Замечание 1
Неравенство (1) эквивалентно неравенствам . Эти неравенства означают, что элемент находится в - окрестности числа а (это интервал ).
Еще определение
Последовательность называется сходящейся, если существует такое число а , что в - окрестности числа а находятся все элементы последовательности, начиная с некоторого номера.
Определение сходящейся последовательности утверждает, что разность - бесконечно малая последовательность. Следовательно, всякий элемент сходящейся последовательности, имеющей предел а , можно представить в виде (2), где - элемент бесконечно малой последовательности.
Замечание 2
Из определения предела последовательности, очевидно, что конечное число элементов не влияет на сходимость этой последовательности и на величину этого предела.
или
.
© 2022, Никитин Михаил Евгеньевич 894 5
Рекомендуем курсы ПК и ППК для учителей
Похожие файлы
Вебинар для учителей
Свидетельство об участии БЕСПЛАТНО!
Полезное для учителя
Реализация образовательных программ осуществляется с применением исключительно электронного обучения и ДОТ
