Лекция 10.ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ.

Лекция 10.ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ.

Тип.

Возможны два случая:  1. Если хотя бы один из показателей m илиn‒ нечетный, то соответствующая функция подводится под дифференциал и интеграл сводится к вычислению двух интегралов от степенных функций по формуле:

Пример:

Решение:

Если оба показателя m илиn‒ нечетные, то множитель для подведения под дифференциал отделяют от меньшей из степеней.

2. Если оба показателя степени m илиn‒ четные, интеграл находится понижением порядка (степени) в два раза с помощью следующих формул тригонометрии:

Пример:

Решение:

Тип.    Интегралы вида

берутся по следующим формулам тригонометрии:

Пример:

Решение:

Тип.                      Интегралы вида ,

где ‒ рациональная функция относительно .

Интегралы этого вида берутся универсальной подстановкой , далее используются формулы тригонометрии, выражающие через :

Пример:           

Решение:

Интегрирование некоторых видов иррациональных функций. 

Тип.      Интегралы вида      

берутся выделением полного квадрата под корнем и сводятся к следующим табличным:               

Пример 1:

Решение:

Пример 2:

Решение:

Тип.    Интегралы вида

берутся выделением в числителе производной от подкоренного выражения:

, при этом исходный интеграл разобьется на сумму двух интегралов.   Первый из них

Второй интеграл относится к интегралам первого типа, рассмотренным выше.

Пример:

Решение:

Лекция 11.ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ФОРМУЛА НЬЮТОНА ‒ ЛЕЙБНИЦА.

 Определенным интегралом от функции f(x) на промежутке [a;b] называется приращение первообразной функции F(x) при изменении аргумента от x = a до x = b.

Обозначается

где a ‒ нижний предел интегрирования, а b‒верхний предел интегрирования.

Из определения следует:

Пример.

Решение: .

Домашнее задание : Пример

Найти неопределенный интеграл.