СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ

Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно

Скидки до 50 % на комплекты
только до 02.06.2025

Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой

Организационный момент

Проверка знаний

Объяснение материала

Закрепление изученного

Итоги урока

Лекция 7. "Первый замечательный предел".

Категория: Математика

Нажмите, чтобы узнать подробности

Замеча́тельные преде́лы — термины, использующиеся в советских и российских учебниках по математическому анализу для обозначения двух широко известных математических тождеств со взятием предела:

  • Первый замечательный предел:

    {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1.}

  • Второй замечательный предел:

    {\displaystyle \lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=e.}

Показать полностью

Просмотр содержимого документа
«Лекция 7. "Первый замечательный предел".»

Предел функции в точке. Основные теоремы о пределах  Первый замечательный предел   к.п.н., преподаватель высшей категории  Никитин М.Е.   Раменское, 2021

Предел функции в точке. Основные теоремы о пределах Первый замечательный предел

к.п.н., преподаватель высшей категории Никитин М.Е. Раменское, 2021

Предел функции Предел функции в точке Односторонние пределы Предел функции при x стремящемся к бесконечности Основные теоремы о пределах Вычисление пределов Раскрытие неопределенностей Первый замечательный предел

Предел функции

  • Предел функции в точке
  • Односторонние пределы
  • Предел функции при x стремящемся к бесконечности
  • Основные теоремы о пределах
  • Вычисление пределов
  • Раскрытие неопределенностей
  • Первый замечательный предел
Предел функции в точке Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки x 0 , кроме, быть может самой точки x 0 .  Число А называют пределом функции в точке x 0 (или при ), если для любого положительного ε найдется такое положительное число δ , что для всех х из δ – окрестности точки x 0 справедливо неравенство:

Предел функции в точке

Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки x 0 , кроме, быть может самой точки x 0 .

Число А называют пределом функции в точке x 0 (или при ), если для любого положительного ε найдется такое положительное число δ , что для всех х из δ – окрестности точки x 0 справедливо неравенство:

Предел функции в точке ε окрестность точки А y   А    0 х 0 х δ окрестность точки x 0 Геометрический смысл предела: для всех х из δ  – окрестности точки x 0 точки графика функции лежат внутри полосы, шириной 2 ε , ограниченной прямыми: у = А +  ε , у = А -  ε .

Предел функции в точке

ε окрестность точки А

y

А

0

х 0

х

δ окрестность точки x 0

Геометрический смысл предела: для всех х из δ – окрестности точки x 0 точки графика функции лежат внутри полосы, шириной 2 ε , ограниченной прямыми: у = А + ε , у = А - ε .

0 найдется такое δ 0 , что для всех справедливо неравенство: Предел слева записывают так: " width="640"

Односторонние пределы

В определении предела функции

предполагается, что x стремится к x 0 любым способом: оставаясь меньше, чем x 0 (слева от x 0 ), большим, чем x 0 (справа от x 0 ), или колеблясь около точки x 0 .

Бывают случаи, когда способ приближения аргумента x к x 0 существенно влияет на значение предела, поэтому вводят понятия односторонних пределов.

Число А 1 называют пределом функции слева в точке x 0 , если для любого ε 0 найдется такое δ 0 , что для всех справедливо неравенство:

Предел слева записывают так:

Односторонние пределы  Число А 2 называют пределом функции справа в точке x 0 , если Предел справа записывают так:  Пределы функции слева и справа называют односторонними пределами . y y А 2  А 1 =А 2 =А  А 1  Очевидно, если существует   0 0 х х х 0 х 0 то существуют и оба односторонних предела, причем А = А 1 = А 2

Односторонние пределы

Число А 2 называют пределом функции справа в точке x 0 , если

Предел справа записывают так:

Пределы функции слева и справа называют односторонними пределами .

y

y

А 2

А 1 2

А 1

Очевидно, если существует

0

0

х

х

х 0

х 0

то существуют и оба односторонних предела, причем А = А 1 = А 2

M или при x - M точки графика функции лежат внутри полосы шириной 2 ε , ограниченной прямыми: у = А + ε , у = А - ε . А 0 х М " width="640"

Предел функции при x стремящемся к бесконечности

Пусть функция y = f(x) определена в промежутке .

Число А называют пределом функции при , если

y

Геометрический смысл этого определения таков:

существует такое число М , что при х M или при x - M точки графика функции лежат внутри полосы шириной 2 ε , ограниченной прямыми:

у = А + ε , у = А - ε .

А

0

х

М

Основные теоремы о пределах Рассмотрим теоремы, которые облегчают нахождение пределов функций. Формулировка теорем, когда или аналогичны, поэтому будем пользоваться обозначением: . Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) пределов:  Предел произведения двух функций равен произведению пределов:  Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

Основные теоремы о пределах

Рассмотрим теоремы, которые облегчают нахождение пределов функций.

Формулировка теорем, когда или аналогичны, поэтому будем пользоваться обозначением: .

Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) пределов:

Предел произведения двух функций равен произведению пределов:

Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

Основные теоремы о пределах Предел дроби равен пределу числителя, деленному на предел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю:  Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела:  Предел показательно – степенной функции:

Основные теоремы о пределах

Предел дроби равен пределу числителя, деленному на предел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю:

Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела:

Предел показательно – степенной функции:

x 0 , то существует соответственно ее левый предел: или ее правый предел: " width="640"

Основные теоремы о пределах

Если между соответствующими значениями трех функций

при этом:

выполняются неравенства:

тогда:

Если функция f(x) монотонна и ограничена при x x 0 или при

x x 0 , то существует соответственно ее левый предел:

или ее правый предел:

Вычисление пределов Вычисление предела:  начинают с подстановки предельного значения x 0 в функцию f(x) . Если при этом получается конечное число, то предел равен этому числу.   Если при подстановки предельного значения x 0 в функцию f(x)  получаются выражения вида:  то предел будет равен:

Вычисление пределов

Вычисление предела:

начинают с подстановки предельного значения x 0 в функцию f(x) .

Если при этом получается конечное число, то предел равен этому числу.

Если при подстановки предельного значения x 0 в функцию f(x) получаются выражения вида:

то предел будет равен:

Вычисление пределов Часто при подстановке предельного значения x 0 в функцию f(x)  получаются выражения следующих видов:  Эти выражения называются неопределенности , а вычисление пределов в этом случае называется раскрытие неопределенности.

Вычисление пределов

Часто при подстановке предельного значения x 0 в функцию f(x) получаются выражения следующих видов:

Эти выражения называются неопределенности , а вычисление пределов в этом случае называется раскрытие неопределенности.

Раскрытие неопределенностей Раскрытие неопределенности     Если f(x) – дробно – рациональная функция, необходимо разложить на множители числитель и знаменатель дроби   Если f(x) – иррациональная дробь, необходимо умножить числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное числителю.

Раскрытие неопределенностей

Раскрытие неопределенности

Если f(x) – дробно – рациональная функция, необходимо разложить на множители числитель и знаменатель дроби

Если f(x) – иррациональная дробь, необходимо умножить числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное числителю.

Раскрытие неопределенностей Раскрытие неопределенности     Если f(x) – дробно – рациональная функция или иррациональная дробь необходимо разделить числитель и знаменатель дроби на x в старшей степени

Раскрытие неопределенностей

Раскрытие неопределенности

Если f(x) – дробно – рациональная функция или иррациональная дробь необходимо разделить числитель и знаменатель дроби на x в старшей степени

Раскрытие неопределенностей Раскрытие неопределенности    Умножим и разделим функцию на сопряженное выражение.

Раскрытие неопределенностей

Раскрытие неопределенности

Умножим и разделим функцию на сопряженное выражение.

Первый замечательный предел Функция не определена при x = 0 . Найдем предел этой функции при С М  x Обозначим: S 1 - площадь треугольника OMA , S 2 - площадь сектора OM А, S 3 - площадь треугольника O СА,  В А О Из рисунка видно, что S 1  2  3

Первый замечательный предел

Функция

не определена при x = 0 .

Найдем предел этой функции при

С

М

x

Обозначим:

S 1 - площадь треугольника OMA ,

S 2 - площадь сектора OM А,

S 3 - площадь треугольника O СА,

В

А

О

Из рисунка видно, что S 1 2 3

Первый замечательный предел С М  x  В А О

Первый замечательный предел

С

М

x

В

А

О

Первый замечательный предел    Формула справедлива также при x    0 Следствия:

Первый замечательный предел

Формула справедлива также при x 0

Следствия:

Первый замечательный предел

Первый замечательный предел


Скачать

Рекомендуем курсы ПК и ППК для учителей

Вебинар для учителей

Свидетельство об участии БЕСПЛАТНО!