Предел функции в точке. Основные теоремы о пределах Первый замечательный предел
к.п.н., преподаватель высшей категории Никитин М.Е. Раменское, 2021
Предел функции
- Предел функции в точке
- Односторонние пределы
- Предел функции при x стремящемся к бесконечности
- Основные теоремы о пределах
- Вычисление пределов
- Раскрытие неопределенностей
- Первый замечательный предел
Предел функции в точке
Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки x 0 , кроме, быть может самой точки x 0 .
Число А называют пределом функции в точке x 0 (или при ), если для любого положительного ε найдется такое положительное число δ , что для всех х из δ – окрестности точки x 0 справедливо неравенство:
Предел функции в точке
ε окрестность точки А
y
А
0
х 0
х
δ окрестность точки x 0
Геометрический смысл предела: для всех х из δ – окрестности точки x 0 точки графика функции лежат внутри полосы, шириной 2 ε , ограниченной прямыми: у = А + ε , у = А - ε .
0 найдется такое δ 0 , что для всех справедливо неравенство: Предел слева записывают так: " width="640"
Односторонние пределы
В определении предела функции
предполагается, что x стремится к x 0 любым способом: оставаясь меньше, чем x 0 (слева от x 0 ), большим, чем x 0 (справа от x 0 ), или колеблясь около точки x 0 .
Бывают случаи, когда способ приближения аргумента x к x 0 существенно влияет на значение предела, поэтому вводят понятия односторонних пределов.
Число А 1 называют пределом функции слева в точке x 0 , если для любого ε 0 найдется такое δ 0 , что для всех справедливо неравенство:
Предел слева записывают так:
Односторонние пределы
Число А 2 называют пределом функции справа в точке x 0 , если
Предел справа записывают так:
Пределы функции слева и справа называют односторонними пределами .
y
y
А 2
А 1 =А 2 =А
А 1
Очевидно, если существует
0
0
х
х
х 0
х 0
то существуют и оба односторонних предела, причем А = А 1 = А 2
M или при x - M точки графика функции лежат внутри полосы шириной 2 ε , ограниченной прямыми: у = А + ε , у = А - ε . А 0 х М " width="640"
Предел функции при x стремящемся к бесконечности
Пусть функция y = f(x) определена в промежутке .
Число А называют пределом функции при , если
y
Геометрический смысл этого определения таков:
существует такое число М , что при х M или при x - M точки графика функции лежат внутри полосы шириной 2 ε , ограниченной прямыми:
у = А + ε , у = А - ε .
А
0
х
М
Основные теоремы о пределах
Рассмотрим теоремы, которые облегчают нахождение пределов функций.
Формулировка теорем, когда или аналогичны, поэтому будем пользоваться обозначением: .
Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) пределов:
Предел произведения двух функций равен произведению пределов:
Постоянный множитель можно выносить за знак предела:
Основные теоремы о пределах
Предел дроби равен пределу числителя, деленному на предел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю:
Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела:
Предел показательно – степенной функции:
x 0 , то существует соответственно ее левый предел: или ее правый предел: " width="640"
Основные теоремы о пределах
Если между соответствующими значениями трех функций
при этом:
выполняются неравенства:
тогда:
Если функция f(x) монотонна и ограничена при x x 0 или при
x x 0 , то существует соответственно ее левый предел:
или ее правый предел:
Вычисление пределов
Вычисление предела:
начинают с подстановки предельного значения x 0 в функцию f(x) .
Если при этом получается конечное число, то предел равен этому числу.
Если при подстановки предельного значения x 0 в функцию f(x) получаются выражения вида:
то предел будет равен:
Вычисление пределов
Часто при подстановке предельного значения x 0 в функцию f(x) получаются выражения следующих видов:
Эти выражения называются неопределенности , а вычисление пределов в этом случае называется раскрытие неопределенности.
Раскрытие неопределенностей
Раскрытие неопределенности
Если f(x) – дробно – рациональная функция, необходимо разложить на множители числитель и знаменатель дроби
Если f(x) – иррациональная дробь, необходимо умножить числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное числителю.
Раскрытие неопределенностей
Раскрытие неопределенности
Если f(x) – дробно – рациональная функция или иррациональная дробь необходимо разделить числитель и знаменатель дроби на x в старшей степени
Раскрытие неопределенностей
Раскрытие неопределенности
Умножим и разделим функцию на сопряженное выражение.
Первый замечательный предел
Функция
не определена при x = 0 .
Найдем предел этой функции при
С
М
x
Обозначим:
S 1 - площадь треугольника OMA ,
S 2 - площадь сектора OM А,
S 3 - площадь треугольника O СА,
В
А
О
Из рисунка видно, что S 1 2 3
Первый замечательный предел
С
М
x
В
А
О
Первый замечательный предел
Формула справедлива также при x 0
Следствия:
Первый замечательный предел