Лекция для группы на 14.05.2020 Т11, Са11 по теме Подобие тел. Отношение площадей поверхностей и объемов подобных тел.

14.05.2020

Лекция для группы Т11, Са11 по теме

Подобие тел. Отношение площадей поверхностей и объемов подобных тел.

ЗАПИСАТЬ ЛЕКЦИЮ, прочитав ее и выписав самое главное.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Два тела подобны, если одно из них может быть получено из другого путём увеличения (или уменьшения) всех его линейных размеров в одном и том же отношении. Пример 1: Автомобиль и его модель – подобные тела. Два тела (фигуры) зеркально подобны, если одно из них подобно зеркальному отражению другого. 

Пример 2: Картина и её фотонегатив зеркально подобны друг другу.

В подобных и зеркально подобных фигурах все соответственные углы ( линейные и двугранные ) равны.

В подобных телах  многогранные и телесные углы равны; в зеркально подобных телах они зеркально равны.

Если два тетраэдра (две треугольные пирамиды) имеют соответственно пропорциональные рёбра (или соответственно подобные грани), то они подобны или зеркально подобны. Пример 3: Если грани первой пирамиды вдвое больше, чем у второй, то высоты, апофемы, радиус описанного круга первой пирамиды также вдвое больше, чем у второй.

Эта теорема не имеет места для многогранников с большим числом граней. Предположим, что мы соединили все рёбра куба в его вершинах посредством шарниров; тогда мы можем изменить форму этой фигуры, не растягивая её стержни, и получить из начального куба параллелепипед. 

Пример 4: Две правильные призмы или пирамиды с одинаковым числом граней подобны, если радиусы их оснований пропорциональны их высотам.  Два круглых цилиндра или конуса подобны, если радиусы их оснований пропорциональны их высотам.

УТВЕРЖДЕНИЕ 1: Если два и более тел подобны, то площади всех соответствующих плоских и кривых поверхностей этих тел пропорциональны квадратам любых соответствующих отрезков.

 УТВЕРЖДЕНИЕ2:Если два и более тел подобны, то их объёмы, а также объёмы любых их соответствующих частей, пропорциональны кубам любых соответствующих отрезков.

П р и м е р 5:   Чашка диаметром 8 см и высотой 10 см  вмещает  0.5 литра воды. Каких размеров должна быть подобная чашка, вмещающая 4 литра воды ?

Объемы подобных тел пропорциональны кубам соответствующих линейных размеров.

Пример 6: На рисунке выше показаны два куба, сторона одного из которых в 3 раза больше стороны другого.

Объем тела с рисунка а) V=x*x*x=x³

Объем тела с рисунка б) V=3x*3x*3x=27x³

Следовательно, тело на рис. б) имеет объем объем 3³, т.е. его объем в 27 раз больше объема тела на рис. а).

Пример 7: Определение массы тела, подобного данному.

Масса автомобиля 1050 кг. Изготовлена модель автомобиля в масштабе 1:60. Определить массу модели автомобиля, если она сделана из того же материала, что и сам автомобиль.

Решение:

(Объем модели)/(объем автомобиля)=(1/60)³, поскольку объемы подобных тел пропорциональны кубам соостветствующих линейных размеров.

Масса =плотность*объем, а так как автомобиль и модель сделаны из одного материала, значит:

(Масса модели)/(Масса автомобиля)=(1/60)³

Следовательно,

Масса модели = (Масса автомашины) *(1/60)³=(10050)/(60³)=0,0049 кг=4,9г.