Лекция на тему аналитическая геометрия на плоскости

ТЕМА 4. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

4.1 Уравнения прямой на плоскости

Пусть на плоскости задана система координат. Рассмотрим уравнение вида

. (4.1)

Это равенство, если оно выполняется не для всех пар чисел и , называется уравнением некоторой линии в заданной системе координат . Уравнение (4.1) определяет или задает линию .

Известно, что любое линейное уравнение с двумя переменными определяет прямую линию на плоскости.

Чтобы написать уравнение прямой , ее надо задать. Существуют разные способы задания прямой, что приводит к различным по форме уравнениям, которые равносильны между собой, так как имеют одно и то же множество решений – координаты точек прямой .

Зададим прямую при помощи точки , принадлежащей данной прямой, и ненулевого вектора , перпендикулярного этой прямой (рис. 4.1).

. (4.2)

Каждый ненулевой вектор , перпендикулярный данной прямой, называется ее нормальным вектором.

Уравнение (1.2) называется уравнением прямой, заданной с помощью нормального вектора и точки.

Зададим прямую при помощи двух точек и , принадлежащих этой прямой.

Эти условия однозначно определяют прямую, так как через две заданные точки можно провести только одну прямую.

О Рис. 4.2.

Пусть - произвольная точка прямой . Так как , то и (4.3)

Уравнение (4.3) называется уравнением прямой, проходящей через две заданные точки.

Уравнения (4.2) и (4.3) с помощью тождественных преобразований приводятся к равносильному виду

. (4.4)

Уравнение (4.4) называется общим уравнением прямой линии. Здесь - какие-либо числа. Некоторые коэффициенты могут равняться нулю, однако хотя бы одно из чисел или должно быть отлично от нуля, иначе в уравнении исчезнут обе текущие координаты и .

Если в (4.4) какой-либо из коэффициентов равен нулю, то:

1) при : - прямая проходит через начало координат;

2) при ( ): - прямая, параллельная оси ;

3) при ( ): - прямая, параллельная оси ;

4) при : - ось ;

5) при : - ось .

Уравнение (4.5) называется уравнением прямой «в отрезках».

Из уравнения (4.4) можно выразить переменную как функцию от аргумента при :

. (4.6)

Уравнение (4.6) известно из элементарной математики, его называют уравнением с угловым коэффициентом.

Угловой коэффициент , где - меньший из неотрицательных углов, образуемых прямой с положительным направлением оси . Ордината точки пересечения прямой с осью равна (рис. 4.4).

Приведем еще некоторые сведения справочного характера.

Если известны угловые коэффициенты и двух прямых (рис. 4.5.), то один из углов между этими прямыми определяется по формуле

. (4.7)

Второй угол равен .

Условие параллельности двух прямых:

. (4.8)

Условие перпендикулярности двух прямых:

. (4.9)

Точка пересечения прямых и определяется как решение системы:

(4.10)

Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Расстояние определяется по формуле

. (4.11)

4.2 Кривые второго порядка

Любое линейное уравнение задает на плоскости прямую. Линии, задаваемые уравнениями вида

, (4.12)

называются кривыми второго порядка. За исключением вырожденных случаев имеется всего 3 кривых второго порядка: эллипс (частный случай - окружность), гипербола и парабола, они имеют следующие канонические уравнения и вид.

1. Окружность

Окружностью радиуса с центром в точке называется множество точек плоскости удаленных от точки на расстоянии .

Уравнение окружности имеет вид: . (4.13)

В частности, полагая, получим уравнение окружности с центром в начале координат .

1. Эллипс

Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух фиксированных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

Каноническое уравнение эллипса имеет вид:

Здесь - полуоси эллипса; О (0; 0) – центр эллипса. - половина расстояния между фокусами. Вершины эллипса .

Фокусы _-

Прямые называются директрисами эллипса.

Рис. 4.6

Форму эллипса характеризует отношение , называемое эксцентриситетом эллипса. Чем меньше эксцентриситет, тем меньше вытянут эллипс вдоль фокальной оси, т.е. оси на которой лежат фокусы.

В предельном случае при эллипс переходит в окружность.

Если в каноническом уравнении эллипса , то фокусы располагаются на оси ОУ и имеют координаты

1. Гипербола

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух фиксированных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:

Здесь - действительная полуось гиперболы, - мнимая полуось гиперболы.

Точки - вершины гиперболы.

Фокусы гиперболы

_{Гипербола имеет две асимптоты}

Для построения гиперболы сначала строят основной прямоугольник, ограниченный прямыми , затем проводят его диагонали, которые совпадают с асимптотами гиперболы.

Форму гиперболы характеризует эксцентриситет . Чем меньше эксцентриситет, тем более вытянут её основной в направлении фокальной оси.

Гипербола называется сопряженной к гиперболе (4.15).

Здесь - мнимая полуось гиперболы, - действительная полуось гиперболы Вершины сопряженной гиперболы и фокусы лежат на оси ОY.

1. Парабола

Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от фиксированной точки, называемой фокусом и данной прямой, называемой директрисой. Расстояние от фокуса до директрисы, называется параметром параболы и обозначается через .

Каноническое уравнение параболы имеет вид: , где . (4.16)

Точка - вершина параболы, ось - ось симметрии параболы.

Фокус и уравнение директрисы .

Парабола располагается симметрично относительно оси .

1. Уравнение кривых второго порядка с осями симметрии параллельными осям координат

Если в уравнении (4.12) кривой второго порядка , то каноническое уравнение можно получить с помощью параллельного переноса системы координат, при котором начало новой системы помещается в точку , а «старые» и «новые» координаты связаны формулами:

(4.17)

Уравнение эллипса с центром имеет вид:

Если ,

то вершины эллипса , а фокусы

Если ,

то вершины эллипса , а фокусы

Уравнение гиперболы с центром имеет вид:

Вершины гиперболы , а фокусы

Уравнение сопряженной гиперболы с центром имеет вид:

Вершины гиперболы а фокусы

Уравнение параболы с вершиной с осью симметрии параллельной оси OX :

(4.21)

или

(4.22)

Уравнение параболы с вершиной с осью симметрии параллельной оси OY :

(4.23)

или

(4.24)

Пример. Используя параллельный перенос системы координат привести уравнение кривой к каноническому виду и построить кривую.

Решение. Преобразуем уравнение линии, группируя члены с и члены с , и вынося за скобки коэффициенты при квадратах:

,

;

выделим в скобках полные квадраты:

,

,

,

_{разделим обе части уравнения на (-36):}

_{Получили уравнение сопряженной гиперболы (4.20) с центром в точке .}

Выполним параллельный перенос

,

получили каноническое уравнение гиперболы в системе , где - новое начало.

1. Полярная система координат

Полярная система координат на плоскости определяется заданием некоторой точки О, называемой полюсом, луча , исходящего из этой точки и называемого полярной осью, и единицы масштаба (рис. 4.10).

Пусть М – произвольная точка плоскости. Обозначим  = ОМ – расстояние точки М от полюса,   – угол, отсчитываемый от полярной оси против часовой стрелки до направления ОМ.

Числа   и  называются полярными координатами точки М,   – полярный радиус,   – полярный угол точки М.

Задание пары чисел ( ,  ) однозначно определяет точку М на плоскости. Если ограничить изменение   пределами (или ), то каждой точке плоскости также будет однозначно соответствовать пара чисел ( ).

Исключение составляет полюс, для которого   = 0, а угол   не определен.

Рис. 4.10

Часто оказывается полезным рассматривать на плоскости полярную систему координат (ПСК) вместе с декартовой системой координат (ДСК). Выберем ДСК так, чтобы ее начало 0 совпадало с полюсом, а ось ОХ была направлена по полярной оси (рис.4.11). Тогда полярные координаты ( ,  ) и декартовы координаты ( ) точки М связаны соотношениями:

(4.27)

Из этих формул следует: 

Рис. 4.11

Формула для   определяет два угла   и   +   в промежутке [0; 2 ). Чтобы уточнить, какой из углов выбрать, нужно учесть четверть, в которой находится точка М, или воспользоваться формулами (4.28).

Чтобы перейти от уравнения линии в декартовых координатах к ее полярному уравнению, нужно вместо ( ), подставить в уравнение их выражения из формул (4.25). Обратный переход от полярного уравнения к уравнению в декартовых координатах осуществляется с помощью формул (4.26), (4.28).

Пример . Построить в полярной системе координат точки :

Решение. Построение точек показано на рис. 4.12.

Рис. 4.12

Тема 5. Аналитическая геометрия в пространстве

Уравнение , связывающее три переменные , задает в пространстве некоторую поверхность .

Основная задача: на основании некоторой информации о данной поверхности (обычно геометрического смысла) составить уравнение, которому удовлетворяют координаты любой точки поверхности и только они.

Рассмотрим простейшую поверхность – плоскость.

5.1 Плоскость в пространстве

Плоскость в пространстве можно задать различными способами; соответственно получим различные виды уравнений плоскости.

1) Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно нормальному вектору :

, (5.1)

где - нормаль.

2) Общее уравнение плоскости

, (5.2)

где коэффициенты , , - координаты нормального вектора .

Уравнение (5.2) следует из уравнения (5.1), если в нем раскрыть скобки и число обозначить за . Таким образом, плоскость задается уравнением первой степени относительно , и .

Верно и обратное утверждение: всякое уравнение первой степени вида (5.2) определяет в заданной прямоугольной системе координат плоскость.

3) Уравнение плоскости «в отрезках»

(5.3)

О Рис.5.2

где , и - величины направленных отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях , и соответственно. Уравнение (5.3) может быть получено из общего уравнения плоскости (5.2) переносом числа (если ) в правую часть равенства и делением уравнения на число .

4) Уравнение плоскости, проходящей через три точки , и , не лежащие на одной прямой, может быть записано в виде:

. (5.4)

Рис. 5.3

Уравнение вида (5.4) получено из следующих соображений. Если - произвольная точка плоскости , то три вектора , ,

лежащие на плоскости , компланарны, а следовательно, их смешанное произведение равно нулю, т.е. . Используя выражение смешанного произведения в координатной форме, получим уравнение (5.4).

Если в уравнении (5.4) раскрыть определитель (лучше всего разложением по первой строке) и привести подобные члены, то получим уравнение вида (5.2).

5) Расстояние от точки до плоскости , заданной общим уравнением вычисляется по формуле:

. (5.5)

6) Угол между двумя плоскостями.

Пусть даны две плоскости:

с нормалью и

с нормалью .

В качестве угла между плоскостями и принимается угол между их нормалями: или в координатной форме

. (5.6)

7) Условие параллельности двух плоскостей и :

или в координатной форме

. (5.7)

Если , то обе плоскости и совпадают.

8) Условие перпендикулярности двух плоскостей и :

или в координатной форме

. (5.8)

9) Неполные уравнения плоскости.

Общее уравнение плоскости называется полным, если все его коэффициенты , , и отличны от нуля. Если хотя бы один из коэффициентов равнее нулю, то уравнение (5.2) называется неполным.

Рассмотрим различные виды неполных уравнений.

а) Если , то плоскость проходит через начало координат (поскольку координаты удовлетворяют этому уравнению);

б) Если , то плоскость параллельна оси ;

в) Если , то плоскость параллельна оси ;

г) Если , то плоскость параллельна оси .

Признак параллельности плоскости координатной оси:

- если в уравнении нет переменной , то плоскость параллельна оси ;

- если в уравнении нет переменной , то плоскость параллельна оси ;

- если в уравнении нет переменной , то плоскость параллельна оси ,

т.е. плоскость параллельна той координатной оси, наименование которой отсутствует в уравнении плоскости.

д) Если , то плоскость параллельна координатной плоскости (так как эта плоскость одновременно параллельна оси и оси );

е) Если , то плоскость параллельна координатной плоскости (так как эта плоскость одновременно параллельна оси и оси );

ж) Если , то плоскость параллельна координатной плоскости (так как эта плоскость одновременно параллельна оси и оси );

з) Если , то уравнение задает координатную плоскость (так как плоскость параллельна плоскости и проходит через начало координат);

и) Если , то уравнение задает координатную плоскость (так как плоскость параллельна плоскости и проходит через начало координат);

к) Если , то уравнение задает координатную плоскость (так как плоскость параллельна плоскости и проходит через начало координат).

5.2 Прямая в пространстве

Для задания прямой в пространстве одного уравнения недостаточно. Это объясняется тем, что всякое уравнение с тремя переменными задает в пространстве некоторую поверхность , а не линию.

Рассмотрим различные виды уравнений прямой в пространстве.

1) Уравнения прямой, проходящей через точку параллельно направляющему вектору

Рис. 5.4

(5.9)

Уравнения (5.9) называются каноническими уравнениями прямой.

Уравнения (5.9) получены из следующих соображений.

Если - произвольная точка прямой, то вектор коллинеарен вектору , а значит, их координаты пропорциональны, из чего и следуют уравнения (5.9).

2) Уравнения прямой, проходящей через две точки и .

Рис. 5.5

(5.10)

Уравнения (5.10) также являются каноническими уравнениями прямой, так как числа, стоящие в знаменателях, есть координаты вектора , являющегося направляющим для данной прямой.

3) Параметрические уравнения прямой в пространстве:

где (5.11)

Уравнения (5.11) получаются из канонических уравнений (5.9), если все три отношения в них приравнять к некоторому параметру , а затем выразить и через .

При этом - координаты точки , через которую проходит прямая параллельно направляющему вектору .

Замечание. Если какая–либо координата вектора равна , то равен и знаменатель соответствующей дроби в уравнениях (5.9).

Не следует воспринимать такую дробь как деление на . Если, например, , то уравнения (5.9) примут вид: .

Перейдем к параметрическим уравнениям прямой. Получим

где или

Первое уравнение , означает, что прямая лежит на плоскости , перпендикулярной оси .

4) Общие уравнения прямой в пространстве

(5.12)

Уравнения (5.12) задают прямую, как линию пересечения двух плоскостей. Общие уравнения прямой могут быть преобразованы к каноническому или параметрическому виду.

5) Пусть даны две прямые, заданные каноническими уравнениями

Угол между прямыми и определяется, как угол между направляющими векторами данных прямых и :

, или в координатной форме

. (5.13)

6) Условие параллельности двух прямых и :

или . (5.14)

7) Условие перпендикулярности двух прямых и :

или . (5.15)

5.3 Прямая и плоскость в пространстве

Рассмотрим смешанные задачи на прямую и плоскость в пространстве.

Пусть дана прямая с направляющим вектором и плоскостью с нормалью .

1) Угол между прямой и плоскостью определяется формулой

. (5.16)

2) Условие параллельности прямой и плоскости:

3) Условие перпендикулярности прямой и плоскости:

Рис. 5.5

, или . (5.18)