Лекция по теме: "Числовая последовательность и способы её задания"

ТО 207 законспектировать и выполнить задания! Прислать на почту: nata.vodiahina2014@yandex.ru

Тема: Определение числовой последовательности и способы её задания.

Цели:

- знать, что такое числовая последовательность;

- способы задания числовой последовательности;

- уметь различать различные способы задания числовых последовательностей.

Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы (законспектировать!)

Определение 1. Функцию y = f(x), x N называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают: y = f(n) или y₁, y₂, y₃, ..., y_n, ... или (y_n).

В данном случае независимая переменная – натуральное число.

Способы задания числовой последовательности.

Словесный способ: правила задания последовательности описываются словами, без указания формул или когда закономерности между элементами последовательности нет.

Пример 1. Последовательность простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, .... .

Пример 2. Произвольный набор чисел: 1, 4, 12, 25, 26, 33, 39, ... .

Пример 3. Последовательность чётных чисел 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ... .

Аналитический способ: любой n-й элемент последовательности можно определить с помощью формулы.

Пример 1. Последовательность чётных чисел: y = 2n.

Пример 2. Последовательность квадрата натуральных чисел: y = n²

1, 4, 9, 16, 25, ..., n², ... .

Пример 3. Стационарная последовательность: y = C

C, C, C, ..., C, ... .

Частный случай: y = 5; 5, 5, 5, ..., 5, ... .

Пример 4. Последовательность y = 2ⁿ

2, 2², 2³, 2⁴, ..., 2ⁿ, ... .

Рекуррентный способ: указывается правило, позволяющее вычислить n-й элемент последовательности, если известны её предыдущие элементы.

Пример 1. Арифметическая прогрессия: a₁=a, a_n+1=a_n+d, где a и d – заданные числа, d - разность арифметической прогрессии. Пусть a₁=5, d=0,7, тогда арифметическая прогрессия будет иметь вид: 5; 5,7; 6,4; 7,1; 7,8; 8,5; ... .

Пример 2. Геометрическая прогрессия: b₁= b, b_n+1= b_n q, где b и q – заданные числа, b 0, q 0; q – знаменатель геометрической прогрессии. Пусть b₁=23, q=½, тогда геометрическая прогрессия будет иметь вид: 23; 11,5; 5,75; 2,875; ... .

Пример 3. Последовательность Фибоначчи. Эта последовательность легко задаётся рекуррентно: y₁=1, y₂=1, y_n-2+y_n-1, если n=3, 4, 5, 6, ... . Она будет иметь вид:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... .

Аналитически последовательность Фибоначчи задать трудно, но возможно. Формула, по которой определяется любой элемент этой последовательности, выглядит так:

Решение задач:

Пример 1. Составить возможную формулу n-го элемента последовательности (y_n):

а) 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...;

б) 4, 8, 12, 16, 20, ...;

Решение.

а) Это последовательность нечётных чисел. Аналитически эту последовательность можно задать формулой y = 2n+1.

б) Это числовая последовательность, у которой последующий элемент больше предыдущего на 4. Аналитически эту последовательность можно задать формулой

y = 4n.

Пример 2. Выписать первые десять элементов последовательности, заданной рекуррентно: y₁=1, y₂=2, y_n = y_n-2+y_n-1, если n = 3, 4, 5, 6, ... .

Решение.

Каждый последующий элемент этой последовательности равен сумме двух предыдущих элементов.

y₁=1;

y₂=2;

y₃=1+2=3;

y₄=2+3=5;

y₅=3+5=8;

y₆=5+8=13;

y₇=8+13=21;

y₈=13+21=34;

y₉=21+34=55;

y₁₀=34+55=89.

Пример 3. Последовательность (y_n) задана рекуррентно: y₁=1, y₂=2, y_n= 5 y_n-1- 6y_n-2. Задать эту последовательность аналитически.

Решение.

Найдём несколько первых элементов последовательности.

y₁=1;

y₂=2;

y₃=5y₂-6y₁=10-6=4;

y₄=5y₃-6y₂=20-12=8;

y₅=5y₄-6y₃=40-24=16;

y₆=5y₅-6y₄=80-48=32;

y₇=5y₆-6y₅=160-96=64.

Получаем последовательность: 1; 2; 4; 8; 16; 32; 64; ..., которую можно представить в виде

2⁰; 2¹; 2² ; 2³ ; 2⁴ ; 2⁵ ; 2⁶ ... .

n = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7... .

Анализируя последовательность, получаем следующую закономерность: y = 2^n-1.

Пример 4. Дана последовательность y_n=24n+36-5n².

а) Сколько в ней положительных членов?

б) Найти наибольший элемент последовательности.

в) Есть в данной последовательности наименьший элемент?

Решение:

Данная числовая последовательность – это функция вида y = -5x² +24x+36, где x

а) Найдём значения функции, при которых -5x² +24x+360. Решим уравнение -5x² +24x+36=0.

D = b²-4ac=1296, X₁=6, X₂=-1,2.

Уравнение оси симметрии параболы y = -5x² +24x+36 можно найти по формуле x= , получим: x=2,4.

- + -

-1,2 6

Неравенство -5x² +24x+360 выполняется при -1,2 В этом интервале находится пять натуральных чисел (1, 2, 3, 4, 5). Значит в заданной последовательности пять положительных элементов последовательности.

б) Наибольший элемент последовательности определяется методом подбора и он равен y₂=64.

в) Наименьшего элемента нет.

Задания для практической работы:

Из двух вариантов практической работы выберите свой вариант. Это зависит от начальной букв фамилии: А-К (1 вариант), Л-Я (2 ва­риант. При замене одного варианта другим практическая работа считается невыполненной.

Вариант 1.

1. Составьте возможную формулу n-го элемента последовательности (y_n), если последовательность имеет вид: 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... .

2. Выписать первые десять элементов последовательности заданной рекуррентно: y₁=1, y₂=3, y_n=y_n-2+y_n-1.

3. Найдите формулу n-го элемента и сумму первых 15 элементов арифметической прогрессии с первым элементом 3,4 и разностью 0,9.

4. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии с первым членом 3,5 и знаменателем -

5. В арифметической прогрессии a₅= -150, a₆= -147. Найдите номер первого положительного элемента этой последовательности.

6. Укажите наиболее близкий к нулю элемент арифметической прогрессии

22,7; 21,4; ... .

7. Дана последовательность y_n=12n + 8 - 2,5n².

а) Сколько в ней положительных элементов?

б) Найти наибольший элемент последовательности.

в) Есть в данной последовательности наименьший элемент?

Вариант 2.

1. Составьте возможную формулу n-го элемента последовательности (y_n), если последовательность имеет вид: 7, 11, 15, 19, 23, ... .

2. Выписать первые десять элементов последовательности заданной рекуррентно: y₁=0, y₂=1, y_n=2y_n-2+y_n-1.

3. Найдите формулу n-го элемента и сумму первых 15 элементов арифметической прогрессии с первым элементом 3,5 и разностью 0,8.

4. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии с первым членом 4,5 и знаменателем -

5. В арифметической прогрессии a₅= 160, a₆= 156. Найдите номер первого отрицательного элемента этой последовательности.

6. Укажите наиболее близкий к нулю элемент арифметической прогрессии

-15,1; -14,4; ... .

7. Дана последовательность y_n=12n + 8 - 2,5n².

а) Сколько в ней положительных элементов?

б) Найти наибольший элемент последовательности.

в) Есть в данной последовательности наименьший элемент?