Леонард Эйлер Учебный проект 8б Топта Степан

«Образовательный центр им. Героя Советского Союза М.М. Расковой» Энгельсского муниципального района

Леонард Эйлер - великий математик

1. Выполнил
2. учащийся 8 класса А

Топта Степан Дмитриевич

Проверила

Затеева Валентина Павловна

Содержание.

Введение………………....……………………………………………………….........3 Глава I. Биография Л. Эйлера...............................................……………..….....4

Глава II. Научные открытия Л. Эйлера.....…………………………………........…....8

Глава III. Круги Эйлера. Решение задач с помощью кругов Эйлера.......................10

Глава IV. Мосты Эйлера ...................................................................................

Заключение............................................................................................................16

Список приложений:

Приложение 1. Круги Эйлера: множества и подмножества ...............................17

Приложение 2. Поход в кино..………....................................……......…..………….18

Приложение 3. Значки и марки....………………………………….........……....…..19

Приложение 4. Любимые мультфильмы.......................................……........….……20

Приложение 5. Мосты Эйлера …………………………………....................……21

Приложение 6. Заядлый велосипедист ..............................................................22

Список источников, использованной литературы и интернет-ресурсов ……………………………………………....................................................................25

Введение.

Если вы действительно любите математику, читайте Эйлера, изложение его сочинений отличается удивительной ясностью и точностью.

П.С. Лаплас.

Основной задачей школы научить детей самим добывать знания, перерабатывать эти знания и применять их в каждодневной жизни. Поставленные задачи может решить ученик, с развитым логическим мышлением. В связи с этим во многие школьные предметы вложены различного типа задачи, которые и развивают у детей логическое мышление. Решая эти задачи, мы применяем различные приёмы решения. Одни из приёмов решения – это использование кругов Эйлера. А кто такой Л. Эйлер?

Эйлер принадлежит к числу гениев, чьё творчество стало достоянием всего человечества. До сих пор школьники всех стран изучают тригонометрию и логарифмы в том виде, какой придал им Эйлер. Имя Эйлера дорого всему прогрессивному человечеству, которое чтит в нём одного из величайших геометров мира.

Цель моей работы: изучить биографию одного из величайших ученых математиков России - Леонарда Эйлера, его вклад в математику. Познакомиться с некоторыми методами решения нетрадиционных задач, познакомиться с кругами Эйлера, научиться решать задачи применяя правила и круги Эйлера, а также рассмотреть задачу о мостах, которая легла в основу теории графов.

Вопросы рассматриваемые в данной работе актуальны были, есть и будут. Ведь развитию творческой активности, инициативы, любознательности, смекалки способствует решение нестандартных задач – логических, большой вклад в решение которых внес Леонард Эйлер. Вся наша жизнь – это непрерывное решение больших и маленьких логических проблем. Без умения правильно, логически рассуждать, поступать разумно, жить трудно. Каждый день мы, сами того не замечая, решаем логические задачи. Логические задачи нужны для того, чтобы развивать умение анализировать и обобщать данные, искать возможные пути решения, формировать стратегию, проверять данные на достоверность. Логические задачи сейчас очень популярны и они должны входить в наше развитие и образование с самых ранних лет.

Глава I. Биография Л. Эйлера.

Эйлеру повезло: он родился в маленькой тихой Швейцарии, куда изо всей Европы приезжали мастера и ученые, не желавшие тратить дорогое рабочее время на гражданские смуты или религиозные распри. Так переселилась в Базель из Голландии семья Бернулли: уникальное созвездие научных талантов во главе с братьями Якобом и Иоганном. По воле случая юный Эйлер попал в эту компанию и вскоре сделался достойным членом базельского питомника гениев.

Первые годы детства Леонарда прошли в селении Рихен, куда семейство Эйлеров переехало вскоре после рождения сына.

Начальное образование мальчик получил под руководством своего отца. Любопытно, что у него достаточно рано проявились математические способности. Когда Леонарду было около 8 лет родители отправили его учиться в гимназию, которая находилась в Базеле. В тот момент он проживал вместе с бабушкой по материнской линии.

В 13-летнем возрасте талантливому ученику разрешили посещать лекции в Базельском университете. Леонард настолько хорошо и быстро учился, что на него вскоре обратил внимание профессор Иоганн Бернулли, который был братом Якоба Бернулли.

Профессор предоставил юноше множество математических трудов и даже разрешил ему приходить к нему домой по субботам, для разъяснения труднопонимаемого материала. Через несколько месяцев подросток успешно сдал экзамены в Базельский университет на факультет искусств. После 3-х лет обучения в вузе он удостоился ученой степени магистра, выступив с лекцией на латыни, в ходе которой сравнил систему Декарта с натуральной философией Ньютона¹.

В скором времени, желая угодить отцу, Леонард поступил на богословский факультет, продолжая активно заниматься математикой. Интересен факт, что позже Эйлер - старший разрешил сыну связать свою жизнь с наукой, поскольку осознавал его одаренность. В то время биографии Леонард Эйлер опубликовал несколько научных работ, включая «Диссертацию по физике о звуке». Данная работа участвовала в конкурсе на освободившуюся должность профессора физики.

Несмотря на положительный отзыв, 19-летнего Леонарда сочли чересчур молодым, чтобы доверить ему профессорскую кафедру.

Вскоре Эйлер получил заманчивое приглашение от представителей Санкт-Петербургской академии наук, которая только находилась на пути своего становления и остро нуждалась в талантливых ученых.

В 1727 г. Леонард Эйлер приехал в Санкт-Петербург, где стал адъюнктом высшей математики. Российское правительство выделило ему квартиру и определило оклад в размере 300 рублей в год. Математик сразу же начал учить русский язык, который смог освоить в сжатые сроки. Позднее Эйлер подружился с Кристианом Гольдбахом – постоянным секретарем академии. Она вели активную переписку, которая сегодня признана важным источником по истории науки в 18 веке.

Данный период биографии Леонарда был необычайно плодотворен. Благодаря своим трудам он быстро приобрел мировую известность и признание со стороны научного сообщества. Политическая нестабильность в России, прогрессировавшая после смерти императрицы Анны Ивановны, вынудила ученого выехать из Санкт-Петербурга.

В 1741 г., по приглашению прусского монарха Фридриха 2, Леонард Эйлер вместе с семьей отправился в Берлин. Немецкий король хотел основать академию наук, поэтому был заинтересован в услугах ученого.²

За 14 лет первого петербургского периода жизни Эйлер подготовил к печати около 80 трудов и опубликовал свыше 50. Эйлер придавал большое значение своей связи с Россией. Позже, на вопрос Фридриха II Прусского, где он получил свои знания, Эйлер отвечал, что всем обязан своему пребыванию в Петербургской Академии.³ 

Когда в 1746 г. в Берлине открылась своя академия, Леонард занял должность руководителя математического отделения. Кроме этого ему доверили следить за обсерваторией, а также решать кадровые и финансовые вопросы. Авторитет Эйлера, а с ним и материальное благополучие, с каждым годом росли. В результате, он стал настолько богат, что смог купить роскошное имение в Шарлоттенбурге.

Отношения Леонарда с Фридрихом 2 было сложно назвать простыми. Некоторые биографы математика полагают, что Эйлер держал обиду на прусского монарха за то, что тот не предложил ему должность президента Берлинской академии.

Эти и многие другие поступки короля, вынудили Эйлера покинуть Берлин в 1766 г. В то время он получил выгодное предложение от Екатерины 2, которая недавно взошла на престол.

В Петербурге Леонарда Эйлера встретили с большими почестями. Ему сразу же предоставили престижный пост и были готовы выполнять практически любые его просьбы. Хотя карьера Эйлера продолжала стремительно развиваться, его здоровье оставляло желать лучшего. Катаракта левого глаза, беспокоившая его еще в Берлине, все больше прогрессировала.

В результате, в 1771 г. Леонарду была сделана операция, которая привела к абсцессу и фактически полностью лишила зрения.

Через несколько месяцев в Петербурге произошел серьезный пожар, который затронул и жилище Эйлера. Фактически ослепшего ученого чудом удалось спасти Питеру Гримму – мастеровому из Базеля. По личному распоряжению Екатерины 2, для Леонарда был построен новый дом.

Несмотря на многие испытания, Леонард Эйлер никогда не переставал заниматься наукой. Когда по состоянию здоровья он уже не мог писать, математику помогал его сын Иоганн Альбрехт.

В 1734 г. Эйлер взял в жены Катарину Гзель, дочь швейцарского живописца. В этом браке у пары родилось 13 детей, 8 из которых умерли еще в детстве.

Стоит заметить, что его первый сын, Иоганн Альбрехт, в будущем также стал талантливым математиком. В 20-летнем возрасте он оказался в составе Берлинской академии наук.

Второй сын, Карл, занимался изучением медицины, а третий, Кристоф, связал свою жизнь с военной деятельностью. Одна из дочерей Леонарда и Катарины, Шарлота, стала женой голландского аристократа, а другая, Хелена, вышла замуж за русского офицера.

После приобретения усадьбы в Шарлоттенбурге, Леонард привез туда овдовевшую мать, сестру и обеспечил жильем всех своих детей.

В 1773 г. Эйлер лишился любимой супруги. Через 3 года он вступил в брак с Саломеей-Абигайль. Интересен факт, что его избранница была сводной сестрой его покойной жены.

Эйлер активно трудился до последних дней. В сентябре 1783 года 76-летний учёный стал ощущать головные боли и слабость. 7 (18) сентября после обеда, проведённого в кругу семьи, беседуя с академиком А. И. Лекселем о недавно открытой планете Уран и её орбите, он внезапно почувствовал себя плохо. Эйлер успел произнести: «Я умираю», — и потерял сознание. Через несколько часов, так и не приходя в сознание, он скончался от кровоизлияния в мозг^[58].

«Он перестал вычислять и жить», — сказал Кондорсе на траурном заседании Парижской Академии наук.

Его похоронили на Смоленском лютеранском кладбище в Петербурге. Надпись на памятнике на немецком языке гласила: «Здесь покоятся останки знаменитого во всём свете Леонарда Эйлера, мудреца и праведника. Родился в Базеле 4 апреля 1707 года, умер 7 сентября 1783 года». По смерти Эйлера его могила затерялась и была найдена, в заброшенном состоянии, только в 1830 году. В 1837 году Академия наук заменила эту надгробную плиту новым гранитным надгробием (существующим и поныне) с надписью на латинском языке «Леонарду Эйлеру — Петербургская Академия» 

В день смерти ученого на его 2-х грифельных досках были обнаружены формулы, описывающие полет на воздушном шаре. В скором времени в Париже на шаре совершат свой полет братья Монгольфье.

Вклад Эйлера в науку являлся настолько масштабным, что его статьи исследовались и печатались на протяжении еще 50 лет после кончины математика.

Глава II. Научные открытия Л. Эйлера

В Леонард Эйлер глубоко изучал механику, теорию музыки и архитектуру. Он издал около 470 работ на самые разные темы. Фундаментальный научный труд «Механика» затрагивал все области данной науки, включая небесную механику.

Ученый изучал природу звука, составив теорию удовольствия, вызываемого музыкой. При этом Эйлер присвоил интервалу тона, аккорду или их последовательности численные значения. Чем ниже была степень, тем выше оказывалось удовольствие. Во второй части «Механики» Леонард уделил внимание судостроению и навигации.

Эйлер внес неоценимый вклад в развитие геометрии, картографии, статистики и теории вероятности. Отдельного внимания заслуживает 500-страничный труд «Алгебра». Интересен факт, что эту книгу он написал с помощью стенографиста. Леонард глубоко исследовал теорию Луны, военно-морские науки, теорию чисел, натуральную философию и диоптрику.

Кроме 280 статей, Эйлер опубликовал множество научных трактатов. В период биографии 1744-1766 гг. он основал новый раздел математики – «вариационное исчисление».

Из-под его пера вышли трактаты по оптике, а также о траекториях планет и комет. Позже Леонард издал такие серьезные труды, как «Артиллерия», «Введение в анализ бесконечно малых», «Дифференциальное исчисление» и «Интегральное исчисление».

В течение всех лет, проведенных в Берлине, Эйлер исследовал оптику. В результате он стал автором трехтомной книги «Диоптрика». В ней он описывал разные способы усовершенствования оптических приборов, включая телескопы и микроскопы.

Среди сотен наработок Эйлера наиболее заметной считается представление теории функций. Мало кому известен тот факт, что именно он первым ввел обозначение f(x) – функции «f» по аргументу «x».

Ученый также вывел математические обозначения для тригонометрических функций в том виде, в каком они известны сегодня. Он стал автором символа «e», для образования натурального логарифма (известный как «число Эйлера»), а также греческую букву «Σ» для итоговой суммы и букву «i» для определения мнимой единицы.⁴

Леонард использовал показательные функции и логарифмы в аналитических доказательствах. Он изобрел метод, посредством которого удалось разлаживать логарифмические функции в степенной ряд.

Кроме этого, Эйлер применял логарифмы в работе с отрицательными и комплексными числами. В результате, он существенно расширил область использования логарифмов. Затем ученый нашел уникальный способ решения квадратных уравнений. Он разработал новаторскую технику расчета интегралов, задействуя сложные пределы. Кроме этого Эйлер вывел формулу вариационного исчисления, которая сегодня известна под названием – «уравнение Эйлера-Лагранжа».

Леонард доказал малую теорему Ферма, тождества Ньютона, теорему Ферма о суммах 2-х квадратов, а также усовершенствовал доказательство теоремы Лагранжа о сумме 4-х квадратов. Он также привнес важные дополнения в теорию совершенных чисел, которая волновала многих математиков того времени.

Эйлер разработал способ решения уравнения «пучка Эйлера-Бернулли», которое затем начали активно использовать в инженерных вычислениях.

За свои заслуги в сфере астрономии Леонард удостоился многих престижных наград от Парижской академии. Он провел точные расчеты параллакса Солнца, а также с высокой точностью определил орбиты комет и прочих небесных тел.

Вычисления ученого помогли составить сверхточные таблицы небесных координат.

Глава III. Круги Эйлера. Решение задач с помощью кругов Эйлера

«… круги очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления»

Леонард Эйлер

Круги Эйлера — геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами. Используется в математике, логике, менеджменте и других прикладных направлениях. А впервые Эйлер их использовал в письмах к немецкой принцессе. Эйлер писал тогда, что «круги очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления». При решении целого ряда задач Леонард Эйлер использовал идею изображения множеств с помощью кругов, и они получили название «круги Эйлера». Позднее аналогичный прием использовал ученый Венн, и приёмы Венна назвали «диаграммы Венна».

Строгого определения понятия множества не существует. Множество, совокупность элементов как единое целое (множество натуральных чисел, множество треугольников на плоскости). Множества, состоящие из конечного числа элементов, называют конечными, а остальные множества – бесконечными. Например, множество китов в океане конечно, а множество рациональных чисел бесконечно. Конечное множество может быть задано перечислением его элементов (множество учеников в данном классе задается их списком в классном журнале). Понятие подмножества в определении кругов Эйлера – это, например, во множестве учеников класса (А) можно выделить множество ударников (В), которые входят во множество всех учеников (ударники – подмножество) (Приложение 1.)

Множество всех действительных чисел Эйлер изобразил с помощью этих кругов: N - множество натуральных чисел, Z – множество целых чисел, Q – множество рациональных чисел, R – множество всех действительных чисел.⁵ (Приложение 1).

Преимущества метода:

- необязательно знание формул;

- простота рассуждений;

- наглядность.

Недостатки: применяется для решения определённых типов задач; необходимость в построениях.

Задача 1

Некоторые ребята из нашего класса любят ходить в кино. Известно, что 15 ребят смотрели фильм «Обитаемый остров» (Множество А), 11 человек – фильм «Стиляги» (Множество В), из них 6 смотрели и «Обитаемый остров», и «Стиляги». Сколько человек смотрели только фильм «Стиляги»? (Приложение 3)

Решение:

6 человек, которые смотрели фильмы «Обитаемый остров» и «Стиляги», помещаем в пересечение множеств (Желтый цвет).

15 – 6 = 9 – человек, которые смотрели только «Обитаемый остров» (Красный цвет).

11 – 6 = 5 – человек, которые смотрели только «Стиляги» (Зеленый цвет).

Получаем

Ответ: 5 человек смотрели только «Стиляги».

Задача 2.

Из 52 школьников 23 собирают значки, 35 собирают марки, а 16 — и значки, и марки. Остальные не увлекаются коллекционированием. Сколько школьников не увлекается коллекционированием? (Приложение 4)

Решение: 

В условии этой задачи не так легко разобраться. Чтобы облегчить рассуждения, воспользуемся кругами Эйлера

Круг 1 – все дети класса (52 школьника);

Круг 2 – кто коллекционирует значки (23 школьника);

Круг 3 – кто коллекционирует марки (35 школьника).

Красный цвет – кто коллекционирует и значки и марки (16 школьников по условию).

Тогда:

23-16=7 - коллекционирует только значки (Сиреневый цвет);

35-16=19 – кто коллекционирует только марки (Оранжевый цвет);

52-7-19=26 – кто ничего не коллекционирует (Зеленый цвет);

Таким образом, получаем, что не увлекается коллекционированием – 26 школьников

Ответ: 26 школьников не увлекается коллекционированием.

52-7-19-16=26

Среди школьников шестого класса проводилось анкетирование по любимым мультфильмам. Самыми популярными оказались три мультфильма: «Белоснежка и семь гномов», «Губка Боб Квадратные Штаны», «Волк и теленок». Всего в классе 38 человек (А). «Белоснежку и семь гномов» выбрали 21 ученик (В), среди которых трое назвали еще «Волк и теленок» (D), шестеро – «Губка Боб Квадратные Штаны» (C), а один написал все три мультфильма. Мультфильм «Волк и теленок» назвали 13 ребят, среди которых пятеро выбрали сразу два мультфильма. Сколько человек выбрали мультфильм «Губка Боб Квадратные Штаны»? (Приложение 5)

Решение:

В этой задаче 3 множества, из условий задачи видно, что все они пересекаются между собой.

Учитывая условие, что среди ребят, которые назвали мультфильм «Волк и теленок» пятеро выбрали сразу два мультфильма, получаем:

21 – 3 – 6 – 1 = 11 – ребят выбрали только «Белоснежку и семь гномов» (Красный цвет).

13 – 3 – 1 – 2 = 7 – ребят смотрят только «Волк и теленок» (Серый цвет).

Получаем: 

38 – (11 + 3 + 1 + 6 + 2 + 7) = 8 – человек смотрят только «Губка Боб Квадратные Штаны» (Зеленый цвет).

Делаем вывод, что «Губка Боб Квадратные Штаны» выбрали 8 + 2 + 1 + 6 = 17 человек.

Ответ. 17 человек выбрали мультфильм «Губка Боб Квадратные Штаны».

2

Во время одного путешествия Эйлеру была предложена задача об острове, расположенном в городе Кенигсберге (ныне город Калининград) и окруженном рекой, через которую перекинуто семь мостов. Вот отрывок из письма Эйлера от 13 марта 1738 года итальянскому математику и инженеру Мариони от 13 марта 1736 года: «Мне была предложена задача об острове, расположенном в г. Кенигсберге и окруженном рекой, через которую перекинуто 7 мостов (Приложение 6). Спрашивается, может ли кто-нибудь непрерывно обойти их, проходя только однажды через каждый мост. И тут же мне было сообщено, что никто еще до сих пор не смог это проделать, но никто и не доказал, что это невозможно. Вопрос этот, хотя и банальный, показался мне, однако, достойным внимания тем, что для его решения недостаточны ни геометрия, ни алгебра, ни комбинаторное искусство. После долгих размышлений я нашел легкое правило, основанное на вполне убедительном доказательстве, с помощью которого можно во всех задачах такого рода тотчас же определить, может ли быть совершен такой обход через какое угодно число и как угодно расположенных мостов или не может». Эйлер не только решил предложенную задачу, но и вывел правило, с помощью которого можно решить все задачи такого рода.

ЗАДАЧА ЭЙЛЕРА: Река, огибающая остров делится на два рукава, через которые переброшено семь мостов. Можно ли, прогуливаясь по городу, пройти через каждый мост точно по одному разу? Эйлер придумал геометрическую модель к задаче. На модели земельные участки, разъединенные рукавами реки, точки А, В, С, D- вершины (узлы), а мосты как бы вытянуты в линии a, b, c, d, e, f, g - ветви (или ребра), соединяющими два последовательных узла. (Приложение 7)

Позже образовавшуюся фигуру называют сетью (или графом). ГРАФ - от греческого слова «графо» - пишу. Теория графов – раздел конечной математики, для которого характерен геометрический подход к решению вопросов. Основным содержанием теории графов является изучение графов. Графы – фигуры (или схемы), состоящие из множества точек, называемых вершинами, и связывающих эти точки отрезков прямых и дуг, называемыми ребрами графа. Графы имеют свойства. Если граф можно нарисовать одним росчерком, т, е, пройти его весь непрерывным движением, проходя по каждой ветви один и только один раз (одним маршрутом)- граф называется уникурсальным (или эйлеровым). Уникурсальный от латинского слова «unus» – один, «cursus» – путь. Если возможен обход всей сети одним маршрутом, то она называется уни

Условия существования уникурсального обхода, обоснованные Эйлером и названные им правилами, очень просты:

1.Сеть, не имеющая нечетных узлов, допускает замкнутый уникурсальный обход с началом в любой точке сети.

2.Сеть, имеющая два и только два нечетных узла, обходится уникурсально, если начать движение с одного нечетного узла и закончить его в другом.

3.Сеть, имеющая больше двух нечетных узлов, нельзя полностью обойти одним маршрутом – сеть не уникурсальна.

Решение задачи с 7 мостами Кенигсберга. Из геометрической модели мостов придуманной Эйлером видно, что сеть имеет 4 узла, в каждом сходится нечетное число ребер (линий) – все узлы нечетные. Следовательно, по правилу 3 сеть не уникурсальна. Требуемого маршрута прогулки по 7 мостам города Кенигсберга не существует. Граф кёнигсбергских мостов имел четыре нечётные вершины (т.е. все), следовательно, невозможно пройти по всем мостам, не проходя ни по одному из них дважды.⁶

А вот если бы существовал мост, соединяющий точки В и С, то получившаяся сеть была бы уникурсальна (в ней было бы 2 всего лишь нечетных узла, а значит по 2 правилу сеть уникурсальна)

Задачу про мосты предложил решить своим одноклассникам заядлый велосипедист Павлик, изобразив на классной доске местность, где он жил прошлым летом. По рассказу Павлика, недалеко от посёлка, расположившегося по берегам реки Оя, есть маленькое глубокое озерцо, от которого берет начало река. При входе в поселок река Оя разделяется на две отдельные речушки, соединенные естественным каналом так, что образуется зеленый островок с пляжем и спортплощадкой. Павлик утверждает, что, возвращаясь на велосипеде со спортивной площадки, находящейся на острове, домой, он проезжает по одному разу по всем восьми мостикам, показанным на плане, на доске, ни разу не прерывая движения. Составив геометрическую модель схемы можно, применяя 2-ое правило Эйлера, доказать утверждения Павлика. Участки поселка А, В, С, Д разъединенные речкой – это узлы сети. Мосты – ветви. Маршрут, начинающийся на участке А (нечетном узле), должен непременно закончиться в В – во втором нечетном узле, остальные два узла С и Д – четные. Добравшись из зоны А в зону В по уникурсальному маршруту, далее в зону Д можно попасть не только по мостику, который уже один раз пройден, но и непосредственно – огибая озеро, что и делал Павлик. Геометрическую модель можно изобразить несколько иначе, объединив узлы В и Д.

Заключение.

Нет ученого, имя которого упоминалось бы в учебной математической литературе столь же часто, как имя Эйлера. Даже в средней школе логарифмы и тригонометрию изучают до сих пор в значительной степени «по Эйлеру».

Материал, разобранный, при работе над рефератом пригодится для решения задач занимательного характера, позволит применять методы и правила для решения нетрадиционных задач. Приобретенные сведения и знания способствуют повышению интеллектуального развития, помогают развить умение наблюдать и анализировать.

Приложение 1. Круги Эйлера: множества и подмножества

А

В

R

Q

Z

Приложение 2. Поход в кино

6

15-6=9

11-6=5

А

В

Приложение 3. Значки и марки

1

2

3

52-7-19-16=26

23-16=7

16

35-16=19

Приложение 4. Любимые мультфильмы

А=38

В=21

С-?

D=13

6

21-3-1-6=11

3

1

15-6=9

Приложение 5. Мосты Эйлера

Приложение 6. Заядлый велосипедист

Список источников, использованной литературы и интернет-ресурсов.

1. Учебная тема: Эйлеровы графы. Электронный ресурс. https://wiki.soiro.ru/Учебная_тема:_Эйлеровы_графы.

2. Решение задач с помощью кругов Эйлера. https://pandia.ru/text/80/398/205.php.

3. Леонард Эйлер. Биография, математика кратко. Электронный ресурс. https://obrazovaka.ru/leonhard-euler.html.

4. Леонард Эйлер - биография, факты, фото. Электронный ресурс https://interesnyefakty.org/leonard-ejler

5. Эйлер Леонард. Электронные книги, биография. Электронный ресурс. https://biblioclub.ru/index.php?page=author_red&id=31484

6. 

   1

   Леонард Эйлер. Биография, математика кратко. Электронный ресурс. https://obrazovaka.ru/leonhard-euler.html

1^ Леонард Эйлер - биография, факты, фото. Электронный ресурс

https://interesnyefakty.org/leonard-ejler/ (дата обращения 26.01.2020г.)

2^ Леонард Эйлер - биография, факты, фото. Электронный ресурс

https://interesnyefakty.org/leonard-ejler/ (дата обращения 26.01.2020г.)

3^ Эйлер Леонард. Электронные книги, биография. Электронный ресурс.

https://biblioclub.ru/index.php?page=author_red&id=31484 (дата обращения 30.01.2020г.)

4^ Леонард Эйлер. Биография, математика кратко. Электронный ресурс.

https://obrazovaka.ru/leonhard-euler.html (дата обращения 26.01.2020г.)

5^ Решение задач с помощью кругов Эйлера

https://pandia.ru/text/80/398/205.php(дата обращения30.01.2020)

6^ Учебная тема: Эйлеровы графы. Электронный ресурс.

https://wiki.soiro.ru/Учебная_тема:_Эйлеровы_графы (дата обращение 27.0122020г.)