11 класс. Определенный интеграл.

Тип урока:

урок оценки и коррекции знаний; повторения, обобщения,

формирования знаний, умений, навыков.

Цели урока:

Обучающие:

повторить теоретический материал; отработать навыки нахождения первообразных, вычисления интегралов и площадей криволинейных трапеций.

Развивающие:

развивать навыки самостоятельного мышления, интеллектуальные навыки, внимание, память.

Воспитательные:

воспитание математической культуры учащихся, повышение интереса к изучаемому материалу.

Ход урока.

1. Мотивационная беседа с последующей постановкой цели.

2. Актуализация опорных знаний.

3. Устная работа.

4. Тренировочные упражнения.

5. Диагностика усвоения системы знаний с последующей взаимопроверкой.

6. Подведение итогов урока.

7. Дополнительное задание по карточкам.

1. Сообщение учащимся темы и цели урока.

2. Актуализация опорных знаний.

3. Решаем самостоятельно по карточкам.

1. Докажите, что функция F(х) = 3х⁴ есть первообразная для функции f(х) = 12х³ на R.

РЕШЕНИЕ:

По определению первообразной F`(х) = f (х). Значит, F`(х) = (3х⁴)` = 3•4•х³ = 12х³

f (х) для всех х R

1. Вычислите интеграл

РЕШЕНИЕ:

= 4(sin - sin ) = 4• = 2.

3. Вычислите площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями у = х + 3, у = 0, х = 1 и х = 3.

РЕШЕНИЕ:

Нарисуем линии, заданные уравнениями и заштрихуем криволинейную трапецию, площадь которой будем находить.

S_АВСД=

Ответ: 10.

4. (дополнительное задание для сильных учащихся). Фигура, ограниченная линиями у = -2х + 8, х = -1, у = 0, делится линией у = х² – 4х + 5 на две части. Найдите площадь каждой части.

Решение:

Рассмотрим функцию у = х² – 4х +5.

у = х² – 4х +5 = (х² – 4х + 4) – 4 + 5 = (х – 2)² + 1, т.е. графиком данной функции является парабола с вершиной К(2; 1).

S_?АВС= .

S_АВКМЕ=

S₁ = S_АВКМЕ + S_?ЕМС, S₁ =

S₂ = S_?АВС – S₁, S₂ = = .

Ответ: и .

Повторение теоретического материала.

Учащиеся задают вопрос и называют ученика, который будет отвечать на этот вопрос.

Если ученик ответил правильно, то он должен задать свой вопрос и т.д.

Если ответ не будет получен, то отвечать придётся тому ученику, который задавал вопрос.

Учащиеся должны следить за тем, чтобы один и тот же вопрос не повторялся два раза и отвечающие тоже.

Перечень возможных вопросов:

• Сформулируйте признак постоянства функции.

• Сформулируйте основное свойство первообразной.

• В чём заключается геометрический смысл основного свойства первообразной?

• Сколько правил нахождения первообразных ты знаешь? Назови их.

• Дайте определение криволинейной трапеции.

• Сформулируйте теорему о площади криволинейной трапеции.

• Что называют интегралом?

• Запишите на доске формулу Ньютона-Лейбница и дайте объяснение каждой буквы.

• Где можно использовать применения интеграла?

• В чём заключается геометрический смысл интеграла?

IV. Устная работа.

1. Какие из функций , , , являются первообразными для функции ?

1. Найдите общий вид первообразных для функций:

а) у =7,5; б) ; в) .

1. Скажите, как найти с помощью интеграла площадь фигуры Ф?

4. Представьте площадь заштрихованной фигуры как сумму или разность площадей Криволинейных трапеций, ограниченных графиками известных вам линий.

б) (S_BMC = S_EBMCD – S_EBCD )

в)

(S_BMC=S_ABCD – S_ABMCD)

г)

(S_BMCE = S_ABMCED – S_ABED)

д)

(S_OMCN = S_OMCD – S_ONCD)

V. Тренировочные упражнения (в форме теста)

Вычислить интеграл:

а) . Ответы: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

б) . Ответы: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Выберите, для какой из функций функция F(х) = 2х + х³ является первообразной:

а) f (х) = 2 + х³;

б) f (х) = 2 + 3х².

VI. Самостоятельная работа .

“5” – за верно решённые 1, 2 и 3_б) задания

“4” - за верно решённые 1, 2 и 3_а) задания

“3” - за верно решённые 1 и 2 задания

Вариант – 1

1° . Найдите общий вид первообразных для функций

а) ; б) .

2° . Вычислите интеграл: а) ; б) .

3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) у = х²+1, у = 0, х = - 1, х = 2.

б) у = 4 – х² и у = х + 2.

Вариант – 2

1° . Найдите общий вид первообразных для функций

а) ; б) .

2° . Вычислите интеграл: а) ; б) .

3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) у = х² + 2 , у = 0, х = - 1, х = 2.

б) у = 4 – х² и у = 2 – х .

 VII. Итог урока, выставление оценок.

VIII. Задание индивидуальное по карточкам.

Раздать карточки с индивидуальным заданием (4-ое задание для более подготовленных учащихся).

1. Найти общий вид первообразных для функции у = .

2. Вычислите интеграл

3. Вычислите площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями у = cos x, у =0,

х = , х = .

1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = х² – 1 и у = 1 – х² .

Большое спасибо за урок.