28.19.Еще пример задания

Составьте таблицу истинности для логической функции

X = (А ↔ B)  ¬(A → (B  C))

в которой столбец значений аргумента А представляет собой двоичную запись числа 27, столбец значений аргумента В – числа 77, столбец значений аргумента С – числа 120. Число в столбце записывается сверху вниз от старшего разряда к младшему. Переведите полученную двоичную запись значений функции X в десятичную систему счисления.

Решение (вариант 1):

1. запишем уравнение, используя более простые обозначения операций:

1. это выражение с тремя переменными, поэтому в таблице истинности будет 2³=8 строчек; следовательно, двоичная запись чисел, по которым строятся столбцы таблицы А, В и С, должна состоять из 8 цифр

2. А	В	С	X
   0	0	0
   0	1	1
   0	0	1
   1	0	1
   1	1	1
   0	1	0
   1	0	0
   1	1	0

   переведем числа 27, 77 и 120 в двоичную систему, сразу дополняя запись до 8 знаков нулями в начале чисел

27 = 00011011₂ 77 = 01001101₂ 120 = 01111000₂

1. теперь можно составить таблицу истинности (см. рисунок справа), в которой строки переставлены в сравнении с традиционным порядком¹; зеленым фоном выделена двоичная записи числа 27 (биты записываются сверху вниз), синим – запись числа 77 и розовым – запись числа 120:

2. вряд ли вы сможете сразу написать значения функции Х для каждой комбинации, поэтому удобно добавить в таблицу дополнительные столбцы для расчета промежуточных результатов (см. таблицу ниже)

3. заполняем столбцы таблицы:

значение равно 1 только в тех строчках, где А = В

значение равно 1 только в тех строчках, где В = 1 или С = 1

значение равно 0 только в тех строчках, где А = 1 и В + С = 0

значение – это инверсия предыдущего столбца (0 заменяется на 1, а 1 – на 0)

результат Х (последний столбец) – это логическая сумма двух столбцов, выделенных фиолетовым фоном

1. чтобы получить ответ, выписываем биты из столбца Х сверху вниз: Х = 10101011₂

2. переводим это число в десятичную систему: 10101011₂ = 2⁷ + 2⁵ + 2³ + 2¹ + 2⁰ = 171

3. таким образом, правильный ответ – 171.

Решение (вариант 2, преобразование логической функции):

1. выполним пп. 1-5 так же, как и в предыдущем способе

2. запишем уравнение, используя более простые обозначения операций:

1. раскроем импликацию через операции И, ИЛИ и НЕ ( ):

1. раскроем инверсию для выражения по формуле де Моргана:

1. таким образом, выражение приобретает вид

2. отсюда сразу видно, что Х = 1 только тогда, когда А = В или (А = 1 и В = С = 0):

   А	В	С	X	Примечание
   0	0	0	1	А = В
   0	1	1	0
   0	0	1	1	А = В
   1	0	1	0
   1	1	1	1	А = В
   0	1	0	0
   1	0	0	1	А = 1, В = С = 0
   1	1	0	1	А = В

3. чтобы получить ответ, выписываем биты из столбца Х сверху вниз: Х = 10101011₂

4. переводим это число в десятичную систему: 10101011₂ = 2⁷ + 2⁵ + 2³ + 2¹ + 2⁰ = 171

5. таким образом, правильный ответ – 171.

1^ Проверьте, что обычно (когда комбинации располагаются по возрастанию соответствующих двоичных чисел), столбец значений аргумента А представляет собой двоичную запись числа 15 = 1111₂, столбец значений аргумента В – числа 51 = 110011₂, столбец значений аргумента С – числа 85 = 10101010₂.