«Алгоритмы аналитических решений линейной стохастической дискретной задачи оптимального программного управления»

КЫРГЫЗСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА ТРАНСПОРТА И АРХИТЕКТУРЫ

им. Н. ИСАНОВА

Кафедра «ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА»

Тема: «Алгоритмы аналитических решений линейной стохастической дискретной задачи оптимального программного управления»

Выполнила:

Жайлообек кызы Клара

Руководитель работы:

к.ф.-м.н., доцент Аширбаев Б.Ы.

Цель магистерской диссертации состоит в исследовании теории линейной дискретной детерминированной и стохастической задачи оптимального программного управления, анализа методов решения, в разработке алгоритмы и программы для численного решения рассмотренных задач.

Магистерская диссертация состоит из введения, трех глав, списка использованной литературы, заключения и приложения.

В первой главе рассмотрены одномерные и многомерные дискретные системы. Исследованы задачи построения переходной матрицы и нахождения векторов состояния многомерной дискретной системы.

В этой же главе исследована детерминированная дискретная задача программного управления. Исследована дискретный принцип максимума как метод решения задачи оптимального программного управления. Исследована стохастическая задача оптимального программного управления и методы ее решения.

Во второй главе исследована детерминированная дискретная задача оптимального программного управления. Рассмотрена дискретная задача оптимального быстродействия как один из частных задач детерминированной дискретной задачи программного управления.

2

В этой же главе рассмотрены задачи: «Оптимальное программное управление в электрической цепи» и «Дискретная задача оптимального программного управления при ограниченной энергии».

В третьей главе исследована стохастическая дискретная задача программного управления. Рассмотрены задачи: «Нахождения статистических характеристик случайного процесса», «Аналитическое конструирование регулятора гирорамы» и «Оптимальное стохастическое управление гирорамой».

В приложении приведены код программы для численных решений задач: «Дискретная задача оптимального программного управления», «Аналитическое конструирование регулятора гирорамы» и «Оптимальное стохастическое управление гирорамой».

3

Оптимальное программное управление в электрической цепи

Рассмотрим электрическую цепь, контурные уравнения Кирхгова, который имеют вид [1]:

(1)

Систему (2) перепишем в виде

(2)

и уравнению (2) приведем к нормальному виду

(3)

где

4

Начальное условие системы (3) задано в виде

(4)

Теперь задачу нахождения оптимального управления в электрической цепи сформулируем в следующем виде: необходимо спроектировать оптимальное управляющее устройство в электрической цепи, т.е. требуется найти управление u=u(t) такое, чтобы соответствующее ему решение задачи (3), (4) удовлетворяло условию

(5)

а функционал

(6)

достигал своего наименьшего возможного значения.

Критерий качества (6) является квадратичной формой и в данном случае оценивает энергетические ограничения в проектируемой системе.

В дальнейшем от непрерывной модели (3) – (6) переходим к дискретной.

Введем замену (7)

где малый период квантования, , 5

Поскольку нам интересует решения только в моменты квантования то и с учетом (7) из (3) имеем

(8)

где (9)

Тогда функционал (6) записывается в виде

(10)

Предположим, что

Условие 1. Пусть система (8) является полностью управляемой т.е. матрица имеет ранг или мерная матрица является невырожденной [2].

Условие 2. Все собственные значения матрицы удовлетворяют неравенству

(11)

  При выполнении условии 1 и 2 задачу (3) – (6) сформулируем следующим образом:

6

требуется найти оптимальный закон изменения напряжения подаваемое на электрический цепь, которое переводит процесс описываемой уравнением (8) из начального состояния

(12)

в конечное состояние

(13)

при условии (10).

Решение задачи (8), (12) можно представить в виде

(14)

При с учетом (13) из (14) будем иметь

(15)

где

Равенство (15) выражает необходимое и достаточное условия, которым должна удовлетворять функция , чтобы система (8) перешла из заданного начального состояние (12) в заданное конечное состояние (13). Кроме того, она должна доставлять минимум функционалу (10).

Такое решение может быть представлено в виде [3]

7

(16)

Тогда вектор c является решением уравнения

(17)

где

(18)

При выполнении условии 1 матрица (18) положительно определенная и невырожденная. Тогда из уравнения (17) имеем

(19)

и управление (16) записывается в виде

(20)

С учетом (20) формула для состояния в (14) примет вид

(21)

Подставляя (20) в (10) получаем

(22)

Квадратичная функция (22) определяет область управляемых состояний задачи (8) – (10).

8

Дискретная задача оптимального программного управления

при ограниченной энергии

Пусть управляемый процесс описывается разностным уравнением

(23)

где мерный вектор cостояния, постоянные матрицы, мерный вектор управления,

Требуется найти оптимальное управление которое переводит процесс из начального состояния

(24)

в конечное

(25)

при этом функционал

(26)

достигал своего наименьшего возможного значения, где штрих обозначает транспонирование.

Решение задачи (23) – (26) находится аналогично рещений задачи (8) – (10)

9

Глава 3. Стохастическая дискретная задача программного управления

Постановка задачи

Пусть поведение модели объекта управления описывается уравнением

(27)

где матрицы размера -мерная случайная последовательность с математическим ожиданием и ковариационной функцией -мерный случайный вектор, характеризующий начальное состояние системы, последовательность взаимно независимых гауссовских случайных -мерных векторов, некоррелированных с и удовлетворяющих условиям:

(28)

Здесь предполагается, что симметрическая неотрицательно определенная матрица размера 10

Рассмотрим динамическую систему, описываемую разностным уравнением (27), где входной сигнал задан статистическими характеристиками: математическим ожиданием и ковариационной функцией начальное состояние характеризуется гауссовским законом распределения с математическим ожиданием и ковариационной матрицей

Законы изменения математического ожидания и ковариационной матрицы вектора состояния имеют вид [4]:

(29)

а ковариационная функция определяется по формуле:

(30)

где переходная матрица.

11