Геометрия на сфере

Сферическая геометрия

Лукин Матвей 11 «А»

Введение

Сферическая геометрия-раздел геометрии, изучающий фигуры на поверхности сферы. Сферическая геометрия зародилась несколько тысяч лет до нашей эры, и активно используется по сей день во многих сферах науки и промышленности. Строители метро и мореплаватели учитывают сферическую форму земли, так же наша вселенная имеет форму сферы, и многие открытия и прорывы в астрономии сделаны только благодаря геометрии Римана.

Целью моего проекта является изучение и сравнение сферической геометрии с геометрией на плоскости.

Основные положения

Рассматривать сферическую геометрию мы будем с самого основного понятия, понятия на чём основывается не только геометрия Римана но и вся геометрия. Сфера- это некоторое геометрическое количество точек пространства, равноудалённых от центра сферы. Радиусом сферы называются отрезок соединяющий центр сферы с какой либо точкой на сфере.

Всякая плоскость, пересекающая сферу, даёт в сечении окружность, если плоскость проходит через центр сферы, то в сечении получается большой круг, в остальных случаях получается малый круг.

Радиус малого круга можно найти через теорему

Пифагора. Если есть сфера S с центром в точке O

и с радиусом R. То возьмём плоскость α, удалён-

ную от центра сферы на расстояние h, и тогда при

пересечении образуется малый круг, и радиус его

можно найти как: , где R- радиус сферы, а h- перпендикуляр до плоскости.

Прямые на сфере играют в сферической геометрии такую же роль, что и прямые в планиметрии. По определению- это кратчайшее расстояние между двумя точками на большом круге.

На сфере любой большой окружности соответствуют две диаметрально противоположные точки, которые перпендикулярны плоскости этой окружности и находятся на концах диаметра. Эти две точки называются полюсами большой окружности, а такая окружность называется полярной.

Углы на сфере тоже так же как и на плоскости играют неотъемлемую роль. Внутренний угол при вершине B, образованный дугами AB и AC, определяется как угол между двумя лучами, которые выходят из точки B касаются дуг AB и BC в точке B. Но так эти лучи перпендикулярны радиусу OB, то угол при вершине, равен двугранному углу между плоскостями OAB и OBC см.рис.

Если посмотреть на рисунок 7 и спросить себя, что длиннее прямая a или дуга b, мы скорее всего решим, дуга длиннее, но это не так. Здесь играет роль теорема о сферическом отрезке- сферический отрезок, соединяющий две точке на сфере, короче любой другой лини на сфере, соединяющий эти две точки.

Фигуры на сфере изображаются посредствам

пересечения больших окружностей. Любую фигуру

можно перенести с плоскости на сферу, но наибольший

интерес проявляется к сферическому треугольнику.

Сферический треугольник- геометрическая фигура на

поверхности сферы, состоящая из трёх точек и трёх дуг больших кругов, попарно соединяющих эти точки. При пересечении трёх больших кругов образуется не один, а восемь сферических треугольников. Интересен факт того, что фигура на сфере может иметь два угла, в таком случае она называется сферическим двуугольником. Сумма углов сферического треугольника всегда больше 180˚, а разность всегда положительна, и называется сферическим избытком.

Многие свойства применимые к

треугольнику на плоскости, остаются

так же действительны и на сфере. К

примеру: признак подобия и равенства

Треугольников, теорема о пересечении

высот и медиан. Ещё если фигура на сфере

много меньше самой сферы, то её можно рассматривать как на плоскости.

Основные формулы

• Площадь сферического двуугольника находится, как удвоенное произведение квадрата радиуса на угол
• Площадь сферического треугольника, можно найти как произведение радиуса в квадрате на сферический избыток
• Ну и основные теоремы, которыми я буду пользоваться при решении задач- это теорема синусов и теорема косинусов при r=1:
• При радиусе не равном единице работают эти

формулы:

Решение задачи

Мореплаватель Джеймс Кук проплыл 1800 миль из точки A в точку B, потом

повернул на 60˚ и проплыл ещё 2700 миль и оказался в точке C. Найти

расстояние между точками A и C на поверхности земного шара.

Обозначим через a, b, c длины дуг BC, AC и

AB, ω- внутренний угол ΔABC при вершине

B.

Где R- радиус земли в морских милях, и

По тереме косинусов для сферического

Треугольника имеем:

Далее с помощью калькулятора находим значение косинуса:

И из этого следует, что длина дуги

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ