Россия, Москва
СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ
Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно
Скидки до 50 % на комплекты
только до
Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой
Организационный момент
Проверка знаний
Объяснение материала
Закрепление изученного
Итоги урока
Был в сети 10.02.2023 21:59
Багоцкий Евгений Владимирович
репетитор
73 года
17 094
1 986 
Местоположение
Специализация
Нелинейные диофантовы уравнения (С6 ЕГ)
Категория:
Математика
25.04.2017 00:50
Просмотр содержимого документа
«Нелинейные диофантовы уравнения (С6 ЕГ)»
С6. Решение нелинейных диофантовых уравнений
Метод разложения на множители.
1а)Решить уравнение в целых числах y3 - x3 = 91.
Реш. 1) Используем формулы сокращенного умножения, разложим правую часть ур на множители: (y - x)(y2 + xy + x2) = 91…
2) Выпишем все делители числа 91: ± 1; ± 7; ± 13; ± 91
3) Проводим исследование. Заметим, что для любых целых x и y число
y2 + yx + x2 ≥ y2 - 2|y||x| + x2 = (|y| - |x|)2 ≥ 0,
оба сомножителя в левой части ур д б положит. Тогда ур (1) равносильно с-ти систем уравнений:
; 
; 
; 
4) Решив с-мы, получ: 1я с-ма имеет реш (5; 6), (-6; -5); 3я (-3; 4),(-4;3);2я и 4я реш целых не имеют Ответ: уравн (1) имеет четыре решения (5; 6); (-6; -5); (-3; 4); (-4;3).
1б). Найти все пары натуральных чисел, удовл уравнению
.
Решение. Разложим левую часть ур на множи и запишем уравнение в виде
.
Т.к. делит числа 69 яв числа 1, 3, 23 и 69, то 69 м получить 2 спос: 69=1·69 и 69=3·23. Учит, что 
, получим две системы уравн, решив которые мы сможем найти искомые числа:
или 
.
1 система имеет решение 
, а 2 система имеет решение 
.
Ответ: 
.
1в)Решить в натуральных числах уравненение: 
Решение: 
Представим 2001 в виде произведения 2 разных натурльныха чисел м 3 различными способами:
2001=2001*1 2001=3*667 2001=23*87 2001=29*69
Так.как. 
то 
, отсюда
или 
, или 
, или 
отсюда 
или 
, или 
, или 
Ответ: (1001;1000); (335;332); (49;20); (55;32)
2а. Решить уравнение в целых числах:
.
Решение. Запишем уравнение в виде.
Разложим левую часть уравнения на множители. Получим.
Произв двух целых чисел м = 1 только в 2 сл: если оба они = 1 или -1. Получим две системы:
или .
1я система имеет решение х=2, у=2, а 2я система имеет реш х=0, у=0.Ответ: .
2б) Решить уравнение в натуральных числах 
Реш:Преобр уравн к виду 
Учитывая, что 
, получим системы уравнений
1)
5) 
2)
6) 
3)
7) 
4)
8) 
Ответ: 
2в) Решить в целых числах уравнение: 
Решение: 
отсюда
или 
следоват 
или 
Ответ: (2;1), (0;1).
3а) Решить уравнение: х2 - у2 =3 в целых числах.
Реш: 1)применим формулу сокращ ум х2 - у2=(х-у)(х+у)=3
2)найдем делители числа 3 = -1;-3;1;3 данное ур-е равносильно совокупности 4 систем
3б). Решить в целых числах уравн.
Реш. Запишем данное ура в виде .
Разложим левую часть ур на множители способом группировки, получим.
Произведение 2 целых чисел равно 7 в след случаях:
7=1· 7=7·1=-1·(-7)=-7·(-1). Таким образом, получаем 4 системы:
или , или , или .
Решением 1 системы явл пара чисел х = - 5, у = - 6. 2 систему, х = 13, у = 6.3 системы х = 5, у = 6. 4система имеет реш х = - 13, у = - 6.
Ответ: .
3в) Решить в целых числах уравнение
Реш:
или 
или 
или 
или 
или 
или 
Т.к. 
и 
, то реш уравн явл пары 
Ответ:
3г) Решить уравнение в целых числах: 
Реш:
Ответ: 
Зада7. Дока, что уравн (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 = 30 не имеет решений в целых числах.
Реш. 1) Разлож левую часть уравн на множит и обе части ур разделим на 3, получим уравнение:
( x - y)(y - z)(z - x) = 10……(2)
2) Делит 10 явл числа ±1, ±2, ±5, ±10. Заметим также, что сумма сомножи левой части (2)= 0. Нетр провер, что сумма любых 3 чисел из множества делит числа 10, дающих в произв 10, не б=0. След, исх ур не имеет решений в целых числах.
Метод остатков.
1а. Решить уравнение: х2+ху=10
Реш: 1)Выразим перем у через х: у= (10-х2)/x =
2)Дробь 
б целой, если х Є ±1;±2; ±5;±10 3). Найдем 8 значений у.
Если х=-1, то у= -9 х=-5, то у=3 Х=1, то у=9 х=5, то у=-3
Х=-2 ,то у=-3 х=-10, то у=9 Х=2, то у=3 х=10, то у=-9
1б. Решить уравнение в целых числах:2х2 -2ху +9х+у=2
Реш: выразим из уравн то неизв, кот входит в него только в 1 степени - в данном сл у:
2х2 +9х-2=2ху-у У =
выделим у дроби целую часть с пом правила деления многочл на многоч «углом». Получим: , разность 2х-1 м принимает только значения -3,-1,1,3.Осталось перебрать эти 4 случаи. Ответ: (1;9), (2;8), (0;2), (-1;3)
1в) Решить уравнение в целых числах: 
Реш:
Т.к. уравнение 
не имеет корней в целых числах, то потери корней нет.
Т.к. 
, то 
- должно быть целым числом, т.е.
или 
Получим: 
или 
Ответ: 
1г) Решить в целых числах уравнение: 
Решение:Выразим у через х из равенства
Т.к. , то 
может равняться 
, откуда
Ответ: 
Уравн, которые даны в вариантах ЕГЭ -2011, в основном реш методом остатков.
1. Решить в натуральных числах уравнение: , где тп
Решение: Выразим перем п через т:
Найдем делители числа 625: т-25 Є 1; 5; 25; 125; 625
1) если т-25 =1, то т=26, п=25+625=650 2) т-25 =5, то т=30, п=150
3) т-25 =25, то т=50, п=50 4) т-25 =125, то т=150, п=30
5) т-25 =625, то т=650, п=26
Ответ: т=150, п=30 т=650, п=26
2. Решить уравнение в натуральных числах: тп +25 = 4т
Реш: тп +25 = 4т
1) выразим переменную т через п: 4т – тп =25
т(4-п) =25 т =
2) найдем натуральные делители числа 25: ( 4-п) Є 1; 5; 25
если 4-п =1, то п=3, т=25
4-п =5, то п=-1, т=5 (посторонние корни)
4-п =25, то п=-21, т=1 (посторонние корни)
Ответ: (25;3)
3 .Найдите все пары ( х; у) целых чисел, удовлетворяющие системе неравенств:
х2 +у 2
32х - у2 х2 + 12у + 271
Решение: Выделяя полные квадраты, получим:
(х-9)2 + (у+10)2 (х-16)2 + (у+6)2
х-9)2
(х-16)2 Подставляя х = 12 в систему, получим:
(у+10)2 (у+6)2 Ответ: (12; -8)
3. Уравнения, решаемые с помощью введения новой переменной.
Прим1. Найти все положит числа 
для кот 
Реш:Введем обозн: 
Тогда 
и поск 
то 
И 
Аналог получаем выр для 
и 
: 
После подст этих выр в равенство, последнее примет вид:
Поделив почленно числ на знам, придем к ур: 
Т.к. сумма вз обратных положит чисел не меньше 2 и = 2 только в сл их равенства, то 
, тогда 
. Поэтому зад равенство вып при любых равных положит числах 
Пример 2. Решить уравнение в целых числах.
Решение:Положив 
и подст 
в исх уравн, получим, что 
, т.е. 
Отсюда
неотриц и делится на 3, т.е. 
Подст 
, получим 
Отсюда следует, что 
делится на 3, поэтому 
. Подставив 
, получим 
, 
. Так как 
, то либо 
, либо 
.
Если , то 
, и, значит, 
. Если же , то 
,
При 
, получаем
, 
, а при 
получ 
Ответ: (5, 4), (4, 5), (0, 0)
Пример 3. Решить уравнение в целых числах:
Реш:Положим 
тогда 
При 
имеем 
т.е.
заключ между квадратами 2 последоват чисел, что невозм. Поэтому 
откуда 
. Далее перебираем 
Ответ:
4. Учет ограниченности выражений.
Пример 1. Решить уравн в целых числах
Решение:Заметим, что 
- 3 + 4 = ( - 
) + 
Значит левая часть 
7.
Равенство возможно, если
Откуда 
= 
Ответ: уравнение не имеет решений в целых числах.
Пример 2. Решить в целых числах уравнение 
Решение:
, или 
откуда 
, 
т.е. 
, откуда u 
Аналогич:
т.е. 
Целое число u удовл неравенству
значит, 
и 
При , получим 
где – не целое, что неверно.
Пусть , тогда 
Ответ: 
Пример 3.Решить в целых числах уравнение 
Реш:Т к 
и 5 делятся на 5, то и 3
делится на 5, откуда след, что 
, где u – целое.
Аналогично:
для некоторого числа 
. Ур принимает вид 
.
Следоват, 
, 
, откуда |u| 
, |v| 
Перебором устанавливаем, что |u|
, |v| 
.
Ответ: 
5. Уравнени я, решаемые с помощью представления левой части уравнения в виде суммы неотрицательных слагаемых.
Пример 1. Решить в целых числах уравнение:
Решение:
Т.к. 
и 
не принадл 
, то уравн не имеет реш в целых числах.Ответ: нет решений.
Пример 2. Решить уравнение в целых числах: 
Реш: Уравнение приводится к виду 
.
Отсюда 
, а т к 
- целое, то (x
мб только равен 0, 1, -1.
Легко увидеть, что только 
возможен. Тогда (у
и 
.Ответ: 
Пример 3. Решить уравнение в целых числах: 
Указание: преобразовать уравнение к виду 
Ответ: (0, 0), (1,0), (0,1), (2,1), (1,2), (2,2).
6. Использование свойств простых чисел.
Пример 1. Решить уравнение в натуральных числах: 
Решение: 
(*)
взаимно-простые, значит, равенство (*) возможно в 3 случаях.
а) 
б) 
в) 
a) Нет решений, т.к. 
, б) 
в) 
Ответ: (11;20), (100;1).
Пример 2. Решить уравнение в простых числах.
Решение:Так как 
и простое, т.е. нечетное, то – четное, т.е. 
.
Ур 
имеет в простых числах единств реш 
Иначе: при 
нечет, простом число 
кратно 3, т.е. не явл простым числом. А четным быть не м (кроме 
), т.к. должен быть простым числом.Ответ: 
Пример 3. Решить уравнение в простых числах:
Ре: Из 
и простотыполучаем либо 
, либо 
. У этих систем реш в простых числах нет. Действ, в 1 сл имеем 
, откуда 
. Во 2 сл имеем 
, поэтому если 
то – составн (т.к. тогда 
– целое, большее 1). В с 
имеем 
, а при 
Ответ: решений нет.
Пример 4. Решить уравнение в простых числах:
Решение: Из 
имеем 
, 
, где 
- целое. При 
y и z – два четных числа и они не м б одновр простыми: Если 
, то 
, 
– два последо нечетных, значит одно из них делится на 3, тогда либо
, либо 
. При ,– не простое.Ответ: 
Пример 5. Решить уравнение в простых числах 
.
Решение:Т.к. 
- четное, то – нечётное, и потому число 
делится на 4. След, - четно, и поск и д б простыми числами, то , а потому 
.Ответ: 
7. Учет четности и нечетности выражений.
Прим1. Доказать, что не существует реш у уравн: 
+
= 13
Реш: 
Т.к. 
– четн, то 
неч. Корень из неч чла – число нечетн.
Анал и 
- нечетное число. Сумма 2 нечет чисел четно, т.е. в левой части мы имеем число четное, а в правой – нечетное. Ответ: решений нет.
Прим2.Найти все пары простых чисел и , кот удовл уравн 
Решение:
Если хотя бы одно из
или четное, то справа б стоять число четное, при этом, стоящее слева тоже обязано б четным, а это возм только в том сл, когда только одно из чисел четно.Пусть
(это единств простое четн число), тогда непоср, решив биквадр ур отн, нах = 3.Пусть
=2, непоср убежд, что в этом сл нат зн 
, удовле уравнению, не существует.Если
и – нечетн: 
и 
, то левая часть первонач ур при дел на 4 дает в ост 3, при этом пр часть дел на 4 с ост 1. След, не сущ нечетн простых чисел, удовл данному уравн. Ответ: 
.
Пример 3.Решить систему уравнений в целых числах
Реш:Если , , и 
удовлетворяют уравн системы, то 
– нечетное число.
Так как квадрат четного числа есть четное число, то – число нечетное:
Используя это представление для числа , получим 
, т.е. 
- четное число, значит и четное 
. Число x = y + 7z нечетное.
Поэтому 
нечет: 
. Из 1 ур с-мы теперь следует, что 
– 8k = 7(z) = 7(2y + 1) = 7(4y + 4y + 1).
Отсюда 
, что для целых 
невозм.Ответ: решений нет.
Пример 4.Решить в целых числах уравнение: 
Решение:Если и оба нечетны или одно из них нечетно, то левая часть уравнения есть нечетное число, а правая – четное. В этом случае решений нет.
Если же 
и 
, то 8
,
т.е. 2(2+ 2- 3), что невозможно ни при каких целыхи .
Ответ: решений нет.
Прим 5.Доказать, что уравнение не имеет решений в целых числах: 
Док-во:Т к 
-четно, а 7 – нечётное, то 
д б нечетным, т.е. - нечет. Пусть 
тогда данное уравн м переписать в виде 
(*)Отсюда дб четным. Пусть 
тогда раве (*) примет вид: 
что невоз, т.к. число 
- чётное, а разность 2 чётных чисел не м б= нечетному. Таким обр, данное ура не имеет реш в целых числах.
Пример 6.Доказать, что уравнение не имеет решений в целых числах: 
Реш:Так как правая часть ур – нечетное, то и левая часть д б нечетным числом. Поэтому или, или меньше 2.Пусть для определенности , т.е. 
Правая часть последнего равенства не делится на 5, а потому 
, но ни одно из целых чисел, кот удовл этому нер-ву, не служат реш данного ур. Итак, данное ур не имеет реш в целых числах
8. Учет остатков от деления на число.
При реш многих неопред ур полезно бывает пронабл остатки чисел от дел на определенное число
Пример 1. Решить в целых числах уравнение: 
Решение:
Заметим, что правая часть уравнения делится на 3 при любом целом
.Исследуем, какие остатки может иметь при делении на 3 левая часть этого уравнения.
При теореме о де с остатком число либо дел на 3, либо при дел на 3 в остатке дает 1 или 2.
Если 
, то правая часть уравнения на 3 не делится.
Если 
, то 
след, опять левая часть на 3 не делится.
Если 
то 
, след, и в этом сл левая часть ур на 3 не делится.
Таким обр, мы получили, что ни при каких целых левая часть ур на 3 не делится, при том, что правая часть ур делится на 3 при любых зн . След, уравн в целых числах решений не имеет.
Пример 2.Решить в целых числах уравнение: – 3 – 9 = 0
Решение:1)Оч, что реш уравнения будет тройка чисел (0, 0, 0).
2)Выясн, имеет ли ур др реш. Для этого преобр ур к виду: x = 3y + 9z (*)
Т к правая часть получ уравн де на 3, то и левая обязана дел на 3, след, т.к. 3 – целое, делится на 3, т.е. , подст это выр в (*): 
, откуда 
(**)
следов, делится на 3 и
. Подс получ выр в (**): 
, откуда 
(***) В с оч, из этого ур след, что дел на 3, и 
, n 
Z. Подст это выр в (***), получим, что д дел на 3.Итак, оказ, что числа, удовл первонач ур, кратны 3, и ск раз мы не делили бы их на 3, опять д получ числа, кратные 3. Единств целое, удовле этому усл, будет 0, т.е. реш данного ура (0;0;0) явл единственным.
Пример 3.Решить в нат числах уравнение 
Решение:Заметим, что 
При 
, 
, и -12 кратны 4, значит ост от дел числа
на 4=3.(Ост
(
В правой части стоит квадрат нат числа k, кот при дел на 4 не м давать в ост 3. Значит, при n уравнение корней не имеет.
б) Рассм, случаи, когда 
Если 
то 
k
решений нет
то 
= k
, 
(т.к. k N)
то 
k 9 = k,
Ответ:
Пример 4.Решить в целых числах уравнение 
Реш:Опр последнюю цифру числа, стоящего в левой части рав (т.е. остаток от деления на 10).
а) При n 5 
Ост
, Ост
Таким обр, Ост (
, но квадрат целого kне м оканчи на такую цифру. Значит, при 5, уравнение решений не имеет.
б) Рассмотрим оставшиеся случаи
Если , 12 + 11 + 2 = 25, 
k = 
Если 
, 
нет целых решений
Если 
, 
, 
нет целых решений
Если 
,
нет целых решений
Ответ: , 
5
Пример 5.Решить уравнение: 
Решение:Определим остатки от деления на 4 левой и правой частей равенства
Т.к. Ост
;
, то Ост(
) = 
а 
Ост 
то решений нет.
Пример 6.Решить в целых числах 
Реш Если 
, то Ост
(3 
, зн, если реш есть, то – чет, т.е. 
.Тогда 3 = 2
- 7 = 4
- 7.Но Ост
, значит если решение есть, то m должно быть четным, т.е. 
Итак, в результате имеем 3
= 2- 7 или 7 = 2- 3
=(2 - 3
) (2 + 3)
Отсюда 
то есть 
При получим Ответ: (2;4), (0;3).
Пример 7.Решить уравнение в целых числах: x + y + z = 8t – 1
Реш:Ост
Ост
(x + y + z) 
Ост
Значит, решений нет Ответ: решений нет.
Пример 8. Решить уравнение в целых числах 
+ 
+ … + 
Реш: дает при дел на 15 остаток 0 или 1, поэтому + … + дает остаток, не больший 14, а 1599 дает остаток 15 при делении на 16 Ответ: решений нет.
Пример 9. Найти натур и , для кот выполняется равенство 2
Решение: Рассмотрим два случая.
1) 
( – нечетное число). Поск 2 при дел на 3 дает в ост 1, то 2
при делении на 3 дает в ост 
15 делится на 3. Следо, не дел на 3. Но квадрат числа, не делящ на 3, дает при дел на 3 в остатке 1. Таким обр, равенство невозм (левая и правая части дают при делении на 3 разные остатки).
2).
. Тогда 2 - у
, откуда (2- y) (2+ y) .
Оба множ слева целые и положит (т.к. 2й множ положит), 2й1го. Воз 2 вар:
2- y = 1, 2
и 2- y = 3, 2+ y = 5, откуда получим реш 
и 
Ответ: 
9. Учет свойств делимости.
Пример 1.Решить в целых числах уравнение 
Реш:Очев, что х должен быть кратным 5. Полагая x = 5z, получаем 
(1)
Левая часть этого ур д б кратная 9, и т.к. число м б предст в одном из 3 видов: 3t, 
, 
, то подст этих выр в (1) убежд, что число, кратное 9, дает только тот сл, когда z м б предст в виде .В этом случае
, 
При любом целом 
получаем соотв целые решения данного уравнения.
Ответ: 
10. Другие методы решения уравнений.
На отд примерах рассм неск частных методов решения уравнений.
При реш следующего ур примен нер-во Коши, справедл для любых положительных чисел:
Пример 1.Решить в целых числах уравнение: 
Реш:Заметим, что слагаемые в левой части ур имеют одинак знак, а поск их сумма положит, то каждое слаг также положит. Поэтому к сумме, стоящей слева, применим нер-во Коши, получим:
3 = 
Откуда, 
.
2) Иссл возм наборы 3 целых, кот в произвед-1. Это м б тройки (1,1,1), (1,-1,-1),(-1,-1,1), (-1,1,-1). Непоср проверкой убежд, что каждая из них является реш исх уравнения.
Ответ: (1,1,1), (1,-1,-1), (-1,-1,1), (-1,1,-1).
Замеч: Если отн одного из неизв ур явл квадратным, то огр перебор м, исп неотрицательность дискриминанта.
Пример 2. Решить уравнение в целых числах
Реш:Отн х это ур–квадр: 
.усл существ реш явл 
, т.е. -3
. Таким обр, дос перебрать случ
4, 3, 2, 1, 0, -1, -2, -3.
Ответ: (-5, -3), (5, 4)
Вебинар для учителей
Свидетельство об участии БЕСПЛАТНО!
