Конспект урока алгебры для обучающихся 10 класса по теме "Иррациональные уравнения. Методы решения иррациональных уравнений."

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «ШКОЛА №48 ГОРОДА ДОНЕЦКА»

Конспект урока по предмету «Алгебра и начала математического анализа»

для 10 класса

углублённый уровень

Тема: Иррациональные уравнения.

Методы решения иррациональных уравнений.

Автор: учитель математики

Смолякова Юлия Леонидовна Класс:10 Дата: 17.11.2023 Предмет: Алгебра и начала математического анализа Тема: Иррациональные уравнения. Методы решения иррациональных уравнений.

Цели урока: ввести понятие «Иррациональное уравнение», изучить методы решения иррациональных уравнений.

Задачи урока:

Образовательные:

- ввести понятие иррациональных уравнений;

- открыть правило решения иррациональных уравнений;

- показать оформление решения;

- формирование умения решать иррациональные уравнения.

Развивающие:

- развитие умения правильно оперировать полученными знаниями, логически мыслить;

- развитие интеллектуальных умений и мыслительных операций – анализ, синтез, сравнение и обобщение;

- развитие инициативы, умение принимать решения, не останавливаться на достигнутом;

- развитие критического мышления;

- развитие навыков исследовательской деятельности.

Воспитательные:

- воспитание познавательного интереса к предмету;

- воспитание самостоятельности при решении учебных задач;

- воспитание воли и упорства для достижения конечных результатов.

Тип урока: Урок открытия новых знаний, обретения новых умений и навыков.

Учебник: Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа, 10-11 классы/ Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Ткачева М.В. и другие, Акционерное общество «Издательство «Просвещение»-2023

Оборудование: компьютер, графический планшет, презентация, учебник.

Продолжительность занятия: 45 минут.

Ход занятия

1. Организационный момент. Формулирование цели и задач занятия. Мотивация.

2. Актуализация опорных знаний.

На доске написаны уравнения. Посмотрите на них внимательно. Распределите их на три группы и назовите каждую группу. Можно ли, не решая уравнения третьей группы, сделать вывод о неразрешимости предложенных уравнений.

2х-1=3 2 19х-3х+4х=80 х2+4х+4=0

(х-1)(х+1)=8 х2-2√3х+3=0

I группа 2х-1=3 19х-3х+4х=80

II группа х2+4х+4=0 (х-1)(х+1)=8 х2-2√3х+3=0

III группа 2

-Дайте название уравнениям I группы (линейные).

-Дайте название уравнениям II группы (квадратные).

-Дайте название уравнениям III группы (?).

-Что объединяет уравнения III группы? (Переменная содержится под знаком квадратного корня.)

Уравнения, в которых переменная содержится под знаком квадратного корня, называются иррациональными уравнениями.

- Как вы думаете, что мы будем изучать сегодня на уроке?

- Сформулируйте тему урока. (Иррациональные уравнения).

Повторение теоретического материала по теме.

Работа с презентацией к уроку. Обучающиеся дают ответы на вопросы, представленные на слайдах.

А сейчас мы повторим основной теоретический материал, который понадобится нам для изучения новой темы. Ответьте пожалуйста, на следующие вопросы:

1. Что такое уравнение? (равенство с переменной или переменными)

2. Что значит решить уравнение? (найти все его корни или убедиться, что их нет)

3. Что такое корень уравнения? (значение переменной, которое при подстановке его в исходное равенство обращает его в верное числовое равенство)

4. Дайте определение квадратного корня из неотрицательного числа. (квадратным корнем из неотрицательного числа а называют такое неотрицательное число, квадрат которого равен а. на доске =b, b≥0 и b²=a)

5. Укажите способ решения линейных уравнений. (все с неизвестными перенести в левую часть уравнения, все числа в правую. Привести подобные слагаемые. Найти неизвестный множитель)

6. Укажите способы решения квадратных уравнений. (выделение полного квадрата, по формулам, используя теорему, обратную т. Виета, графический)

7. Какие свойства используются при решении уравнений? (1. Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение равносильное данному; 2. Если обе части «*» или «:» на одно и тоже отличное от нуля число, то получится уравнение равносильное данному.)

3) Объяснение нового материала.

Итак, мы все очень хорошо повторили, а теперь вернемся к теме урока.

-Сможете ли вы теперь из множества всех уравнений выделить иррациональные уравнения?

-Что будет отличать их от остальных уравнений?

-А зачем нам надо изучать иррациональные уравнения? Ведь жили мы без них спокойно.

- Иногда реальные ситуации представляют собой иррациональное уравнение, например, мы с ними встретились, когда находили длину стороны прямоугольного треугольника используя теорему Пифагора.

Я вам более того скажу, эта тема настолько важная, что ее изучают и в старшей школе, и иррациональные уравнения вынесены на ЕГЭ.

Слайд

Какие уравнения не являются иррациональными?(устно)

Решить в тетрадях и на доске уравнение № 1

1. 2 - 4=0,

=2,

х=2² , (по определению квадратного корня)

х=4.

Ответ: 4

-Какое иррациональное уравнение можно попробовать решить, используя определение квадратного корня?

1. ,

2х+1=9,

х=4.

Ответ: 4.

-Давайте убедимся, что полученное число действий является корнем уравнения. Как это сделать? (выполнить проверку)

Проверка: ,

=3;

3=3 – верно.

Ответ: 4.

Теперь попытайтесь решить уравнение № 3.

5х-16=(х-2)2 5х-16=х2-4х+4 х2-9х+20=0 (по теореме обратной т. Виета)

-Можем ли мы дать ответ? В чем трудность?

-Проблема в том, что мы пока не умеем решать уравнения.

-А как убедиться, что найденные числа являются корнями?

-Сделать проверку. Сделайте проверку и запишите ответ.

Ответ: 4; 5.

Работа с презентацией. Разбор методов решения иррациональных уравнений.

-У нас остался не разобранным пример № 4.

-Знает кто-нибудь способ решения?

Если учащиеся затрудняются, то спросить, как можно освободиться от знака квадратного корня? (возведением в квадрат)

2х=2

х=1

Проверка:

= – не имеет смысла.

-В подобных случаях говорят, что х=1 – посторонний корень. Поэтому уравнение не имеет корней.

Ответ: корней нет.

Метод, который мы использовали, называется возведением в квадрат обеих частей уравнения. Это основной метод решения иррациональных уравнений. Он не сложен, но иногда приводит к неприятностям, как в предыдущем примере. Поэтому проверку выполнять обязательно.

Фактически решая примеры № 1- № 3 мы применяли этот метод.

Попробуйте сформулировать правило решения иррациональных уравнений, которые мы изучили сегодня на уроке.

С помощью учащихся составить алгоритм решения иррациональных уравнений.

1. Возведи обе части уравнения в нужную степень.

2. Решаем полученное уравнение

2.Сделай проверку.

Изучение дополнительных методов решения иррациональных уравнений

1. Первичное осмысление нового материала.

Подробный разбор методов решения иррациональных уравнений, выводы о преимуществах и недостатках каждого из них.

Способ I. Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень с последующей проверкой

+ =4,

возведем обе части уравнения в квадрат.

,

возведем обе части уравнения в квадрат.

По теореме Виета:

Проверка:

1. Если х=42, то

Значит, число 42 не является корнем уравнения.

1. Если х=2, то

Значит, число 2 является корнем уравнения. Ответ: 2

Достоинства	Недостатки
1. Понятно	1. Словесная запись
2. Доступно	2. Громоздкая проверка иногда занимает много времени и места

Вывод: При решении иррациональных уравнений методом возведения обеих частей уравнения в одну и туже степень необходимо вести словесную запись, что делает решение понятным и доступным. Однако обязательная проверка иногда бывает громоздкой и занимает много времени. Этот метод можно использовать для несложных иррациональных уравнений, содержащих 1-2 радикала.

Способ III. Метод введения новых переменных

+ =4.

Введем новые переменные, обозначив =а, =b. Получим первое уравнение системы: a+b=4.

Составим второе уравнение системы:

Получим систему двух рациональных уравнений, относительно а и b:

по теореме Виета:

Вернемся к переменной х: =1 Ответ: 2.

Достоинства	Недостатки
1. Этот метод для данного уравнения	1.Словесное описание.
не рационален.	2. Громоздкое решение.

Вывод: Метод введения новых переменных и переход к системе рациональных уравнений для данного уравнения не рационален. Этот метод лучше применять для иррациональных уравнений, содержащих радикалы различных степеней, или одинаковые многочлены под знаком корня и за знаком корня, или взаимообратные выражения под знаками корня.

Способ II. Разложение на множители (метод равносильных преобразований)

+ =4

Ответ: 2.

Достоинства	Недостатки
1. Отсутствие словесного описания	1. Громоздкая запись
2. Нет проверки	2. Можно ошибиться при комбинации знаков системы и совокупности и получить неверный ответ
3. Четкая логическая запись
4. Последовательность равносильных переходов

Вывод: При решении иррациональных уравнений методом равносильных переходов нужно четко знать, когда ставить знак системы, а когда совокупности. Громоздкость записи, различные комбинации знаков системы и совокупности не редко приводят к ошибкам. Однако, последовательность равносильных переходов, четкая логическая запись без словесного описания, не требующая проверки, являются бесспорными плюсами данного способа.

Итоги: Для каждого иррационального уравнения необходимо выбирать наиболее рациональный способ решения: понятный, доступный, логически грамотно оформленный.

Самостоятельная работа:

Решить уравнения:

I вариант II вариант

Учащиеся выполняют самостоятельно. Затем самопроверка: ответы и решение записано на доске.

Сделайте задание другого варианта.

I вариант	II вариант
= = х2+2х+1 х2+х=0 х(х+1)=0 Проверка: 1) х = 0: = 1 1 = 1 - верно. 2) х = -1: 0 = 0 – верно. Ответ: -1; 0.	х2+3х+2=0 (по теореме обратной т. Виета) Проверка: 1) х = -2: = - верно. 2) х = -1: = – не имеет смысла. Ответ: -2.

5. Рефлексия.

Обучающимся предлагается закончить одно из предложений на слайде: Мне сегодня удалось (понять, разобраться, уяснить, осознать)…

Теперь я умею…

Самым интересным было … Труднее всего было…

1. Домашнее задание.

1. Прочитать § 9 из учебника

2. Решить в тетрадях № 156,158(2-4)