Лекция по теме "Основы теории множеств"

Лекция 1.

Тема 1.1. Основы теории множеств

План:

Основные понятия.

Операции над множествами. Диаграммы Эйлера-Венна.

Основные числовые множества

Дискретная математика – область математики, занимающаяся изучением свойств структур конечного характера, которые возникают как внутри математики, так и в её приложениях.

Дискретная (конечная) математика – это раздел математики, не связанный с понятиями предела, непрерывности и бесконечности.

Логика- наука, изучающая законы и формы мышления; учение о способах рассуждений и доказательств

Математическая логика — раздел математики, посвящённый изучению математических доказательств и вопросов оснований математики.

1. Основные понятия.

Понятие "множество" является первичным и неопределяемым.

О.1. Множество – это совокупность некоторых объектов объединенных по какому либо признаку.

Объекты любой природы (числа, люди, вещи и т. д.), составляющие множество, называют его элементами.

Например, студент Иванов является элементом множества студентов IV курса, март – элементом множества месяцев в году и т.д.

Множества обозначаются прописными буквами латинского алфавита: A, B, X, Y, A₁, A₂, …, элементы множеств – строчными буквами: a, b, x, y, a₁, a₂, … .

Замечание. Элементы множество сами могут являться множествами.

Множество, элементами которого являются множества называют классом или семейством.

Множество групп студентов СРМК состоит из элементов (групп) которые в свою очередь состоят из студентов СРМК.

О.2. Множество состоящее из конечного (бесконечного) числа элементов называется конечными (бесконечными).

О.3. Множество которое не содержит ни одного элемента называется пустым и обозначается .

Например: 1) Множество дней недели – конечно.

2) Множество натуральных чисел – бесконечно.

3) Множество действительных корней уравнения - пустое, т.к. , корней не существует.

2. Способы задания множеств.

Существует 3 способа задания множеств:

1. Перечисления всех элементов множеств: .

2. Указание правила перечисления элементов множества (записываются несколько первых элементов с «…»): .

3. Указание характеристических свойств (свойства элементов множества): или , где система характеристических свойств, элементы множества .

Например: a – целое число, - это множество целых корней уравнения .

О.4. Множество А называется подмножеством множества В, если все элементы множество А входит во множество В. (Обозначается ).

Множество пустое и В называют собственными подмножествами множества В.

и .

О.5. Множества А и В называются равными (совпадающими) если они состоят из одних и тех же элементов.

О.6. Если множество и , , то А называют собственным подмножеством множества В.

В этом случаи говорят, что В строго включает А.

О.7. Совокупность всех подмножеств множества А называется Булеаном множества А или множеством степени множества А.

Операции над множествами. Диаграммы Эйлера-Венна

Операции над множествами рассматриваются для получения новых множеств из уже существующих.

1. Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А, В (рис. 1):

Рис. 1

2. Определение. Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат одновременно как множеству А, так и множеству В (рис. 2):

Рис. 2

3. Определение. Разностью множеств А и В называется множество всех тех и только тех элементов А, которые не содержатся в В (рис. 3):

Рис. 3

4. Определение. Симметрической разностью множеств А и В называется множество элементов этих множеств, которые принадлежат либо только множеству А, либо только множеству В (рис. 4):

Рис. 4

5. Определение. Абсолютным дополнением множества А называется множество всех тех элементов, которые не принадлежат множеству А (рис. 5):

Рис. 5

3. Основные числовые множества.

N - множество всех натуральных чисел;

N₀ - множество неотрицательных целых чисел

Z -множество целых чисел;

Q - множество рациональных чисел;

I - множество иррациональных чисел;

R - множество действительных чисел;

C - множество комплексных чисел;