Математика. Угол между скрещивающимися прямыми, угол между прямой прямыми, угол между прямой и плоскостью, угол между плоскостями. и плоскостью, угол между плоскостями. Задачи с использованием куба. Задачи + решения.

Две пересекающиеся прямые образуют смежные и вертикальные углы. Вертикальные углы равны, а смежные углы дополняют друг друга до 180°.Угловая мера меньшего из них называется углом между прямыми. Угол между перпендикулярными  прямыми равен 90° по определению. Угол между параллельными прямыми считаем равным нулю.

Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, которые параллельны данным скрещивающимся прямым.

При решении задач на нахождение угла между скрещивающимися прямыми удобно пользоваться таким алгоритмом:

1. Провести прямую, параллельную одной из двух скрещивающихся прямых так, чтобы она пересекала вторую прямую. Мы получим пересекающиеся прямые, угол между которыми равен углу  между исходными скрещивающимися.

2. Найти треугольник, в котором этот угол будет внутренним углом.

3. С помощью данных задачи найти тригонометрическую функцию этого внутреннего угол или сам угол.

Рассмотрим этот алгоритм подробнее на примере решения задач.

1. В правильной шестиугольной призме , все ребра которой равны 1, найти косинус угла между прямыми  и :

Проведем прямую  параллельно прямой :

Угол  равен углу между прямыми  и , так как эти углы имеют параллельные стороны.

Чтобы найти косинус угла , рассмотрим треугольник :

Найдем длины сторон этого треугольника. Для этого вспомним, чему равны элементы  правильного шестиугольника все стороны которого равны 1.

,    (из треугольника )

 (как диагональ квадрата )

 - диаметр окружности, описанной около правильного шестиугольника со сторонами, равными 1.

Мы получили равнобедренный треугольник :

Ответ: 

В некоторых задачах чтобы найти угол треугольника, нужно  воспользоваться теоремой косинусов: