Mécanique. Centre de masse

Mécanique: Centre de masse

1. Définition

Le centre de masse CM d'un corps est le point situé à la position moyenne de la masse du corps.

Le CM est essentiellement mathématique. Il peut se trouver sité à l'intérieur de l'onjet comme à l'extérieur.

Pour un corps homogène, c'est à dire de masse volumique constante, et parfaitement symétrique, le CM est situé au centre géométrique du corps. C'est l'exemple d'une tige, d'une sphère, d'un cylindre ou d'un cube.

Le centre géométrique d'un corps se trouve sur son axe de symétrie. Ce n'est pas toujours le centre du corps. C'est l'exemple d'un boomerang .

En Mécanique, le CM est très important. La trajectoire d'un corps qui meut est en fait celle de son centre de masse, puisque l'objet est représenté par un point matériel.

De plus, lorsqu'un corps roule, les points du corps effectuent un mouvement de rotation autour du centre de masse, tandis que celui-ci effectue un autre type de mouvement.

C'est l'exemple de la translation du CM d'une boule qui roule horizontalement. .

2. Le CM expériemental

Expérimentalement, on peut determiner la position du centre de masse d'un corps. On choisit des points différents sur ce corps. Sur chacun de ces points, on exerce des forces de directions différentes. Lorsque le corps n'effectue aucune rotation, l'intersection des trois supports de ces forces localise le centre de masse.

3. La position du centre de masse

La position du centre de masse est la moyenne pondérée des positions des masses individuelles qui constituent l'objet.

La moyenne pondérée d'une valeur z_i de facteur de pondération m_i est définit par Σm_i z_i/Σm_i :

3.1. Centre de masse d’un système de deux particules

Où est le centre de masse de ces deux masses?

Nous avons :

m₁ = 2 kg
m₂ = 6 kg
m_tot = m₁ + m₂ = 2 + 6 = 8 kg.

La position moyenne est donc : x_CM = (2 x 0 + 6 x 120)/8 = 90 cm , qui est la position du centre de masse des deux boules.

Plus une masse est grande, plus elle rapprochée du CM.

3.2. Centre de masse d’un système de
plusieurs particules en deux dimensions

De façon générale, le CM d'un système de N particules se calcule au moyen des formules ci-contre:

• x_CM : Position du centre de masse selon l'axe x (m)

• y_CM : Position du centre de masse selon l'axe y (m)

• m_i : La masse de la particule i (kg), c'est le coefficient de pondération

• x_i : La position selon l'axe x de la particule i (m)

• y_i : La position selon l’axe y de la particule i (m)

• N : Le nombre de particules qui constituent l'objet

• m_tot : La masse totale des particules du système (kg)

Exemple: Système de quatre masses



Où est le centre de masse de ces deux masses?

Nous avons :

m₁ = 1 kg, m₂ = 4 kg, m₃ = 1 kg, m₂ = 6 kg
m_tot = m₁ + m₂ + m₃ + m₄ = 1 + 4 + 1 + 6 = 12 kg.

x_CM = (1 x - 5 + 4 x - 2 + 1 x 2 + 6 x 5)/12 = 24/12 = 2 unités,
y_CM = (1 x 0 + 4 x 3 + 1 x 4 + 6 x - 2)/12 = 4/12 = 1/3 = 0.33 = 1/3 unité,

x_CM = 2
y_CM = 1/3

qui est la position du centre de masse des quatre boules.

4. CM et densité de masse

4.1. Densité de masse

La densité de masse est la mesure de la masse moyenne par unité de dimension. La dimension est la longueur L, ou la surface A ou de volume V.

On distingue:

• Densité linéaire de masse : μ en kg/m
• Densité surfacique de masse : σ en kg/m²
• Densité volumique de masse : ρ en kg/m³

Connaissant la densité de masse et la dimension d'un objet, on peut donc évaluer sa masse totale grâce aux équations suivantes :

• Masse d'une longueur : m = μ x L
• Masse d'une surface : m = σ x A
• Masse d'un volume : m = ρ x V

où

m : Masse du corps homogène (kg)
L : Longueur du corps (m)
A : Aire du corps (m²)
V : Volume du corps (m³)

4.2. Exemple: triangle métallique

On dispose d'un fil de métal homogène, de section uniforme, et de densité linéaire de masse μ. On plie ce fil afin de former un triangle représenté ci-contre.

On désire déterminer les coordonnées du centre de masse du triangle.

On découpe le triangle formé en trois tiges. On calcule la masse de chaque tige, puis on évalue son centre de masse. La tige est alors équivalente à une masse ponctuelle située au CN calculé.

Les tiges sont homogènes, le centre de masse de chaque tige est donc au centre géométrique de la tige:

a) Tige A

• Longueur L_A = √(4 + 36) = 2√10
• masse m_A = μ L_A = 2μ√10
• x_ACM = 1
• y_ACM = 3

b) Tige B

• Longueur L_B = √(4 + 64) = 2√17
• masse m_B = μ L_B = 2μ√17
• x_BCM = 3
• y_BCM = 2

c) Tige C

• Longueur L_C = √(4 + 16) = 2√5
• masse m_C = μ L_C = 2μ√5
• x_CCM = 2
• y_CCM = - 1

Masse totale = m_tot = 2μ(√10 + √17 + √5) = 19.04 μ

Avec i = A, B, C, on a donc:

x_CM = Σx_im_i = (m_A x_ACM + m_B x_BCM + m_C x_CCM )/m_tot
y_CM = Σy_im_i = (m_A y_ACM + m_B y_BCM + m_C y_CCM )/m_tot

x_CM = (1 x 2μ√10 + 3 x 2μ√17 + 2 x 2μ√5)/m_tot =
2μ(√10 + 3√17 + 2√5)/2μ(√10 + √17 + √5)= = 2.1

y_CM = (3 x 2μ√10 + 2 x 2μ√17 + 1 x 2μ√5)/m_tot =
2μ(3√10 + 2√17 + √5)/2μ(√10 + √17 + √5) = 2.1

CM(2.1, 2.1)

5. CM et masse négative

On considère un prisme homogène à base carrée de côté b et d'épaisseur a. Dans ce prisme, on perce un petit prisme de dimensions a.

• Prisme plein:

Le CM du prisme plein est le centre de ce prisme CMP:

x_CMP = b/2
y_CMP = b/2
z_CMP = a/2

Masse du prisme plein m_P = ρ ab².

• Petit prisme vide:

Le CM du petit prisme vide est le centre de ce prisme CMV:

x_CMV = b/2 + a/2 = (a + b)/2
y_CMV = b/2 + a/2 = (a + b)/2
z_CMV = a/2

La masse du petit prisme vide m_V = - ρ a³

• Prisme troué:

La masse totale du système est la masse du prisme troué = m_T =
m_P + m_V = ρ ab² - ρ a³ = ρ(ab² - a³)

Le CM du prisme troué CM se calcule selon les formules:

x_CM = [m_P b/2 + m_V (a + b)/2]/m_T =
[ρ ab² b/2 - ρ a³(a + b)/2]/ρ(ab² - a³) =
[b³ - a²(a + b)]/2(b² - a²)

x_CM = [b³ - a²(a + b)]/2(b² - a²)

y_CM = [m_P b/2 + m_V (a + b)/2]/m_T =
[b³ - a²(a + b)]/2(b² - a²)

y_CM = [b³ - a²(a + b)]/2(b² - a²)

z_CM = [m_P a/2 + m_V a/2]/m_T =
(a/2)[ρ ab² - ρ a³ ]/ ρ(ab² - a³) = a/2

z_CM = a/2

CM([b³ - a²(a + b)]/2(b² - a²), [b³ - a²(a + b)]/2(b² - a²) , a/2)

Exemple:

a = 1 unité
b = 3 unités

CM(23/16, 23/16, 1/2)

6. Le centre de masse par intégration

Dans le cas où c'est possible de différentier la masse, l'intégrale est pratique pour calculer les coordonnées du CM d'un corps de mase totale m_tot: x_CM = (1/m_tot)∫ x dm , y_CM = (1/m_tot)∫ y dm , et z_CM = (1/m_tot)∫ z dm .