Методическая разработка урока по теме ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

(Раздел «Начала математического анализа»)

Профессии: 15.01.20 Слесарь по контрольно-измерительным приборам и автоматике, 09.01.03 Мастер по обработке цифровой информации, 23.01.03 Автомеханик, 09.01.01 Наладчик аппаратного и программного обеспечения

Учебные группы: КИП-11, М-11, А-11, Н-11

Учебная дисциплина: ООПу.04 Математика

Тема учебного занятия: Вычисление пределов последовательностей.

Тип урока: урок «открытия» новых знаний

Вид урока: лекция-беседа

Средства обучения:

• технические: мультимедийный проектор, персональный компьютер;

• информационно-коммуникационные: электронная презентация.

Цели урока:

методическая: использование объяснительно-иллюстративного метода обучения с целью формирования математического мышления студентов;

образовательная: создание условий для овладения знаниями о последовательностях и пределах последовательностей;

развивающая: развитие умений планировать, анализировать, выдвигать гипотезы по решению заданий, применять полученные знания для выполнения упражнений;

воспитательная: воспитание интереса к изучению математики, математической культуры студентов.

Прогнозируемые результаты:

1) предметные:

• сформированность знаний о вычислениях пределов последовательностей;

• владение умением решать задачи на пределы последовательностей;

2) метапредметные:

• регулятивные:

• умение ставить перед собой цель, видеть ожидаемый результат работы;

• умение рационально распределять рабочее время;

• умение объективно оценивать свои возможности, анализировать свои результаты, корректировать свои действия;

• владение навыками познавательной рефлексии;

• познавательные:

• умение осуществлять поиск и отбор необходимой информации;

• умение сопоставлять и анализировать, выделять в тексте базовые и вспомогательные концепты, опорные понятия, тезисы, структурировать их взаимосвязь;

• умение структурировать полученную информацию;

• умение анализировать и обобщать информацию;

• коммуникативные:

• умение продуктивно общаться и взаимодействовать в процессе совместной деятельности, учитывать позиции других участников деятельности;

• умение выражать свои мысли с достаточной полнотой и точностью.

Образовательные технологии: традиционное обучение.

Формы организации обучения: фронтальная, индивидуальная.

Методы обучения и контроля:

• вербальные: беседа;

• практические: метод сравнения, метод анализа и структурирования.

• методы контроля и самоконтроля: устный контроль, самоконтроль.

Нормативный документ

Федеральный государственный образовательный стандарт среднего общего образования (утв. приказом Министерства образования и науки Российской Федерации (Минобрнауки России) от 17 мая 2012 г. № 413 г.). – М.: Министерство образования и науки РФ, – 2012.

Образовательные ресурсы:

Основная литература

1. Башмаков М. И. Математика: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования. − М.: Издательский центр «Академия», 2018. – 256 с.

2. Башмаков М. И. Математика. Сборник задач профильной направленности: учеб. пособие для студ. учреждений сред. проф. образования. − М.: Издательский центр «Академия», 2014. – 416 с.

Дополнительная литература

1. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни).10—11 классы. Учебник. − М.: Просвещение, 2014. – 464 с.

2. Атанасян Л.С. Геометрия. 10 − 11 классы: учебник для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни / Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. – М.: Просвещение, 2013. – 255 с.

3. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учеб. пособие для техникумов / Н.В. Богомолов. – М.: Высш. шк., 2013. – 495 с.

4. Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л., Яковлев Г.Н. Математика (Книга 1): Учебное пособие. – М.: Издательство «Новая волна», 2013. – 656 с.

5. Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л., Яковлев Г.Н. Математика (Книга 2): Учебное пособие. – М.: Издательство «Новая волна», 2013. – 592 с.

6. Никольский С.М. Алгебра и начала анализа: учебник для 10 класса общеобразоват. учреждений: базовый и профильный уровни / С.М. Никольский, М.К. Потапов. – М.: Просвещение, 2013. – 430 с.

7. Никольский С.М. Алгебра и начала анализа: учебник для 11 класса общеобразоват. учреждений: базовый и профильный уровни / С.М. Никольский, М.К. Потапов. – М.: Просвещение, 2013. – 464 с.

Интернет-ресурсы:

1. Федеральный центр информационно-образовательных ресурсов [Электронный ресурс] URL: www. fcior. edu. ru

2. Единая коллекции цифровых образовательных ресурсов [Электронный ресурс] URL: www. school-collection. edu. ru

Научно-методические ресурсы:

1. Инновационные педагогические технологии: учебное пособие/ Михелькевич В.Н., Нестеренко В.М., Кравцова П.Г. – Самар. гос. тех. ун-т Самара, 2001. – 89 с.

2. Кульневич С.В., Лакоценина Т.П. Современный урок. Часть 1: Научно-практич. пособие для учителей, методистов, руководителей учебных заведений, студентов пед. заведений, слушателей ИПК. – Ростов н/Д: Учитель, 2005. – 288 с.

3. Кульневич С.В., Лакоценина Т.П. Современный урок. Часть 3: Научно-практич. пособие для учителей, методистов, руководителей учебных заведений, студентов пед. заведений, слушателей ИПК. – Ростов н/Д: Учитель, 2007. – 288 с.

4. Махмутов М.И. Проблемное обучение: Основные вопросы теории. – М.: Педагогика, 1975. – 368 с.

Основные термины и понятия: последовательность, предел последовательности.

Содержание учебного материала:

1) Сформированность знаний о вычислениях пределов последовательностей.

2) Закрепление теоретического материала по теме с помощью решения упражнений.

1. Этап мотивации (самоопределения) к учебной деятельности (2 мин)

Преподаватель приветствует студентов, создает деловую обстановку, настраивает на продуктивную мыслительную деятельность.

1. Этап актуализации опорных знаний. Целеполагание (15 мин)

Преподаватель задает вопросы студентам:

1. Какие вы знаете последовательности?

2. Бывают ли последовательности возрастающими, убывающими?

3. Приведите пример арифметической и геометрической прогрессии.

Студенты отвечают на эти вопросы, вспоминая знания, полученные на предыдущем занятии.

Формулирование темы и целей учебного занятия.

1. Работа над новой темой («открытие» нового знания) (48 мин)

Алгоритм работы над «открытием» нового знания:

1. Формулирование преподавателем определений числовой последовательности, последовательности, ограниченной сверху/снизу, возрастающей и убывающей последовательности, предела последовательности.

Определение предела последовательности

Число 𝑏 называют пределом последовательности (𝑦_𝑛), если в любой заранее выбранной окрестности точки 𝑏 содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера.

Пишут:

, или .

Пояснение к данному определению:

окрестностью точки 𝑏 радиуса 𝑟₁ является интервал (𝑏−𝑟₁; 𝑏+𝑟₁), (𝑟₁0).

Возьмём интервал (𝑏−𝑟₁; 𝑏+𝑟₁), т. е. окрестность точки 𝑏; 𝑟₁ — радиус этой окрестности (𝑟₁0). Существует номер 𝑛₁, начиная с которого вся последовательность содержится в указанной окрестности: 𝑦_𝑛1∈(𝑏−𝑟₁; 𝑏+𝑟₁), 𝑦_𝑛1+1∈(𝑏−𝑟₁;𝑏+𝑟₁), 𝑦_𝑛1+2∈(𝑏−𝑟₁;𝑏+𝑟₁) и т. д.

Пример:

дана последовательность (𝑦_𝑛):

Доказать, что  .

Решение.

Возьмём любую окрестность точки 0, пусть её радиус равен 𝑟.

Ясно, что всегда можно подобрать натуральное число 𝑛₀ так, чтобы выполнялось неравенство  .

Если 𝑟=0,001, то в качестве 𝑛₀ можно взять 1001, поскольку  , и т. д.

Это значит, что член последовательности (𝑦_𝑛) с номером 𝑛₀, т. е. 𝑦_𝑛0, попадает в выбранную окрестность точки 0. Тем более, в этой окрестности будут находиться все последующие члены заданной убывающей последовательности  . В соответствии с определением это и означает, что  .

Для наглядности построим график последовательности  , который состоит из точек с абсциссами 1,2,3,4..., лежащих на ветви гиперболы  .

Так как  , то прямая 𝑦=0 является горизонтальной асимптотой графика функции  , 𝑥∈𝑁.

Свойство 1. Если последовательность сходится, то только к одному пределу.

Свойство 2. Если последовательность сходится, то она ограничена.

Свойство 3. (Теорема Вейерштрасса)

Если последовательность монотонна и ограничена, то она сходится.

Приведём классический пример из геометрии, в котором используется теорема Вейерштрасса. 

Возьмём окружность и будем последовательно вписывать в неё правильные многоугольники: 

4-угольник, 8-угольник, 16-угольник и т. д. Последовательность площадей этих правильных многоугольников возрастает и ограничена (снизу числом 0, а сверху, например, числом, выражающим площадь описанного около окружности квадрата). 

Значит, построенная последовательность сходится, её предел принимается за площадь круга. 

Именно с помощью таких рассуждений и получена в математике формула площади круга 𝑆=π𝑟². 

1. Включение нового знания в систему имеющихся знаний (20 мин)

Формулы вычисления пределов последовательностей:

1. ;

2.  ;

3.  , т. е. предел стационарной последовательности равен значению любого члена последовательности.

4. Если  ,  , то 

          4.1. предел суммы равен сумме пределов:

           ;

          4.2. предел произведения равен произведению пределов:

           ;

          4.3. предел частного равен частному пределов:

           , если 𝑐≠0;

          4.4. постоянный множитель можно вынести за знак предела:

           .

5. Для любого натурального показателя 𝑚 и любого коэффициента 𝑘 справедливо соотношение  .

Пример:

1. найти предел последовательности: .

Применив правило «предел суммы», получим:

.

2. Вычислить  .

В подобных случаях применяют искусственный приём: делят числитель и знаменатель дроби почленно на наивысшую из имеющихся степень переменной 𝑛. В данном примере разделим числитель и знаменатель дроби почленно на 𝑛². Получим:

𝑙

— далее воспользуемся правилом «предел дроби (частного)»:

.

Итак:  .

1. Рефлексия. Подведение итогов учебного занятия (5 мин)

Беседа со студентами по содержанию занятия. Вопросы для беседы:

1. Какая была тема сегодняшнего занятия?

2. Что нового вы узнали?

3. Какая была цель занятия?

4. Что получилось у вас сегодня?

5. Что не получилось?

6. Достигли ли мы поставленной цели?

7. Инструктирование о выполнении домашнего задания

Изучить [1] гл. 9 занятие 2