Параллелепипеды.Прямоугольные параллелепипеды. Куб.

Параллелепипеды. Прямоугольные параллелепипеды. Куб.

Работу подготовила

Коваленко Ирина Анатольевна, учитель математики школы №3

города Стародуба Брянской области

Параллелепипед

Поверхность, составленная из двух равных параллелограммов АВС D и A 1 B 1 C 1 D 1 и четырех параллелограммов, называется ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДОМ .

D 1 C 1

Параллелограммы, из которых составлен параллелепипед, называют ГРАНЯМИ, вершины параллелограммов – ВЕРШИНАМИ параллелепипеда.

А 1 В 1

D C

Две грани, имеющие общее ребро, называются СМЕЖНЫМИ , а не имеющие общих ребер - ПРОТИВОПОЛОЖНЫМИ

Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется ДИАГОНАЛЬЮ параллелепипеда

А В

Граней – 6

Вершин -8

Ребер -12

Диагоналей - 4

Свойства параллелепипеда

1. Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны

D 1 C 1

Назовите равные грани

2. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам

А 1 В 1

D C

А В

Граней – 6

Вершин -8

Ребер -12

Диагоналей - 4

Решить устно задачу

D 1 C 1

• № 1.

У параллелепипеда три грани имеют площади 1м 2 , 2м 2 и 3м 2 . Чему равна площадь полной поверхности этого параллелепипеда ?

А 1 В 1

D C

А В

Прямоугольный параллелепипед

Параллелепипед называется прямоугольным, если основаниями являются равные прямоугольники, а боковые ребра перпендикулярны к основанию

D 1 C 1

А 1 В 1

Прямоугольники, из которых составлен прямоугольный параллелепипед, называют ГРАНЯМИ, вершины прямоугольников – ВЕРШИНАМИ параллелепипеда.

D C

Две грани, имеющие общее ребро, называются СМЕЖНЫМИ , а не имеющие общих ребер - ПРОТИВОПОЛОЖНЫМИ

А В

Граней – 6

Вершин -8

Ребер -12

Диагоналей -4

Свойства прямоугольного параллелепипеда

Длины трех ребер, выходящих из одной вершины, называются измерениями прямоугольного параллелепипеда

• 1. В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней - прямоугольники

D 1 C 1

А 1 В 1

• 2 . Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда – прямые

D C

А В

Свойства прямоугольного параллелепипеда

Теорема.

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений

D 1 C 1

А 1 В 1

Следствие.

Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны

D C

А В

Куб

Определение

Прямоугольный параллелепипед, у которого все измерения равны, называется КУБОМ

D 1 C 1

А 1 В 1

а

D C

а

а

А В

Найдите тангенс угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней

а

D 1 C 1

А 1 В 1

а

а

D C

а

а

А В

Сравните свое решение с предложенным

Решение.

• Пусть ребро куба равно а. Тогда В D =а  2. Так как DD 1  (АВС), то прямая В D является проекцией прямой В D 1 на плоскость грани АВС D , и поэтому угол между этими прямыми есть угол между диагональю В D 1 и гранью АВС D . Таким образом, требуется найти тангенс угла D 1 В D , величину которого обозначим  .
• Из треугольника D 1 D В получаем: tg  = DD 1 /BD, tg  = a/a  2, tg  =  2/2

Ответ:  2/2